Основные подходы к получению необходимых условий оптимальности решения

Изложим первоначально неформально логику получения условий оптимальности вариационных задач.

Вывод необходимых условий оптимальности решения (см. гл. 1), как правило, предполагает вычисление изменения критерия на некотором множестве L вариаций решения в окрестности искомого. Требование, заключающееся в том, что для любых допустимых по условиям задачи вариаций значение критерия оптимальности «не улучшается», порождает расчетные соотношения, выделяющие все «подозрительные на оптимальность» решения.

Для задачи НП эта схема приводит к условиям линейной зависимости градиентов целевой функции и ограничений в локально-неулучшаемой точке, которые эквивалентны требованию существования множителей Лагранжа. Чтобы воспользоваться такой схемой для вариационных задач, нужно задать конкретный вид критерия оптимальности и ограничений, определяющих данную задачу.

Например, для задачи оптимального управления связи между переменными имеют форму дифференциальных уравнений (4.9), а критерий может быть интегральным или зависеть от состояния системы в конечный момент времени.

В дифференциальных уравнениях переменные x (t) входит как в правую часть так и в форме производных в левую. Управления же u (t) входят только в правую часть. Если функции, определяющие задачу, удовлетворяют условиям гладкости, то можно варьировать управление на величину, малую по модулю для всех значений t, вычислить с использованием линеаризованного в окрестности искомого решения дифференциального уравнения малое изменение х, после подстановки в критерий оптимальности найти его вариацию и потребовать неположительности этой вариации. По такой схеме получены условия оптимальности целого ряда постановок вариационных задач в классическом вариационном исчислении (условия Эйлера, Эйлера — Лагранжа, Эйлера — Пуассона и др.). Каждая из них может быть сформулирована в форме задачи оптимального управления.

В 1960;е гг. возникла потребность решения задач управления с ограничениями на множество допустимых значений и е V_u. Например, управления могут принимать, как в релейных системах, набор фиксированных значений. Правые части дифференциальных уравнений и функция, определяющая критерий оптимальности, могут быть непрерывны, но не дифференцируемы по управлениям.

В этом случае необходимые условия включают требование максимума некоторой функции по управляющим переменным. Их сформулировал Л. С. Понтрягин, и они получили название «принципа максимума Понтрягина». В целом ряде задач оказалось, что оптимального решения, удовлетворяющего принципу максимума, не существует, поэтому в формулировке принципа максимума потребовалась оговорка о том, что теорема справедлива при условии существования решения.

При доказательстве принципа максимума Л. И. Розоноэру пришлось внести в изложенную выше схему существенное изменение, а именно: вариацию управления выбрать конечной по величине, но сколь угодно малой по площади. Такая вариация получила название «игольчатой». Через дифференциальное уравнение вычислялась соответствующая игольчатой вариации вариация &с, которая была мала по модулю, так как скорость х менялась на конечную величину, но в течение сколь угодно малого времени. Далее по обычной схеме эти вариации подставлялись в критерий оптимальности и требования неположительности его изменения приводили к условиям оптимальности, в которых по управляющим переменным вместо требований стационарности функции Гамильтона требовался ее максимум.

В задаче оптимального управления переменные состояния x (t) ищут, как правило, в классе кусочно-гладких, а и (0 — в классе кусочнонепрерывных функций. Этой задаче как и задаче НП, может быть сопоставлено ее усредненное расширение по управляющим переменным. При этом в любой момент времени u (t) может принадлежать выпуклой оболочке множества V_u. Подобное расширение эквивалентно. Физически это связано с тем, что любое решение расширенной задачи u_r? V_u может быть сколь угодно точно по величине критерия оптимальности приближено последовательностью таких решений исходной задачи, в которых управление принимает значения внутри V_u и изменяется со все большей скоростью так, что фазовые переменные и критерий оптимальности, сглаживающие эти изменения, сколь угодно близки к их значениям, соответствующим и_г. Такие обобщенные решения называют скользящим режимом.

Упомянутая особенность вариационных задач позволяет наметить другую схему доказательства принципа максимума, а именно: первоначально получить условия оптимальности расширенной, усредненной по управлениям задачи, а затем, воспользовавшись эквивалентностью расширения, перенести их на исходную.

В том случае, когда решение исходной задачи существует, оно удовлетворяет условиям оптимальности ее эквивалентного расширения Сскользящего режима). Если же решение эквивалентного усредненного расширения не удовлетворяет ограничениям исходной, то последняя имеет обобщенное решение в форме максимизирующей последовательности.

Число различных постановок вариационных задач чрезвычайно велико, ведь возможны самые разные сочетания того или иного вида критерия оптимальности с разными типами ограничений и связей между переменными, одни из которых могут иметь форму равенств, другие неравенств. Во многих работах, рассматривая каждую такую постановку, например задачу с условиями в форме дифференциальных уравнений и конечных соотношений, интегральных уравнений и пр., проводили всю процедуру варьирования искомого решения и получали условия оптимальности для поставленной задачи.

Ниже условия оптимальности получены в такой формулировке, которая не требует проведения процедуры вычисления вариации функционала для каждой конкретной постановки. Чтобы получить условия оптимальности в таком виде, нужно было рассмотреть общую (каноническую) форму вариационной задачи со скалярным аргументом. Вид критерия и вид ограничений этой задачи таковы, что любые из приведенных выше и многих других типов условий могут быть записаны в этой форме. Для канонической формы записи получены условия оптимальности решения в форме принципа максимума. После этого как следствие можно записать эти условия для каждой конкретной постановки без процедуры вариаций.

Все переменные задачи входят при ее канонической записи «почти равноправно». Здесь нельзя, как в задаче оптимального управления, выделить переменные состояния и управляющие воздействия по их физическому смыслу. Разница между переменными возникает чисто формальная. А именно, часть функций при приведении к канонической форме приходится умножать на 8-функцию Дирака. По переменным, которые ни в критерии и ни в одном из условий не оказались в составе функций, умноженных на 8-функцию (рандомизированных), показано, что усредненное расширение канонической задачи эквивалентно исходной.

Поэтому при получении условий оптимальности первоначально рассмотрено усредненное расширение канонической задачи по рандомизированным переменным, показано, что такое расширение эквивалентно. Для расширенной задачи получены условия в форме требования максимума обобщенной функции Лагранжа по этим переменным и ее стационарности по остальным (детерминированным). В том случае, когда решение исходной задачи существует (оно совпадает с решением усредненной), мы получим условие его оптимальности в форме принципа максимума. А если не совпадает, то, как и в задаче оптимального управления, можно построить только обобщенное решение в форме максимизирующей последовательности (скользящего режима).

Будем следовать изложенной выше схеме получения условий оптимальности.