Управление ансамблем квантовых осцилляторов

Молекулы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, испытывают колебания и образуют ансамбль квантовых осцилляторов. Энергия этих колебаний зависит от температуры тела, а на их собственную частоту можно влиять, изменяя характеристики поля, в котором находится ансамбль осцилляторов. В частности, таким управлением, влияющим на частоту колебаний, может служить лазерное облучение.

Так как нас интересуют возможности облегчения решения, связанные с заменой переменных, не будем останавливаться подробно на физическом смысле задачи^[1].

Исходная постановка. За минимальное время перевести систему, характеризующуюся уравнениями.

из заданного начального в заданное конечное состояние.

Здесь Е, L, С, со — переменные состояния, имеющие смысл усредненных по ансамблю гамильтониана, лагранжиана, корреляции момента отклонения и частоты колебаний осцилляторов, при этом Е = Е (т) < Е₀ .

Переменные Е, L, С зависят от частоты колебаний со, отклонений от состояния равновесия q₍ и скоростей р_; осцилляторов следующим образом:

Так как L и С связаны с энергией колебаний осцилляторов, а Е — с энергией хаотичесткого движения молекул, то уменьшению? соответствует извлечение энергии за счет охлаждения тела.

Система (5.152) имеет первый интеграл X, не изменяющийся во времени вдоль ее траекторий:

Нетрудно проверить непосредственным дифференцированием, что скорость изменения этой функции в силу уравнений (5.152) равна нулю. Физически величинах определяет фон-неймановскую энтропию S_N, которая монотонно от нее зависит:

Постоянство X говорит о том, что процесс извлечения из системы энергии за счет изменения частоты колебаний является адиабатическим обратимым процессом. Существование минимального времени, соответствующего обратимому переходу с одного на другой энергетический уровень, равносильно утверждению о том, что за время, меньшее этого минимума, данная энергия может быть извлечена только в необратимом процессе, сопровождающемся так называемым квантовым трением.

Отметим, что в обратимой термодинамике адиабатическому процессу изменения температуры газа соответствует изменение его объема и давления либо в условиях полной тепловой изоляции, либо мгновенно, что так же обеспечивает отсутствие теплообмена с окружением.

Пусть начальные значения всех переменных состояния, а значит, и величина X, заданы. Исходная задача содержит неограниченное линейно входящее управление и, а ее переменные состояния связаны друг с другом условием (5.153), так что для решения не может быть непосредственно использован принцип максимума.

Чтобы исключить зависимость скоростей фазовых переменных от неограниченного управления и, трансформируем пространство состояний, перейдя к новым переменным:

Выбор этих переменных сделан таким образом, чтобы в выражениях для скорости их изменения сумма слагаемых, зависящих от и, в силу уравнений (5.152) обращалась в нуль.

Исходные переменные и значение X связаны с переменными состояния в преобразованной задаче следующим образом:

Так как значение X задано, то только две переменные являются независимыми.

Обозначим через S начальное состояние системы на плоскости z_v z₂. Оно заведомо лежит выше гиперболы z_xz₂ — X. Исключим переменную z₃, выразив ее через X, z_v z₂, и перепишем уравнения для г_г и z₂ в силу системы (5.152) с учетом (5.154), (5.155). Получим.

Так как и не входит в эти уравнения, то будем считать управлением со² > 0, сократив число переменных состояния до двух, а число управлений до одного.

Время явно не входит в правые части уравнений (5.156), что позволяет упростить систему, приняв в качестве аргумента переменную z₂. При этом вдоль траекторий системы.

При постоянном значении со траектории на плоскости z_1} z₂ представляют собой прямые линии с отрицательным наклоном.

Изменения частоты со могут происходить мгновенно, поэтому минимальная продолжительность процесса от значения начальной частоты не зависит. Будем считать, что начальная частота равна со₀, но ее можно мгновенно изменить до со₂ с уменьшением энергии. То же касается и конечного значения частоты, здесь минимуму энергии всегда соответствует частота, равная coj.

Начальные условия для переменных и z₂ заданы и равны.

Конечные значения удовлетворяют равенству.

Величина Е ограничена снизу в силу неравенства z_xz₂ — X. Нижний предел достигается в точке касания гиперболы z_xz₂ — X и прямой, определяющейся равенством (5.158). Для любого фиксированного значения z₃, а значит, произведения z_xz₂, точки, соответствующие минимуму энергии, лежат на прямой г_г = соz₂. Нижняя граница достижимой энергии достигается при z₃ = 0 и равна.

Значения энергии, меньшие E_min, из любого начального состояния недостижимы (т. е. существует минимальная температура, которая может быть достигнута в обратимом процессе).

Продолжительность перехода из начального в конечное состояние.

Ее можно вычислить, задав траекторию z₁(_z₂).

Запишем условия принципа максимума для преобразованной задачи (5.159), (5.157), (5.158) в предположении невырожденности решения (|/₀ = -1):

функция Гамильтона.

условия оптимальности.

Так как функция |/(z₂) монотонно уменьшается и в силу условия, наложенного на конечное значение z_v не обращается в нуль в конце процесса, то в ходе оптимального процесса частота может измениться только один раз с (% на w₂ Д^ля любой конечной энергии, меньшей Е₀. Обозначим точку переключения через R.

Таким образом, доказано, что на оптимальном решении зависимость Zj от z₂ линейна до точки переключения R с минимальным, а после точки переключения — с максимальным наклоном. Для каждого из участков интеграл (5.159) может быть вычислен (представляет собой arcsin некоторого выражения).

Координаты точки переключения R определены уравнениями.

Получим для координаты z_2R:

Минимальную продолжительность т охлаждения тела до Е-Е найдем после подстановки оптимального решения в (5.159):

Значение т* зависит от z₂ и заданных значений энергии Е в начале и в конце процесса.

• [1] См.: Salamon R, Hoffman К.-Н., Rezek Y. Maximum work in minimum time from a conservative quantum sustem // Chem.Phys. 2009. № 11. P. 1027—1032.