Предельные возможности теплообменных и тепломеханических систем

Важной характеристикой совершенства теплообменных систем является производство энтропии, характеризующее необратимые потери работоспособной энергии. Ниже получены оценка минимального производства энтропии, соответствующие ей распределения поверхностей теплообмена и температур контакта для систем теплообмена с заданной суммарной тепловой нагрузкой и коэффициентом теплопереноса. Показано, что для теплового потока, пропорционального разности температур, отношения температур контактирующих потоков в любой точке системы должны быть одинаковы, как и температуры греющих потоков на ее выходе.

Предельные возможности теплообменной системы определены решением задачи о минимально возможном производстве энтропии (диссипации), а значит, о минимальных потерях работоспособной энергии (эксергии). Такая оценка:

• • подобно обратимым оценкам показывает, как влияют на возможности системы те или иные факторы (температура и водяной эквивалент потоков, тепловая нагрузка, коэффициент теплообмена и пр.);
• • позволяет оценить термодинамическую эффективность теплообменной системы путем сравнения фактического производства энтропии с минимально возможным;
• • позволяет при проектировании новых систем воспользоваться условиями оптимальности теплообмена, с тем чтобы приблизить конфигурацию проектируемой системы к идеальной.

Для получения термодинамической оценки эффективности многопоточного теплообмена воспользуемся оценкой, найденной для двухпоточного теплообменника — теплообменной ячейки. Затем рассмотрим задачу о минимальной диссипации для совокупности таких ячеек, связанных общими ограничениями на поверхность контакта и тепловую нагрузку. Наконец, приведем пример использования полученной оценки.

Двухпоточный теплообмен

Производство энтропии в термодинамической системе можно найти двумя способами. Если система функционирует, то его можно вычислить, зная параметры входящих потоков и потоков, покидающих систему. Если же решают задачу проектирования, то производство энтропии можно выразить через кинетические закономерности, коэффициенты теплои массопереноса и пр. как произведение потоков на движущие силы. Первоначально воспользуемся первым подходом и найдем, как связано производство энтропии в двухпоточном теплообменнике с параметрами входных и выходных потоков.

Известно^[1], что дифференциал молярной энтропии может быть выражен через теплоемкость вещества, прирост температуры и давления как.

Здесь с_р — молярная теплоемкость при постоянном давлении, a v — молярный объем. Интегрирование этого выражения от начальных до конечных значений температуры и давления позволяет найти прирост молярной энтропии. Если известен молярный расход потока, то, умножив этот прирост на расход, получим производство энтропии, связанное с изменением параметров данного потока. Просуммировав эти величины по всем потокам, найдем производство энтропии в выделенной технологической системе.

В частности, для идеального газа, теплоемкость которого зависит только от температуры, a (dv/dT)_p = R/p, прирост молярной энтропии равен.

где R — универсальная газовая постоянная.

Для жидкостей с постоянной теплоемкостью при постоянном давлении.

а прирост энтропии а, за счет изменения состояния i-го потока равен произведению его водяного эквивалента (произведения расхода на теплоемкость) на логарифм отношения абсолютных температур на выходе и на входе системы:

Производство энтропии равно a = ?^, — суммарной разнице потоков энтропии на выходе и на входе системы.

Запишем связь производства энтропии в двухпоточном теплообменнике с водяными эквивалентами потоков W_a и W₂, их температурами на входе Г₁₀, Т₂₀ и выходе Т_г, Т₂ при заданной тепловой нагрузке q:

Пусть для определенности параметры первого (горячего) потока и тепловая нагрузка фиксированы, а значит, фиксировано и значение (7j. Тогда из (8.5) следует связь выходной температуры нагреваемого потока с производством энтропии а:

Выходная температура нагреваемого потока монотонно увеличивается с уменьшением производства энтропии. Аналогичные выкладки для многопоточных теплообменников приводят к подобной связи между производством энтропии и средневзвешенной с учетом водяных эквивалентов температурой нагреваемых потоков.

Рассмотрим теплообменник с двумя потоками и найдем минимальное производство энтропии о в нем при заданной входной температуре Т₀ греющего потока, его водяном эквиваленте W, тепловой нагрузке q и интегральном коэффициенте теплообмена а. Через I обозначим текущую координату контакта элемента греющего потока, которая изменяется от нуля до L, а через q (u, Т) — поток теплоты в сечении I. Температуру нагреваемого потока обозначим через и (1).

Формальная постановка задачи примет следующий вид:

при условиях.

Для получения оценок мы предполагаем закон изменения и (1) и связанный с ним закон теплоотвода q (u, Т) подлежащими оптимальному выбору, с тем чтобы после получения оптимального решения выяснить возможности их реализации.

Воспользовавшись тем, что правая часть в (8.8) сохраняет знак, упростим задачу, сделав замену аргумента.

Приходим к постановке.

Из условия (8.12).

Если водяной эквивалент W (теплоемкость потока) зависит от Т, то функцию W (T) следует внести внутрь интегралов в (8.11)—(8.13). Для простоты далее считаем водяной эквивалент константой.

Запишем функцию Лагранжа и условия оптимальности задачи (8.11), (8.13) в предположении невырожденности решения:

или.

Равенства (8.16), (8.13) позволяют найти п*(Т) и X.

Конкретизируем их для закона теплообмена.

Получим.

Условие (8.12) примет форму.

Соотношения (8.18), (8.19) определяют и*(Т, а, X) и множитель Лагранжа X. В том случае, когда коэффициент теплопередачи постоянен, введем его интегральное значение, а = аL.

По условию (8.18) отношение и/Т постоянно. Обозначим.

и перепишем (8.19) в форме Отсюда

Уравнение (8.8) примет форму.

Минимально достижимое производство энтропии с учетом (8.21).

Отметим, что выражения (8.21), (8.23) не содержат параметров нагреваемого потока, так как температура этого потока и*(1) связана с Г*(0 условием оптимальности (8.18) и вытекающим из него равенством (8.22).

Условие, а > а* при фиксированных значениях Wn Т₀ выделяет в пространстве с координатами a, q, а область достижимых процессов теплообмена, лежащую выше границы, соответствующей оптимальной организации процесса (рис. 8.1). На этой границе достигается максимум тепловой нагрузки при фиксированном общем коэффициенте теплообмена и минимум поверхности теплообмена при заданной тепловой нагрузке.

Рис. 8.7. Граница достижимости для двухпоточного теплообменника при.

W=1,T₀ = 370 К Нетрудно показать^[2], что закон изменения температуры нагреваемого потока (8.22), а значит, и минимальное производство энтропии (8.23) могут быть достигнуты в противоточном трубчатом теплообменнике с неизменным по длине коэффициентом теплообмена а, если водяной эквивалент нагреваемого потока.

а температура этого потока на входе в теплообменник выбрана как (см. (8.5)).

Выражение (8.23) позволяет, найдя производство энтропии для произвольного реального двухпоточного теплообменника как.

сравнить его с о*. При этом, а в (8.23) — общий коэффициент теплопе;

*.

редачи рассматриваемого теплообменника. Отношение г = — <1 харак;

а теризует степень термодинамического совершенства теплообмена.

Пример 8.1. Найдем коэффициент термодинамического совершенства теплообменника, в котором гидродинамика каждого из потоков характеризуется режимом идеального смешения, температура греющего потока на входе Т₀ = 350 К, его водяной эквивалент W = 10 Вт/К, коэффициент теплообмена, а = 40 Вт/К и тепловая нагрузка q = 1000 Вт заданы. Минимально возможное производство энтропии а* при этих условиях равно в соответствии с (8.23) 0,31 Вт/К. По формуле (8.26) имеем.

По условию неотрицательности входной температуры нагреваемого.

q

потока Wi >-_ _—=-= 4,44 Вт/К. Первое слагаемое в правой части.

T₀-q/a-q/W

равенства (8.27) фиксировано и равно -3,36 Вт/К. После раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя можно показать, что второе слагаемое в правой части равенства (8.27), уменьшаясь, стремится к значению 4,44 Вт/К при стремлении водяного эквивалента к бесконечности. Так что для рассматриваемого типа теплообменника показатель эффективности р не превосходит значения 0,31/1,08 = 0,29. На рис. 8.2 показана зависимость ptU^).

Рис. 8.2. Зависимость показателя термодинамического совершенства теплообменника смешения от водяного эквивалента W^.

• [1] См.: Бошнякович Ф. Техническая термодинамика.
• [2] См.: ЦирлинА. М. Математические модели и оптимальные процессы в макросистемах. М.: Наука, 2003.