Структуры цифровых фильтров

Основные структуры нерекурсивных ЦФ показаны на рис. 11.75. Нерекурсивный фильтр (finite impulse response, FIR) — фильтр с однонаправленной цепью передачи («вперед»); его переходная характеристика h (n) имеет конечную длительность.

Желательно, чтобы ЦФ имели передаточную характеристику, подобную характеристикам аналогового фильтра. Однако это невозможно, поскольку ЦФ (как было показано выше), в отличие от аналогового, в диапазоне 0 < / < оо обладает периодической передаточной характеристикой. При этом у ЦФ используемая полоса частот ограничена соотношением 0 </</₀/2. Таким образом, можно потребовать, чтобы частотная характеристика ЦФ сохраняла желаемый вид (как передаточная характеристика аналогового фильтра) лишь до значения половины частоты дискретизации/₀/2.

Для этого можно модифицировать АЧХ аналогового фильтра посредством преобразования оси частот, таким образом, чтобы область 0 </< оо отображалась в область 0 </</₀/2 и на высоких частотах периодически повторялась (т.е. чтобы АЧХ аналогового фильтра стала похожа на АЧХ цифрового фильтра). Для этого введем вспомогательную переменную f, такую чтобы соблюдается равенство.

При/—> оо_з как и требуется, /'—>/₀/2. При /'" /₀ имеем / ~/. Следовательно, искажение частотной оси тем меньше, чем больше тактовая частота/о по сравнению с интересующим нас диапазоном частот. При синтезе аналоговых фильтров передаточная характеристика всегда представляется через нормированную частоту Q =///_ср (где/_ср — характерная точка АЧХ аналогового фильтра, частота среза или резонансная частота). Для того, чтобы это нормированное представление можно было использовать для вычислений, введем нормированную частоту выборки Q =///_ср.

Используя выражение 11.13, получаем:

При таком преобразовании, конечно же, произойдет сдвиг характерной частоты фильтра (частоты резонанса, среза). Для того чтобы эти частоты на логарифмической оси совпадали, изменим множитель перед tg в формуле (11.14).

Из формулы 11.14 получаем:

f л.

где l = ctg — .

v^o)

Тогда.

При этом ?2'= 1 при ?2 = 1, т. е. характерные частоты аналогового и ЦФ совпадают. При этом интерпретируем формально введенную частоту ?2' как новую переменную ?2 и обозначаем преобразованную частотную характеристику через Н'(/со). Очевидно, что полученная характеристика подобна характеристике аналогового фильтра.

Благодаря вышеописанным операциям преобразованная частотная характеристика Я'(/со) имеет вид, позволяющий реализовать ЦФ. Для расчета цифровой передаточной функции Н_ц(со) теперь необходимо уравнение преобразования комплексной частотной переменной Р. Подстановка Р = j?2 (?2 = -Pj) в формулу 11.16 дает.

Учитывая, что ?2₀ =/о//_ср= 1/(Т₀f_cp), 2nP'f_cp =р' и еР'^то =z, получаем: Итак:

Данное соотношение 11.17 называется билинейным преобразованием.

Таким образом, аналоговый фильтр можно преобразовать в цифровой следующим образом. В выражение для аналоговой передаточной функции Я (Р) вместо нормированной комплексной частотной переменной Р подставляем переменную l-{z — 1)/(z + 1) и получаем передаточную функцию Н_цСг), которая может быть реализована в ЦФ. АЧХ имеет в этом случае вид, подобный характеристике аналогового фильтра. Характеристика сжимается по частоте О. таким образом, чтобы значение H (jоо) соответствовало частоте ½ Q₀— Появляющееся при этом ослабление тем меньше, чем больше Q₀ по сравнению с представляющим интерес частотным диапазоном 0 < Q < ?2_тах.

Фазо-частотная характеристика, естественно, изменяется сильнее. Следовательно, положения, относящиеся к аналоговой технике, нельзя переносить в область цифровых устройств. По этой причине, например, неразумно аппроксимировать АФХ бесселевыми фильтрами, поскольку линейность фазы в этом случае нарушается. Такую задачу аппроксимации целесообразно решать непосредственно в z-области. При построении ЦФ, как и для аналоговых фильтров, наиболее просто соединять блоки первого и второго порядка.

Расчет ЦФ на заданную частотную характеристику проводится довольно просто с использованием билинейного преобразования. Для этого в передаточную функцию Н (Р) аналогового фильтра вместо частотной переменной Р подставляется ее выражение через переменную z:

где /о — частота дискретизации; /_ср — частота среза или резонансная частота фильтра.

В результате получается передаточная функция Н_цО) цифровой системы. Так, аналоговый фильтр п-го порядка преобразуется в рекурсивный ЦФ того же порядка. Заметим при этом, что частотная характеристика аналогового фильтра в области 0 </<sub>а < °° неравномерно отображается при реализации соответствующего ЦФ на область 0 </<sub>ц < </<sub>0/2 (здесь /о — частота дискретизации), т. е. частотные характеристики аналогового и соответствующего ему ЦФ оказываются различными, особенно в области верхних частот полосы пропускания. Если передаточная функция фильтра Я_ц(г) определена, то реализовать ее можно с использованием разных схемных структур, которые, как и в случае аналоговых фильтров, будут обладать присущими им индивидуальными свойствами.

Свойства ЦФ имеют свои пределы, связанные в основном с конечной длиной кодовых слов сигнала, выбором коэффициентов фильтра и элементами схемы, для которых ведется расчет (сумматор, умножитель, ЗУ). Наиболее характерные мешающие факторы:

• • чувствительность к разбросу значений (конечная точность) коэффициентов фильтров;
• • неустойчивость при перегрузках и малых уровнях сигнала рекурсивных фильтров;

• шумы округления в умножителях, обусловленные ограничением длины кодового слова результата.

Как можно видеть из всего сказанного выше, степень мешающего влияния указанных факторов можно уменьшить, если увеличить в доступных пределах длину кодовых слов внутри цифровой системы и правильно выбирать структуру схем.

Рекурсивный фильтр (infinite impulse response, IIR) —фильтр, имеет цепь обратной связи с выхода на вход и его переходная характеристика h{n) имеет бесконечную длительность.

На рис. 11.76 приведена структура рекурсивного фильтра первого порядка. Для фильтра первого порядка (рис. 11.76) необходим лишь один элемент задержки (рис. 11.74, б).

Используя формулу (11.10) для цепи задержки получаем Z-npeобразованную выходную последовательность:

Рис. 11.76. Структурная схема цифрового рекурсивного фильтра 1-го порядка.

Отсюда находим цифровую передаточную функцию рекурсивного фильтра 1-го порядка:

Далее несложно получить следующие соотношения:

• для фильтра нижних частот.

• для фильтра верхних частот.

Фильтры нижних частот характеризуются, таким образом, соотношением D₁ = D₀, а для фильтров верхних частот = -D₀. Отсюда понятно, почему схема, приведенная на рис. 11.76, не является истинным фильтром нижних частот, а обладает лишь похожей характеристикой: коэффициент в формуле (11.12) не равен D₀. Это означает, что коэффициент d_x соответствующего аналогового фильтра не равен нулю. Поэтому затухание на высоких частотах остается конечным.

Если к схеме на рис. 11.76 прибавить звено задержки, то получится фильтр второго порядка. Существует, кроме того, возможность дальнейшего наращивания схемы. Фильтр более высокого порядка может быть реализован добавлением следующего элемента задержки. Наиболее просто осуществлять каскадирование фильтров первого и второго порядка.

Цифровой фильтр широко применяются в электронных устройствах, где требуется цифровая обработка сигналов, в частности в спектральном анализе, обработке изображений, обработке видео, обработке речи и звука и многих других приложениях.