Лекция 7. Числовые характеристики случайной величины. 
Математическое ожидание

Случайные величины помимо законов распределения могут описываться также числовыми характеристиками .

Математическим ожиданием М () случайной величины называется ее среднее значение .

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле.

М () =, (1).

где — значения случайной величины, р_i - их вероятности .

Рассмотрим свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание константы равно самой константе.

М © = С.

2. Если случайную величину умножить на некоторое число k, то и математическое ожидание умножится на это же число М (k) = kМ ().

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий М (₁ + ₂ + … + _n) = М (₁) + М (₂) +…+ М (_n).

М (₁ — ₂) = М (₁) — М (₂).

5. Для независимых случайных величин 1, 2, … n математическое ожидание произведения равно произведению их математических ожиданий М (₁, ₂, … _n) = М (₁) М (₂) … М (_n).

М (- М ()) = М () — М (М ()) = М () — М () = 0.

Вычислим математическое ожидание для случайной величины из Примера 11.

М () = = .

Пример 12. Пусть случайные величины ₁, ₂ заданы соответственно законами распределения:

Таблица 2.

Таблица 3.

Вычислим М (₁) и М (₂).

М (₁) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0? 0,4 + 0,01? 0,2 + 0,1? 0,1 = 0.

М (₂) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0? 0,2 + 10? 0,1 + 20? 0,3 = 0.

Математические ожидания обеих случайных величин одинаковыони равны нулю. Однако характер их распределения различный. Если значения ₁ мало отличаются от своего математического ожидания, то значения ₂ в большой степени отличаются от своего математического ожидания, и вероятности таких отклонений не малы. Эти примеры показывают, что по среднему значению нельзя определить, какие отклонения от него имеют место как в меньшую, так и в большую сторону. Так при одинаковой средней величине выпадающих в двух местностях осадков за год нельзя сказать, что эти местности одинаково благоприятны для сельскохозяйственных работ. Аналогично по показателю средней заработной платы не возможно судить об удельном весе высокои низкооплачиваемых работниках. Поэтому, вводится числовая характеристика — дисперсия D () , которая характеризует степень отклонения случайной величины от своего среднего значения:

D () = M (- M ())². (2).

Дисперсияэто математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:

D () = = (3).

Из определения дисперсии следует, что D ()0.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия константы равна нулю.

D © = 0.

2. Если случайную величину умножить на некоторое число k, то дисперсия умножится на квадрат этого числа.

D (k) = k² D ().

D () = М (²) — М² ().

3. Для попарно независимых случайных величин 1, 2, … n дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

D (₁ + ₂ + … + _n) = D (₁) + D (₂) +…+ D (_n).

Вычислим дисперсию для случайной величины из Примера 11.

Математическое ожидание М () = 1. Поэтому по формуле (3) имеем:

D () = (0 — 1)²?¼ + (1 — 1)²?½ + (2 — 1)²?¼ =1?¼ +1?¼= ½.

Отметим, что дисперсию вычислять проще, если воспользоваться свойством 3:

D () = М (²) — М² ().

Вычислим дисперсии для случайных величин ₁, ₂ из Примера 12 по этой формуле. Математические ожидания обеих случайных величин равны нулю.

D (₁) = 0,01? 0,1 + 0,0001? 0,2 + 0,0001? 0,2 + 0,01? 0,1 = 0,001 + 0,2 + 0,2 + 0,001 = 0,204.

D (₂) = (-20)²? 0,3 + (-10)²? 0,1 + 10²? 0,1 + 20²? 0,3 = 240 +20 = 260.

Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем меньше разброс случайной величины относительно среднего значения.

Величина называется среднеквадратическим отклонением. Модой случайной величины дискретного типа Md называется такое значение случайной величины, которому соответствует наибольшая вероятность.

Модой случайной величины непрерывного типа Md, называется действительное число, определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей f (x).

Медианой случайной величины непрерывного типа Mn называется действительное число, удовлетворяющее уравнению.

F (x) = .