Задания для реализации на компьютере

10.15 (акустика). Рассмотрим нестационарное течение жидкости, охватывающее ограниченную область. Мы хотим предсказать звуковое поле, излучаемое на большое расстояние от области течения. Акустическая аналогия этой задачи состоит в решении неоднородного волнового уравнения:

где а₍₎ — скорость распространения звука в покоящейся жидкости; ф — искомый потенциал скорости; q — интенсивность источника.

Если жидкость несжимаемая, то а_{) —> °о и волновое уравнение переходит в уравнение Лапласа.

Все волны обладают некоторыми общими свойствами. Одним из важных свойств большинства волн является сохранение энергии. Другое свойство состоит в том, что полное смещение среды в волне обычно весьма мало. Поскольку волновое уравнение имеет второй порядок как по пространственным переменным, так и по времени, оно обратимо, если только в уравнении не присутствуют члены, описывающие диссипативные процессы. Следовательно, в алгоритмах для волнового уравнения нежелательны диссипативные ошибки, приводящие к уменьшению амплитуды решения. Выполнение условия обратимости решения в алгоритме гарантирует, что моды не затухают, когда алгоритм устойчив. Поскольку волны часто распространяются на весьма большие расстояния, алгоритм, применяемый для расчета их поведения, должен давать минимальное численное затухание. Наилучшие из подобных алгоритмов являются «почти неустойчивыми» или могут быть легко переведены в неустойчивое состояние за счет малых ошибок аппроксимации, дополнительных нецентрированных слагаемых в разностном уравнении или нелинейных эффектов, которые не появляются при линейном анализе устойчивости.

• 1. Реализуйте разностный алгоритм для численного решения уравнения акустики и рассмотрите поведение решений волнового уравнения, представленных в виде суммы двух волн (p(x, t) = /i (?) + /2(11)" где? = x-a₀t, r = x+a₀t. Для этого задайте в начальный момент времени (t = 0) потенциал возмущенного движения ф (.г) в виде функции, например отличной от нуля только на участке 0 <�х₀ < ?₀.
• 2. Исследуйте распространение волн, если область их распространения с одной стороны ограничена. Как учесть взаимодействие волны со стенкой в численном расчете?
• 3. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

Эта система имеет периодические решения вида.

где p (k) и v (k) — комплексные величины; k — волновое число, отвечающее направлению х. Это действительная величина, которая с длиной волны моды связана соотношением А, = 2n/k.

Реализуйте следующую конечно-разностную аппроксимацию системы:

Здесь переменная р определена в центрах ячеек в старый и новый моменты времени. Скорость V определена на границах ячеек и в моменты, промежуточные, но отношению к тем, в которые определена плотность. Подобные сетки называются разнесенными. Рассматриваемая разностная схема называется явным алгоритмом «чехарда» на разнесенной сетке. Выведите условие устойчивости разностной схемы.

10.16. Для системы уравнений акустики реализуйте неявный конечно-разностный алгоритм:

Расчетная сетка здесь разнесена, но пространству, но не, но времени. Новые значения р и v теперь определяются одновременно на одном и том же шаге, но времени. Исследуйте устойчивость разностной схемы.

Одной из хороших проверок алгоритма является следующая процедура. Проведите расчет на большое число шагов, но времени, затем остановите его, измените знак At и затем — обратный расчет задачи до начального времени t = 0.

10.17 (волны Римана). Выпишем нелинейную систему уравнений одномерных движений идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов. Она состоит из уравнения движения, отражающего закон сохранения импульса,.

уравнения неразрывности (закон сохранения массы).

и условия баротропности р = /(р).

Эти уравнения позволяют определить плотность р и скорость и в зависимости от координаты х и времени t. Система не имеет решений, зависящих только от .г ± a₀t, но оказывается возможным наити решение, представляющее собой плоскую волну и являющееся обобщением решений вида/(х ± a₀t). Будем искать решения системы, для которых скорость и является функцией только плотности р. Такие частные решения носят название решений Римана; соответствующие этим решениям движения называются волнами Римана f (x±a₀t).

1. Докажите, что в рассматриваемом течении скорость можно определить по фор;

. г [dp dp

муле и = ± ./-7-——.

4> р

Обозначим —j— = а'~(р) и введем величину с = и + а. Какой физический смысл.

dp

имеет величина с?

2. Задав начальный профиль возмущения плотности, численно решите уравнение для р (дг, t):

а) для случая адиабатических движений совершенного газа (у = 1,4):

• б) задав самостоятельно некоторую зависимость давления от плотности, р = /(р).
• 3. Опишите качественное поведение решения р (х, t). Укажите, какие требования к численному методу предъявляет возникновение в потоке скачков уплотнения. Выведите зависимостьр (р), при которой не возникает эффекта опрокидывания волны сжатия Римана. Дайте физическую трактовку полученного соотношения. Проведите численный расчет течения с полученной зависимостью р (р).
• 4. Докажите, что рассмотренные решения Римана можно определить как такие решения, для которых имеется семейство прямолинейных характеристик.
• 5. Установите условия существования центрированных волн Римана, когда и = ао/(*/"), p = PoK*/t).

Течения подобного тина — частный случай автомодельных течений, когда решение зависит от некоторой комбинации независимых переменных. Проиллюстрируйте численными расчетами особенности распространения центрированных волн Римана.

Реализуйте для расчета волн Римана разностные схемы, описанные в параграфе 10.5.

10.18 (одномерные электромагнитные волны). Плоскополяризованная волна в вакууме описывается дифференциальными уравнениями, вытекающими из уравнений Максвелла:

Электрическое поле Е направлено, но оси у, магнитное поле В — по оси х.

Если ввести векторные обозначения u = (Е, В) и F = (сВ, сЕ), систему можно переписать в векторном виде.

Задав начальные условия Е (.г, 0) и В (.г, 0), решите систему численно (предварительно выведите условие устойчивости для каждого метода):

• а) явным методом первого порядка точности;
• б) методом Лакса

в) двухшаговым методом Лакса — Вендроффа: первый шаг — метод Лакса, а второй шаг — центрированный метод «чехарда»:

г) методом «с перешагиванием»:

Опишите преимущества и недостатки примененных методов, выявленные вами в ходе практических расчетов. Здесь значения ^иа втором шаге вычисляются по значениям {ы,¹^²} на первом шаге.

10.19 (уравнение Кортевега — де Фриза). Одно из самых замечательных уравнений математической физики — уравнение Кортевега — де Фриза (сокращенно КдФ) — часто записывают в виде.

или.

• 1. Найдите преобразование, переводящее одну форму записи уравнения в другую.
• 2. Рассматриваем уравнение и, — 6ии_х + и_гхх. = 0 в области х е [-10; 10] с условием периодичности.

Для решения уравнения КдФ иногда используют трехслойную разностную схему (третья производная расписывается по пяти точкам на среднем слое по времени симметричным образом; не пугайтесь, если какой-либо коэффициент обратится в нуль). Исследуйте ее на аппроксимацию и устойчивость. Какое условие устойчивости вы получили?

• 3. Уравнение КдФ имеет бесконечное число законов сохранения. Укажем несколько из них:
• 1) Judx = const,; 2) Ju²dx = const₂;
• (/,/2 Л
• 3) f —j-—+u³ Дг = constз = /,.

V ^ >

Как построить консервативную разностную схему, чтобы на сеточном уровне выполнялись законы сохранения Judx = const?

4. Особую роль играет третий из приведенных выше законов сохранения. Он является гамильтонианом для уравнения, т. е.

Здесь — вариационная производная функционала /,. ои

Укажем способ получения разностной схемы, сохраняющей гамильтониан системы.

Запишем сеточный аналог гамильтониана.

Контрольный вопрос: почему 1[^г аппроксимирует с точностью 0(/г²)?

На сеточном уровне взятие вариационной производной означает дифференцирование по всем и" и деление на h. Тогда получаем сеточную запись вариационной производной:

Аппроксимируя дискретный аналог формулы (10.25) с естественным для этого вторым порядком по h, получаем.

_Ww+1 _ _м«-1.

Заменяя производную по времени разностью—-— и вычисляя правую часть.

2 т на слое п, получаем одну из схем п. 2.

Конечно, возможны и другие аппроксимации гамильтониана, варьирование которых приводит к другим разностным схемам. Все они будут записываться на симметричных шаблонах, на сеточном уровне для этих схем также будет выполняться закон сохранения Judx = const.

5. Получите численно с помощью одной из приведенных выше разностных схем односолитонное решение КдФ:

взяв в качестве начального условия точное решение при t = 0, с- 2. Приведите на графике значения точного и вашего численного решений.

6. Пусть и (0, х) = -6scch²(.r). В этом случае задача Коши для рассматриваемого уравнения КдФ имеет двухсолитоннос решение.

Сравните ваше численное решение с точным (при малых t). При больших t, в силу периодичности области, возникает взаимодействие солитонов. Пронаблюдайте его.

• 7. Определите, выполняется ли для вашей схемы свойство обратимости.
• 8. Задаем начальные условия в виде н (0, х) = -п (п + l) sech²(«r — 21). Определите, сколько получается солитонов.
• 9. Задаем и (0,х) = 4sech² (х — 21). Что получается в этом случае?
• 10*. Решите уравнение КдФ с произвольными начальными условиями и условием периодичности, используя следующий алгоритм. Сначала на сетке вычисляется ии'_х. Затем выполняется численное преобразование Фурье, и в каждой точке сетки численно решается уравнение u_t = ik³u + где? — Фурье-образ ии'_х. После этого можно найти u (t> х) на следующем слое, но времени, выполнив обратное преобразование Фурье. Для вычисления быстрого преобразования Фурье используйте какой-нибудь прикладной пакет или среду программирования, например Matlab.