Математические методы и модели управления

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУЧНО-УЧЕБНЫЙ ИНСТИТУТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ И МЕНЕДЖМЕНТА ФАКУЛЬТЕТ МЕНЕДЖМЕНТА КАФЕДРА Экономической кибернетики КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Прогнозирование социальных экономических процессов»

на тему: «Математические методы и модели управления»

Студентки Доронкиной Е.А.

3-ий курс группы ЭК — 10 (з) Экономика предприятия Специальность Экономическая_кибернетика Преподаватель Горчакова И. А. к. п. н., доц.

г. Донецк — 2013 год

Задание

Экономический показатель У зависит от трех факторов, на основе статистических данных за 16 периодов построить корреляционную матрицу. Используя ч²-критерий, с надежностью Р=0,95 оценить наличие общей мультиколлинеарности. Если существует общая мультикoллинeapноcть, то, используя t-статистику с надежностью Р = 0,95, обнаружить пары факторов, между которыми существует мультиколлинеарность. Если таки пары существуют, то один из факторов этой пары исключить из рассмотрения.

Используя F-критерий с надежностью Р=0,95, проверить статистическую значимость коэффициента детерминации (оценить адекватность принятой математической модели статистическим данным на основе критерия Фишера).

Если математическая модель с заданной надежностью адекватная экспериментальным данным, то используя t-статистику, с надежностью Р=0,95 оценить значимость параметров регрессии, найти значение прогноза показателя для заданных значений факторов, его доверительный интервал с надежностью Р=0,95, коэффициенты, частей эластичности, для точки прогноза. На основе полученных расчетов сделать экономический анализ.

Ход работы:

Таблица 1. Исходные данные

Общий вид множественной линейной модели:

е — стохастическая компонента (случайная);

У - зависимая переменная;

Х — переменная, которая влияет на показатель у;

б_i — параметры модели.

Вводится гипотеза, что между показателем У и факторами Х₁, Х₂, Х₃ существует линейная связь:

У - зависимая переменная;

Х - переменная, которая влияет на показатель у;

а_i — оценки параметров модели, найденные по выборке.

Исходные данные факторов размещаем в блоке В3: D18, а показатели в столбце Е3: Е18. В диапазон А3: А18 вводим единичный вектор, так как у нас присутствует параметр а_0.

Матрица нормализованных статистических данных находится в ячейках М3: Р18, У_теор — в столбце F3: F18.

Промежуточные расчеты находятся в диапазоне G3: L18. В строке В22: Е22 находим средние значения, а в строке G22: L18 суммарные значения.

Построение корреляционной матрицы

Корреляционная матрица имеет вид:

Корреляционная матрица симметрична, по главной диагонали. Все элементы главной диагонали равны 1.

Расчет корреляционной матрицы:

— При помощи встроенной функции КОРРЕЛ:

Корреляционная матрица рассчитана в блоке A56: C58.

Таблица 2

Корреляционная матрица

— Корреляционную матрицу находят по формуле:

Размер полученной матрицы:

адекватность модель математический метод

— матрица нормализованных статистических данных, которая имеет вид:

Элементы данной матрицы находятся по формуле:

Таблица 3

Матрица нормализованных статистических данных Транспонируем матрицу. Для этого выделяем ячейки A56: P58. В ячейку А56 вводим формулу =ТРАНСП (М3: О18).

Найдем произведение и поместим в ячейки A64: C66. Вводим формулу =МУМНОЖ (А56: Р58; М3: О18).

В блоке А64: С66 мы получили корреляционную матрицу вторым способом.

Тест на наличие мультиколлинеарности

1. Проверяется наличие или отсутствие общей мультиколлинеарности в модели при помощи ч²-критерия Пирсона.

Если > в модели имеется общая мультиколлинеарность с доверительной вероятностью 0,95.

находят в таблице «Критические точки распределения ч²»

уровень значимости 0,05;

степени свободы ½m (m-1) =½*3* (3−1) =3.

=7,81.

где

n — количество показателей;

m — количество факторов;

R=K^-1, R — матрица, обратная к матрице К;

К — корреляционная матрица.

Найдем матрицу обратную к корреляционной. Для этого вводим формулу =МОБР (A68: C70) в ячейку А68. В ячейке В71 находим определитель матрицы R по формуле =МОПРЕД (А68: С70).

находим в ячейке В72 по формуле = (16−1-11/6) *LN (В71)

= 106,24.

Так как > в модели имеется общая мультиколлинеарность с доверительной вероятностью 0,95.

2. Так как в модели имеет место мультиколлинеарность, необходимо выяснить между какими факторами она присутствует

Если t_расч >t_кр, то между рассматриваемыми двумя факторами имеет место мультиколлинеарность.

t_кр находят при помощи функции СТЬДРАСПРОБР:

уровень значимости — 0,05;

степени свободы — n-m-1=16−3-1=12

t_кр= 2,18.

t_расч рассчитывается по формуле:

;

— частный коэффициент корреляции.

Частный коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи между первым и вторым фактором, когда третий фактор зафиксирован, то есть его влияние исключено.

— элементы матрицы R (R=K^-1)

Таблица 4. Частичный коэффициент корреляции

На основании частного коэффициента корреляции рассчитаем t_расч

Таблица 5. Т-статистика

Так как t_12.3>t_кр, то между 1 и 2 факторами имеет место мультиколлинеарность

Так как t_23.1>t_кр, то между 2 и 3 факторами имеет место мультиколлинеарность.

Таким образом из модели выбрасываем 2 фактор.

Второй этап теста на мультиколлинеарность

Оценки параметров модели

1) — транспонирование матрицы Х;

Матрицу рассчитываем в блоке А104: Р106. =ТРАНСП (A86: С101)

2) — результат (1) умножить на матрицу Х;

Матрицу рассчитываем в блоке А108: С110.

3) — найти обратную матрицу к результату (2);

Матрицу рассчитываем в блоке А112: С114.

4) — результат (1) умножить на матрицу У;

Матрицу рассчитываем в блоке А116: А118.

5) — перемножить результаты (3) и (4);

Матрицу рассчитываем в блоке А120: А122.

Таблица 6

Запустим функцию ЛИНЕЙН

Таблица 7

Результат работы функции ЛИНЕЙН

F-статистика Фишера проверки модели на адекватность

Если F_расч>F_кр, то модель адекватна статистическим данным (хотя бы один из параметров при Х не равен нулю).

F-расчетное:

находим в ячейке B129 по формуле = (K22/2) / (J22/12)

= 1822,57

F-критическое

F_кр находится с помощью функции FРАСПОБР

уровень значимости — 0,05;

степень свободы 1 — m=1;

степень свободы 2 — n-m-1=16−1-1=14

F_кр находим в ячейке В128. F_кр= 3,74

Так как F_расч>F_кр, то модель адекватна статистическим данным.

Точечный прогноз:

.

В ячейку F19 вводим формулу =$A$ 46+$A$ 47*B19+$A$ 48*C19+$A$ 49*D19

Расчет доверительного интервала

где

Найдем

1) — транспонирование матрицы Х;

2) — результат (1) умножить на матрицу Х;

3) — найти обратную матрицу к результату (2);

4) — умножить на результат (3)

5) Расчитываем .

6) — результат (4) умножить на

7) .

8) Рассчитываем. В ячейку В141 вводим формулу =КОРЕНЬ (J22/13)

9). В ячейку В142 вводим формулу =D81*B141*КОРЕНЬ (1+A140)

Доверительный интервал:

_min = 38,800;.

_мах =41,856;

Частный коэффициент эластичности для прогноза рассчитываем по формуле:

Частный коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится показатель Y при неизмененных значениях других факторов, если X₁ изменится на 1%.

;

.

Система нормальных уравнений представлена ниже:

16*а₀+300,52*а₁+318,16*а₂+201,18*а₃=384,36

300,52*а₀+7199,367*а₁+6798,608*а₂+4283, 19*а₃=8742,584

318,16*а₀+6798,608*а₁+6789,212*а₂+4273,232*а₃=8449,799

201,18*а₀+4283, 19*а₁+4273,232*а₂+2702,53ф2*а₃=5330,47

Для расчета неизвестных коэффициентов множественной линейной регрессии используем формулы Крамера:

;;; .

Таблица 8

Выводы

Между факторами Х1, Х2 и Х3 существует мультиколлинеарность. Так как t_12.3>t_кр, то между 1 и 2 факторами имеет место мультиколлинеарность.

Так как t_23.1>t_кр, то между 2 и 3 факторами имеет место мультиколлинеарность.

Таким образом исключаем фактор Х2.

Так как F_расч>F_кр, то с надежностью 0,95 можна считать модель адекватной статистическим данным. На основании этой модели можно делать экономические выводы.

Точечный прогноз =40,328 с надежностью 0,95 покрывается интервалом {38,800; 41,856}

При увеличении фактора Х_1р на 1% показатель У_теор увеличится на 0,32% от У_р при элиминировании фактора Х_3.

Приложение

Таблица 1

Множественная линейная регрессия

Таблица 2

Режим формул