Математические методы принятия управленческих решений

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарская государственная сельскохозяйственная академия»

Институт управленческих технологий и аграрного рынка Кафедра Государственного и муниципального управления КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4С по курсу «Математические методы принятия управленческих решений»

Самара 2011

I. Расчеты вручную симплекс методом задачи линейного программирования с необходимыми пояснениями

F= 10 x₁+7x₂+4x₃Ї>max

x₁+3x₂+2x₃? 12

3x₁+4x₂+3x₃? 60

5x₁+6x₂+3x₃? 40

x₁₋₃?0

II. Математическая модель двойственной задачи с пояснениями полученных результатов.

III. Решение задачи машинным способом в Ms Excel с применением электронной таблицы и сравнение полученных результатов с ручным решением.

Выводы по работе.

Список использованной литературы линейный программирование симплекс excel

Условие задачи.

F= 10 x₁+7x₂+4x₃Ї>max

x₁+3x₂+2x₃? 12

3x₁+4x₂+3x₃? 60

5x₁+6x₂+3x₃? 40

x₁₋₃?0

I. Расчеты вручную симплекс-методом с необходимыми пояснениями Решение

1. Приведем математическую модель к канонической форме, для того чтобы можно было применить единый алгоритм решения задачи. 1] Математическая модель записана в канонической форме, если одновременно выполняются следующие условия:

· Целевая функция стремится к max;

· Ограничения в задаче должны иметь вид равенств; если ограничения имеют знак ?, то в его левую часть необходимо добавить новую дополнительную переменную, такую, чтобы получилось равенство. Вновь введенную дополнительную переменную также ввести в целевую функцию с нулевыми коэффициентами;

· Условие неотрицательности распространить и на дополнительные переменные.

F= 10 x₁+7x₂+4x₃ + х₄+х₅+х₆Ї>max

x₁+3x₂+2x₃ + х₄ = 12

3x₁+4x₂+3x₃ + х₅ = 60

5x₁+6x₂+3x₃ +х₆ = 40

x₁₋₆?0

2. Нахождение исходного базисного плана задачи линейного программирования.

Исходный базисный план — это не оптималный план, однако с помощью серий последовательных шагов — итераций — от этого плана можно придти к оптимальному плану Для нахождения такого базисного плана необходимо в каждом уравнении выбрать одну переменную с коэффициентом 1 и который не входит больше ни в какие уравнения. Остальные переменные будут свободные и их значение можно принять за 0.

m = 3, число уравнений;

n = 6, число неизвестных,

так как n>m, то система имеет бесчисленное множество решений.

В данном случае m — n = 6−3=3 неизвестных можно принять за нулевые.

х₄ = 12

х₅ = 60 исходный базисный план х₆ = 40

x₁ = 0

x₂ = 0 свободные переменные

x₃ = 0

следовательно F = 0

3. Построение исходного базисного плана

Итерация 0

4. Проверка полученного плана на оптимальность.

Выполняется по последней строке таблицы. Если в последней строке все коэффициенты? 0, то план является оптимальным.

В нашем случае (10, 7, 4 > 0), следовательно, план является не оптимальным.

5. Выбираем переменную для включения в базисный план max (10, 7, 4) = 10, следовательно х₁ включить в базис.

6. Выбираем переменную, т. е. вид продукта для исключения из базисного плана, как продукции невыгодной по расходу ресурса.

min (12/1, 60/3, 40/5) = 40/5, следовательно х₆ исключить из базиса.

7. Составляем новую симплексную таблицу

Итерация 1

4. Проверка полученного плана на оптимальность.

Выполняется по последней строке таблицы. Если в последней строке все коэффициенты? 0, то план является оптимальным.

В нашем случае (-80, -5, -2< 0), следовательно, план является оптимальным.

Ответ:

х₁* = 8

х₂* = 0

х₃* = 0

F* (х) = 80 у.е.

х₄* = 4, х₅* = 36, это остаток ресурса 1 го и 2-го вида на складе, который остался не израсходованным.

х₆* = 0, ресурс 3-го вида израсходован полностью.

II. Математическая модель двойственной задачи с пояснениями полученных результатов Каждой прямой задаче линейного программирования соответствует некоторая двойственная задача. При этом выполняется следующее условие F (X) max= F (Z) min.

Образуем двойственную задачу по следующим правилам[2]:

· если в прямой задаче целевая функция стремится к max, то в двойственной к min;

· количество оптимизационных параметров в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче (Z₁, Z₂, Z₃ — двойственные переменные)

F (Z) = 12Ч Z₁ +60Ч Z₂ +40Ч Z₃ Ї> min

· коэффициенты при целевой функции двойственной задачи равны правы частям ограничений в прямой задаче

· коэффициенты левых частей ограничений в двойственной задаче равны транспонированной матрице коэффициентов прямой задачи

т

1 3 2 1 3 5

3 4 3 = 3 4 6

5 6 3 2 3 3

Z₁ +3Z₂ +5Z₃? 10

3Z₁ +4Z₂ +6Z₃? 7

2Z₁ +3Z₂ +3Z₃? 4

· если в прямой задаче знаки ограничений ?, то в двойственной наоборот ?.

· Коэффициенты правых частей в двойственной задаче равны коэффициентам при целевой функции в прямой задаче.

· Условия неотрицательности распространяется и на двойственные переменные

Z_{1 -3}? 0

Z₁ = 0; Z₂ = 0; Z₃ = 0 (см. Таблицу Итерация 1)

Z_{1 -3} показывают прибыль, которая получится при дополнительной закупке 1 ед. ресурса.

V1 = 0, V2 = -5, V 3 = -2, эти переменные показывают ущерб, который получается при выпуске 1 ед. продукции. Продукция 1-го вида ущерба не дает, так как это активная продукция. Продукция 2-го и 3-го вида — невыгодная продукция, поэтому они дают ущерб и больший ущерб дает продукция 2-го вида.

III. Решение задачи машинным способом в Ms Excel с применением электронной таблицы и сравнение полученных результатов с ручным решением. Выводы по работе.

Вывод по работе: результаты ручного и машинного расчетов совпали.

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. — М.:Высшая школа, 1986.

2. Алесинская Т. В. Учебное пособие по решению задач по курсу «Экономико-математические методы и модели». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002.

3. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. — М.:ДЕЛО, 2001.