Математический анализ

Задание 1. Исследовать сходимость следующих рядов.

Решение:

значит данный ряд расходится (так как общий член ряда не стремится к нулю).

Задание 2. Исследовать:

а) на сходимость ряды;

б) на сходимость ряды, если ряд сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

а)

б)

Решение:

а)

Применим признак Коши.

значит данный ряд сходится.

б)

Применим признак Лейбница.

Общий член ряда стремится к нулю и каждый последующий член ряда меньше предыдущего по абсолютной величине. Данный ряд сходится. Рассмотрим ряд

ln (k+1)

Сравним ряд с рядом

Предел существует, конечен и отличен от нуля.

Ряд гармонический, расходится, значит и ряд расходится.

Так как, то и ряд расходится.

Данный ряд сходится условно.

Задание 3.

На карточках разрезной азбуки написано 32 буквы алфавита. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «хорда» ?

Решение:

способов выбрать 5 карточек одну за другой и уложить их на стол в порядке появления.

способ выбрать 5 карточек одну за другой и уложить их на стол в порядке появления так, чтобы получилось слово «хорда» .

Вероятность того, что получится слово «хорда» :

Ответ:

Задание 4.

Два станка автомата производят однотипные детали, которые вместе хранятся на складе. Станки работают одинаковое время. Производительность второго станка на 10% выше производительности первого. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке — 0,95, на втором — 0,9. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь со склада оказалась стандартной? Какова вероятность того, что стандартная деталь изготовлена на втором станке.

Решение:

А — взятая деталь со склада оказалась стандартной.

H1 — деталь изготовлена на первом станке.

H2 — деталь изготовлена на втором станке.

Задание 5. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел и, результат записать в алгебраической, тригонометрической и показательной форме:

Решение: Сумма чисел и :

— алгебраическая форма числа.

— тригонометрическая форма числа.

— показательная форма числа.

Разность чисел и :

— алгебраическая форма числа.

— тригонометрическая форма числа.

— показательная форма числа.

Произведение чисел и :

— алгебраическая форма числа.

— тригонометрическая форма числа.

— показательная форма числа.

Частное чисел и :

— алгебраическая форма числа.

— тригонометрическая форма числа.

— показательная форма числа.

Задание 6. Вычислить:

Решение:

Задание 7.

Решить графически задачу линейного программирования Найдите графическим способом решение задачи линейного программирования, при котором значение целевой функции достигает минимума, и выполняются следующие ограничения:

Решение:

Построим область допустимыx решений.

1) 5×2=15

x2=3

2) 4×1=8

x1=2

3) x1+x2=6

ряд вероятность комплексный симплексный

4)x1-x2=7

5) x1=0

6) x2=0

Область допустимыx решений — непустое множество. Нормаль линий уровня — вектор n=(3;5). Перемещаем линию уровня в направлении, противоположном направлению. Последней точкой пересечения линий уровня и области допустимыx решений является т. А

x2=3

x1+x2=6

x1=6−3=3

A (3:3)

Сmin=C (3;3)=3*3+5*3=9+15=24

Задание 8. Решить симплексным методом задачи:

Решение:

Решим задачу симплекс — методом. Приведём задачу к каноническому виду.

x1, x2, x3, x4, x50

Симплексная таблица

Критерий оптимальности задачи на максимум не выполнен (т. к. в строке целевой функции есть отрицательные элементы) Разрешающий столбец x1

Разрешающая строка x4

Разрешающий элемент 2

Вторая симплексная таблица:

Критерий оптимальности задачи на максимум не выполнен (т. к. в строке целевой функции есть отрицательные элементы) Разрешающий столбец x2

Разрешающая строка x5

Разрешающий элемент 1

Третья симплексная таблица:

Критерий оптимальности задачи на максимум выполнен.

Zmax=23 при x1=5, x2=1.