Оценки линейных функционалов для ограниченных однолистных функций, близких к тождественной

Геометрическая теория, функций комплексного переменного изучает свойства конформных отображений, главным образом, геометрическими средствами. Знаменитая теорема Римана о конформном соответствии двух произвольных односвязных гиперболических областей не дает конструктивных способов построения однолистной функции, осуществляющей взаимно однозначное отображение. Поэтому в начале XX века стали создаваться разнообразные методы решения экстремальных задач в классах однолистных функций, аналитических в канонических областях, например, в единичном круге D — {z: z < 1}.

Свойство однолистности инвариантно относительно композиции функций. В частности, произвольную однолистную функцию можно подвергнуть линейному преобразованию и добиться нормировки, сохранив при этом ее существенные геометрические и аналитические качества. Таким образом, вполне естественно, что основным объектом исследования в теории однолистных функций стал следующий класс.

Определение 1. Класс всех аналитических и однолистных в D функций f, нормированных разложением.

1) f (z) = z + а2г2 + • • • + anzn + ., z€D, обозначается через S.

Нетривиальный подкласс класса S состоит из ограниченных функций.

Определение 2. Будем обозначать через S (M) класс всех функций / &euro-Е S, удовлетворяющих в D условию f (z) < М.

Экстремальные задачи в классе S и его подклассах заключаются в установлении оценок различных функционалов, среди которых доминируют однородные, то есть инвариантные относительно вращения f (z) —> eiaf (e~locz). Линейные функционалы также вызывали значительный интерес. Напомним общий вид линейного непрерывного функционала L в классе аналитических в единичном круге функций /, оо.

Ц/) = Апап,.

71=0 где параметры А0,., Ап удовлетворяют условиям, обеспечивающим сходимость записанного ряда. В силу нормировки (1) класса 5 параметры Ао и Ai в общем представлении для него не существенны. Кроме того, будем исследовать линейные функционалы, задаваемые лишь конечными суммами, определяемыми конечным набором комплексных чисел А2,., Ап, Ап ф 0. Поскольку при решении экстремальных задач умножение функционала L (f) на положительное число не влияет # на поиск решения, то можно нормировать L (f), например, условием.

А&bdquo-| = 1. Если воспользоваться инвариантностью класса 5(М) относительно вращения, то можно положить An = 1. Поэтому будем рассматривать линейные непрерывные функционалы п.

2) W) = Y1 А" = 1″ к=2 и сосредоточимся на экстремальной задаче о поиске максимума.

3) «L (/) max, / G S (M), 1 < M < oo, который достигается в силу компактности класса 5(М). щ Задача (3) для функционала (2) содержит в частном случае при.

2 — ¦¦¦ = Ani = 0 задачу об оценке 9£ап, равносильную оценке ап. Подобные задачи вызывали повышенный интерес в теории однолистных функций особенно в связи с гипотезой Бибербаха [32] о том, что в классе S справедливы оценки а&bdquo-| < n, п > 2, со знаком равенства только для вращений функции Кебе К, оо.

4) = = zeD, которая отображает единичный круг D на плоскость с разрезом по лучу на отрицательном направлении вещественной оси с вершиной в точке — Гипотеза Бибербаха была доказана де Бранжем [33], [34]. Подробный анализ и библиографию по проблеме коэффициентов в классе S и его подклассах см. в монографиях Г. М. Голузина [7] И. А. Александрова [1], Н. А. Лебедева [17], И. М. Милина [18], К. И. Бабенко [6], Дж. Дженкин-са [12], В. К. Хеймана [30], П. Дюрена [36], Х. Поммеренке [45], О. Тамми [53], [54], обзорных статьях Д. В. Прохорова [25], [26] и других. Ряд экстремальных задач по оценкам коэффициентов локально однолистных функций универсального линейно-инвариантного семейства решен В. В. Старковым [28], [29], Г. М. Димковым и В. В. Старковым [35], Я. Году-лей и В. В. Старковым [40].

Что касается класса S (M)7 то роль функции Кебе в нем отводится функции Пика Рм [44],.

5) pM (z) = MK-1 = * + Х>"(му е S (M), zeD, м> 1, п—2 которая отображает единичный крут D на круг радиуса М с центром в начале координат с разрезом вдоль отрезка [—М, —М (2М — 1 — у/М2 — М)] на отрицательном направлении вещественной оси.

Тем не менее функция Пика Рм перестает быть экстремальной в задаче об оценке коэффициента |ап| в классе S (M) при некоторых п и М. Так, Северский [52] и Шиффер и Тамми [51] показали, что в задаче об оценке 3Ran в классе S (M) при М, близких к 1, экстремальной функцией является (п—1)-симметричное преобразование функции Пика.

РмА*) = [^-1(^п-1)]1/(п" 1) € S (M).

Результат Северского и Шиффера и Тамми пробудил острый интерес к исследованию экстремальных задач и, в частности, проблемы коэффициентов в классе S (M) при М, близких к 1. Заметим, что S (Mi) С 5(М2), если Mi < М2, и тождественная функция f (z) = z является единственной функцией, которая принадлежит всем классам S (M), М > 1,.

Р) S{M) = {f (z) = z}. м> 1.

Значит, класс S (M) является замкнутой окрестностью тождественной функции в классе однолистных функций, а число М > 1 может служить характеристикой радиуса этой окрестности.

Северский [52] доказал свою теорему вариационным методом, разработанным для нелинейного класса S и его подклассов, а Шиффер и Тамми [51] использовали для доказательства того же’вывода неравенства Грунского. Многие другие результаты о коэффициентах однолистных функций были доказаны параметрическим методом, основанным на представлении всюду плотных подклассов классов S или S (M) интегралами дифференциального уравнения Левнера. В частности, гипотеза Бибербаха доказана де Бранжем [33], [34] именно параметрическим методом. Более подробно уравнение Левнера и содержание параметрического метода будут описаны и обсуждены в § 1.

Позднее в экстремальных задачах теории однолистных функций начали успешно применяться классические вариационные методы на множестве решений дифференциального уравнения Левнера. Особенно эффективно эти методы выглядели в современной форме метода максимума Понтрягина, который соединяет такие известные необходимые условия экстремума, как уравнение Эйлера-Лагранжа и неравенство Вейер-штрасса. Важны и геометрические интерпретации условий трансверсальности как свойств ортогональности или опорности сопряженного вектора граничным многообразиям.

Глубокое проникновение вариационных принципов в параметрический метод связано со взглядом на дифференциальное уравнение Левнера как на типичное управляемое уравнение для f (z) во всюду плотном подклассе класса 5. Дифференцируя уравнения Левнера по начальному данному получаем управляемую систему относительно значений функции / и ее начальных производных в точке z. При z — 0 после деления на соответствующие факториалы и исключения двух начальных фиксированных коэффициентов разложения (1) приходим к управляемой системе для начальных коэффициентов функции / € 5.

После пионерских результатов А. Шеффера и Д. Спенсера [50] первую серьезную попытку применить методы оптимизации в теории однолистных функций предпринял Г. Гудман [41], а затем появились и другие работы, развивавшие новый подход и содержавшие решения конкретных экстремальных задач.

Свой вклад в применение методов теории оптимального управления к оценкам функционалов в классах однолистных функций внесла группа математиков под руководством И. А. Александрова. Отдельные положения теории вошли в монографию [1]. Общие проблемы оптимизации и трудности их решения были обсуждены И. А. Александровым и В. И. Поповым [3], [22]. Точные оценки функционала.

5R (eiaa2) + Щаг — а|), 0 < а < тг/2, в классе S были получены И. А. Александровым, Б. Я. Крючковым и В. И. Поповым [2]. В статье И. А. Александрова и Г. А. Поповой [4] принцип максимума Понтрягина был применен к нахождению оценки функционала.

ЭДС11оёМ + С21об? Ш]5 (сьс2)€С2, zeE, в классе Sr функций / € 5, имеющих вещественные тейлоровские коэффициенты.

Позднее теория оптимального управления в применении к классу S и его подклассам стала активно разрабатываться Д. В. Прохоровым и его учениками [23]-[26], [46]-[48].

Иные направления развития методов оптимизации были предложены С. Фридландом, М. Шиффером [37], [38] и другими. О. Рот [49] посвятил свою диссертацию описанию и сравнению вариационных методов в классах однолистных функций с оптимизационными методами Д. В. Прохорова и С. Фридланда и М.Шиффера.

Настоящая диссертация посвящена задаче (3) об оценке линейных функционалов в классе S (M) при М, близких к 1. Найдены достаточные условия, при которых функция Пика Рм экстремальна в задаче об оценке $tL (f) из (2). Показано, что достаточные условия весьма близки к необходимым. Результаты получены применением методов оптимизации в рамках параметрического представления Левнера, развитых Д. В. Прохоровым и его учениками.

Диссертация насчитывает 103 страницы, включая 1 рисунок, и состоит из введения, двух глав, разделенных на 9 параграфов, и списка литературы из 54 наименований. Принята сплошная нумерация теорем, лемм, предложений, следствий и замечаний внутри каждого параграфа и сплошная нумерация формул внутри каждой из двух глав.

1. И. А. Александров. Цараметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

2. И. А. Александров, Б. Я. Крючков, В. И. Попов. О начальных коэффициентах ограниченных голоморфных функций. Докл. АН УССР, сер. А, 1973, No. l, 3−5.

3. И. А. Александров, В. И. Попов. Оптимальные управления и однолистные функции. Ann. Univ. M. Curie-Sklodowska. Sec. A, v.22−24, 1968;70, 13−20.

4. И. А. Александров, Г. А. Попова. Экстремальные свойства однолистных голоморфных функций с вещественными коэффициентами. Сиб. матем. ж., т.14, 1973, No.5, 915 926.

5. В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.

6. К. И. Бабенко. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т.101. М.: Наука, 1972.

7. Г. М. Голузин. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М.: Наука, 1966.

8. Е. В. Григорьева. Линейные функционалы в классе ограниченных однолистных функций. Труды Петрозаводского гос. унив. Сер. Математика, вып.7. Петрозаводск: ПетрГУ, 2000, 3−14.

9. Е. В. Григорьева. Оценка линейного функционала для однолистных функций, близких к тождественной. Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. вып. 2, 25−27.

10. Е. В. Григорьева. Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002, вып. 4, 40−41.

11. Е. В. Григорьева. Линейные функционалы в классе ограниченных однолистных функций. Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002, 58−59.

12. Дж. Дженкинс. Однолистные функции и конформные отображения. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

13. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

14. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968.

15. А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. 7-е изд. М.: Физматгиз, 1962.

16. П. Ланкастер. Теория матриц. 2-е изд. М.: Наука, 1982.

17. Н. А. Лебедев. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975.

18. И. М. Милин. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971.

19. С. М. Никольский. Курс математического анализа, т.1. 2-е изд. М.: Наука, 1975.

20. И. Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 6-е изд. М.: Наука, 1970.

21. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. 2-е изд. М.: Наука, 1969.

22. В. И. Попов. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории однолистных функций. ДАН СССР, т. 188, 1969, 532−534.

23. Д. В. Прохоров. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций. Мат. Сборник, т.181, 1990, по.12, 16 591 677.

24. Д. В. Прохоров. Множество значений начальных коэффициентов ограниченных однолистных типично вещественных функций. Сиб. матем. ж., т.32, 1991, No.5, 132−141.

25. Д. В. Прохоров. Коэффициенты голоморфных функций. Итоги науки и техники. Серия: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т.71. Комплексный анализ и теория представлений 2. М.: ВИНИТИ, 2000.

26. Д. В. Прохоров. Геометрические методы в проблеме коэффициентов аналитических функций. Известия Саратовского университета. Новая Серия, т.1, 2001, No.2, 43−55.

27. У. Рудин. Основы математического анализа. 2-е изд. М.: Мир, 1976.

28. В. В. Старков. К оценке коэффициентов в классе U* локально однолистных функций. Вестник ЛГУ, 1984, No. 13, 48−54.

29. В. В. Старков. Об одном неравенстве для коэффициентов функций некоторого линейно-инвариантного семейства. Докл. Болг. Акад. Наук, т.37, 1984, No.8, 999−1002.

30. В. К. Хейман. Многолистные функции. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

31. Л. Шварц. Анализ, т.1. М.: Мир, 1972.

32. L. Bieberbach. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. S.-B. Preuss. Akad. Wiss., 1916, 940−955.

33. L. de Branges. A proof of the Bieberbach conjecture. LOMI Preprints E-5−84, 1984, 1−21.

34. L. de Branges. A proof of the Bieberbach conjecture. Acta Math., v.154, 1985, no.1−2, 137−152.

35. G.M. Dimkov, V.V. Starkov. Le probleme de coefficients dans une classe de fonctions localement univalents. Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Sec. A, v.42, 1988, 9−15.

36. P.L. Duren. Univalent functions. New York: Springer-Verlag, 1983.

37. S. Friedland, M. Schiffer. Global results in control theory with applications to univalent functions. Bull. Amer. Math. Soc., v.82, 1976, 913−915.

38. S. Friedland, M. Schiffer. On coefficient regions of univalent functions. J. Analyse Math., v.31, 1977, 125−168.

39. A. Ganczar, D.V. Prokhorov, J. Szynal. A coefficient product estimate for bounded univalent functions. Ann. Univ. Maruae Curie-Sklodowska, Sec. A, v.54, 2000, 27−44.

40. J. Godula, V. Starkow. Logarithmic coefficients of locally univalent functions. Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Sec. A, v.43, 1989, 9−13.

41. G.S. Goodman. Univalent functions and optimal control. Ph. D. Thesis, Stanford University, 1968.

42. Z.J. Jakubowski, D.V. Prokhorov, J. Szynal. Proof of a coefficient product conjecture for bounded univalent functions. Compl. Var. v.42, 2000, 241−258.

43. K. Lowner. Untersuchungen liber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. Math. Ann., v.89, 1923, 103−121.

44. G. Pick. Uber die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschranktes Gebiet. S.-B. Kaiserl. Akad. Wiss. Wien, Math.-Naturwiss. Kl. Abt. II a, v.126, 1917, 247−263.

45. Ch. Pommerenke. Univalent functions. Goettingen: Vanderhoeck and Ruprecht, 1975.

46. D.V. Prokhorov. Coefficient products for bounded univalent functions. Compl. Var., v.27, 1995, 211−216.

47. D.V. Prokhorov. Coefficients of functions close to the identity function. Compl. Var., v.33, 1997, 255−263.

48. D.V. Prokhorov, Z. Vasileva. Linear extremal problems for univalent functions close to identity. Bull. Soc. Sci. Lettr. Lodz, v.45, 1995, 11−17.49. 0. Roth. Control Theory in ЩЩ. Ph. D. Thesis, Bayerischen Univ.: Wiirzburg, 1998.

49. A.C. Schaeffer, D.C. Spencer. Coefficient regions for schlicht functions. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., v.35. New York: Amer. Math. Soc., 1950.

50. M. Schiffer, O. Tammi. On bounded univalent functions which are close to identity. Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser AI, 1968, 3−26.

51. L. Siewierski. Sharp estimatiom of the coefficients of bounded univalent functions close to identity. Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), v.86, 1971, 1−153.

52. O. Tammi, Extremum problems for bounded univalent functions. Lecture Notes in Mathematics, v.646, Berlin-New York: Springer-Verlag, 1978.

53. O. Tammi, Extremum problems for bounded univalent functions. II. Lecture Notes in Mathematics, v.913. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1982.