Особые экстремали. 
Задача оптимизации для PSIDR (Progressive Susceptible-Infected-Detected-Removed) модели с одномерным управлением

Если существует ненулевой интервал (,) такой, что функция переключения G (t)=0 для всех t? (,), то соответствующая экстремаль (S, I,) называется особым, а управление — особым управлением. Из условия (11) особое управление не определяется. Что бы найти его, будем дифференцировать функцию переключения G (t) до тех пор, пока не появится управление. Известно, что управление при этом может появиться только у четной производной функции G (t):

(t)=0 следовательно = 0(12).

(t)=0 следовательно вIS + вIS + = 0(13).

(t)=0 следовательно + в + I — = 0(14).

Управление появилось в (14). Определяем его:

м_особое = I (t)(вI (t)S (t) — S (t) — в) Для задачи (3)-(6) нам не удалось показать, что особые решения обязательно реализуются. Для их численного определения необходимы продвинутые методы. Для рассмотренных в работе параметров особые траектории не обнаружены.

Лемма 5. Существует такой интервал времени (?, Т), что м (t) = 0, для? t?(?, Т).

Доказательство:

Проанализируем поведение функции переключения при t, близких к T.

G (T)=>0. Так как G (t) — непрерывная функция, то при t, близких к T, G (t) сохраняет знак, то есть, G (t)> 0. В силу (6) м (t)=0 при t,, близких к T. Лемма Доказана.

Таким образом, допустимые экстремали состоят из допустимых траекторий, которые являются решениями одной из трех систем:

1) м = 0.

— в (t)S (t)I (t).

в (t)S (t)I (t).

=(t)в (t)I (t)-в (t)I (t).

• (t)=(t)в (t)S (t) — в (t)S (t)+
• 2) м=

).

в (t)S (t)I (t)).

=(в (t)I (t)+ (t))-в (t)I (t).

=в (t)S (t)+(-в (t)S (t)+ (t))+C1.

3) м =.

).

в (t)S (t)I (t)).

=(в (t)I (t)+ (t))-в (t)I (t).

=в (t)S (t)+(-в (t)S (t)+ (t))+C1.

оптимизация фиксированный моделирование понтрягин.