Оптимизация портфеля ценных бумаг

Оптимизация портфеля при наличии рискового актива

Имеется 7 ведущих компаний по производству программного обеспечения, на основе данных относительно динамики курсов акций этих компаний необходимо составить такой портфель ценных бумаг, который обеспечивал бы инвестору минимальный риск при требуемой доходности.

На основе данных относительно динамики цен акций отдельных компаний производителей ПО рассчитаем их нормы прибыли по формуле:

Где: — норма прибыли в i-ом месяце;

— цена акции в i-ом месяце;

— цена акции в i-1 месяце.

Таблица 1 — Динамика цен акций компаний.

Таблица 2 — Динамика нормы прибыли (доходность) акций компаний:

В качестве ожидаемой доходности актива возьмем в пределах среднего значение доходности этого актива.

Рассчитываем среднюю доходность, стандартное отклонение, дисперсию, ковариацию доходности активов используя формулы описанные ранее, а именно формулы, приведенные выше.

Таблица 3 — Доходность и риск ценных бумаг компаний:

Функции Microsoft Excel позволяют рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение нормы прибыли на основе статистической выборки. Из таблицы видно, что при сохранении текущей динамики цен, смысл инвестировать есть только в акции «WOT», «Star AG» и «Nero AG».

Инвестиции в акции других компаний нецелесообразны, так как математическое ожидание отрицательное и существует вероятность получения убытков. При этом наиболее привлекательными для инвестора будут акции «Star AG», так имеют наиболее оптимальное соотношение «доход/риск». При построении экономико-математической модели портфеля ценных бумаг важное значение имеет наличие статистической связи между нормами прибыли отдельных видов ценных бумаг. При формировании портфеля степень взаимосвязи между доходностями двух ценных бумаг можно определить с помощью таких показателей как ковариация и коэффициент корреляции. Ковариация говорит о степени зависимости двух случайных величин. Она может принимать положительные, отрицательные значения и равняться нулю. Если ковариация положительна, это говорит о том, что при изменении значения одной переменной другая имеет тенденцию изменяться в том же направлении. Так, при положительной ковариации доходностей двух бумаг с ростом доходности первой бумаги доходность второй также будет расти. При падении доходности первой бумаги доходность второй также будет снижаться. При отрицательной ковариации переменные имеют тенденцию изменяться в противоположных направлениях. В таком случае рост доходности первой бумаги будет сопровождаться падением доходности второй бумаги, и наоборот. Чем больше значение ковариации, тем сильнее зависимость между переменными. Если ковариация равна нулю, никакой зависимости между переменными не наблюдается.

Для определения ковариации норм прибыли разных ценных бумаг воспользуемся функцией КОВАРИАЦИЯ пункта меню «Анализ данных» пакета прикладных программ Microsoft Excel. В таблице 6 отображена ковариация между нормами прибыли акций компаний.

Таблица 5 — Результат выполнения анализа данных ковариации:

Для нахождения ковариации норм прибыли разных видов ценных бумаг необходимо используя данные полученные при помощи анализа данных ковариации умножить на количество рассмотренных периодов деленное на количество периодов минус один.

Таблица 6 — Ковариация норм прибыли акций компаний:

Определив основные характеристики норм прибыли ценных бумаг, перейдем к решению задачи поиска оптимального портфеля ценных бумаг.

Значением, которое требуется задать инвестору — требуемая доходность портфеля ценных бумаг. Инвестор вводит значение необходимой доходности, для которого ему требуется минимизировать риск портфеля ценных бумаг. Мы рассмотрим несколько величин доходности с их динамикой увеличения. На основании данных рассчитаем оптимальную структуру 15 портфелей ценных бумаг при доходности от 0,39% до 2,49%.

Решением данной задачи служит удельный вес каждого из активов в портфеле ценных бумаг, при котором достигается минимальный риск, причем ожидаемая доходность должна быть не меньше требуемой.

Целевой ячейкой является риск портфеля, которой задаем значение перемножения перемноженной матрицы-строки, которая отображает доли каждого вида ценных бумаг в портфеле на массив ковариации норм доходности и на транспонированную матрицу долей акций данного портфеля ценных бумаг.

В ограничения заносим сумму долей акций равную 1 и введем ограничения относительно не отрицательности долей всех видов ценных бумаг из которых формируется портфель.

Для поиска решения модели для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг инвестора воспользуемся функцией «Поиск решения» пункта меню «Данные» пакета прикладных программ Microsoft Excel.

Полученные варианты оптимальной структуры портфелей ценных бумаг отобразим в таблице 7. Наглядно соотношение между ожидаемой доходностью и риском построенных портфелей ценные бумаги отображено на рис. 1.

Таблица 7 — Оптимальная структура портфеля ценных бумаг в зависимости от ожидаемой нормы прибыли портфеля:

Показатели.	Портфель ценных бумаг.
Ожидаемая доходность портфеля.	0,39.	0,53.	0,67.	0,81.	0,95.	1,09.	1,23.	1,37.	1,51.	1,65.	1,79.	1,93.	2,07.	2,21.	2,49.
Минимальн. диперсия нормы прибыли.	5,91.	6,6714.	7,5374.	8,5560.	9,7417.	11,0945.	12,6142.	14,3075.	16,2117.	18,3327.	20,6706.	23,2255.	26,0191.	29,0686.	46,2493.
Cредне-квадратич. отклонение.	2,43.	2,5829.	2,7454.	2,9251.	3,1212.	3,3308.	3,5517.	3,7825.	4,0264.	4,2817.	4,5465.	4,8193.	5,1009.	5,3915.	6,8007.
SystPr.	0,41.	0,40.	0,39.	0,37.	0,35.	0,32.	0,30.	0,27.	0,23.	0,19.	0,15.	0,11.	0,06.	0,01.	0,00.
WOT.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,69.
Star AG.	0,31.	0,35.	0,40.	0,45.	0,49.	0,54.	0,59.	0,65.	0,71.	0,77.	0,83.	0,89.	0,94.	0,99.	0,31.
EPLAN.	0,08.	0,07.	0,07.	0,05.	0,04.	0,02.	0,01.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.
Software AG.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.
Nero AG.	0,12.	0,14.	0,15.	0,14.	0,12.	0,11.	0,10.	0,08.	0,06.	0,04.	0,02.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.
G-DATA.	0,07.	0,03.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.	0,00.

Как видим, при увеличении желаемой доходности существенно возрастает значение риска.

Рисунок 1 — Зависимость доходности портфеля акций от его риска:

Из рисунка 1 видно, что сформированные портфели акций, структура и характеристики, которых отображены в таблицы 7, образовывают множество эффективных портфелей. Любые другие портфели, которые не принадлежат этому множеству, будут неэффективными, т. е. иметь более высокий риск при одинаковой норме прибыльности. Инвестор выбирает один из эффективных портфелей в зависимости от его личной склонности к риску.

Вместе с тем можно отделить три основные вида портфелей ценных бумаг:

— консервативный портфель, состоит полностью из консервативных акций;

— смешанный портфель. В портфеле данного …