Затухающие колебания. 
Изучение образования стоячих волн в натянутой струне

В реальных колебательных системах кроме квазиупругих сил присутствуют силы сопротивления среды. Наличие сил трения приводит к рассеянию (диссипации) энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период, т. е. уменьшает частоту колебаний. Такие колебания не будут гармоническими.

Колебания с непрерывно уменьшающейся во времени амплитудой вследствие рассеяния энергии называются затухающими. При достаточно малых скоростях сила трения пропорциональна скорости тела и направлена против движения.

(20).

где r — коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний при наличии сил трения будет иметь вид:

или (21).

где — коэффициент затухания,.

— собственная круговая частота свободных колебаний при отсутствии сил трения.

Общим решением уравнения (21) в случае малых затуханий () является:

.(22).

Оно отличается от гармонического (8) тем, что амплитуда колебаний:

(23).

является убывающей функцией времени, а круговая частота связана с собственной частотой и коэффициентом затухания соотношением:

.(24).

Период затухающих колебаний равен:

.(25).

Зависимость смещения Х от t затухающих колебаний представлена на рис. 4.

Cтепень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания .

За время амплитуда (23) уменьшается в е? 2,72 раз. Это время естественного затухания называют временем релаксации. Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации:

.(26).

Скорость уменьшения амплитуды колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания. Пусть А (t) и А (t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на один период. Тогда отношение:

(27).

называется декрементом затухания, который показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду. Натуральный логарифм этого отношения:

(28).

называется логарифмическим декрементом затухания. Здесь, N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз, т. е. за время релаксации.

Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Скорость уменьшения энергии колебательной системы характеризуется добротностью Q. Добротность колебательной системы — величина, пропорциональная отношению полной энергии Е (t) колебательной системы к энергии (-Е), теряемой за период Т:

(29).

Полная энергия колебательной системы в произвольный момент времени и при любом значении Х имеет вид:

(30).

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, энергия затухающих колебаний уменьшается пропорционально величине, можно написать:

. (31).

Тогда, согласно определению, выражение для добротности колебательной системы будет иметь вид:

. (32).

Здесь учтено, что при малых затуханиях (1): 1-е^-2 2.

Следовательно, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Добротность колебательных систем может сильно различаться, например, добротность физического маятника Q ~ 10², а добротность атома, который тоже является колебательной системой, достигает Q ~ 10⁸.

В заключение отметим, что при коэффициенте затухания в=щ0 период становится бесконечным Т =? (критическое затухание). При дальнейшем увеличении в период Т становится мнимым, а затухание движения происходит без колебаний, как говорят, апериодически. Этот случай движения изображен на рис. 5. Критическое затухание (успокоение) происходит за минимальное время и имеет важное значение в измерительных приборах, например, в баллистических гальванометрах.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РЕЗОНАНС Если на тело с массой m действуют упругая сила F_у = -kX, сила трения и внешняя периодическая сила, то оно совершает вынужденные колебания. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид:

.

Или.

(33).

где, — коэффициент затухания, — собственная частота свободных незатухающих колебаний тела, F₀ — амплитуда, щ — частота периодической силы.

В начальный момент времени работа внешней силы превосходит энергию, которая расходуется на трение (рис. 6). Энергия и амплитуда колебаний тела будет возрастать до тех пор, пока вся сообщаемая внешней силой энергия не будет целиком расходоваться на преодоление трения, которое пропорционально скорости. Поэтому устанавливается равновесие, при котором сумма кинетической и потенциальной энергии оказывается постоянной. Это условие характеризует стационарное состояние системы.

В таком состоянии движение тела будет гармоническим с частотой, равной частоте внешнего возбуждения, но вследствие инерции тела его колебания будут сдвинуты по фазе по отношению к мгновенному значению внешней периодической силы:

X = AСos (щt + ц).(34).

В отличие от свободных колебаний амплитуда, А и фаза вынужденных колебаний зависят не от начальных условий движения, а будут определяться только свойствами колеблющейся системы, амплитудой и частотой вынуждающей силы:

(35).

.(36).

Видно, что амплитуда и сдвиг по фазе зависят от частоты вынуждающей силы (рис. 7, 8).

Характерной особенностью вынужденных колебаний является наличие резонанса. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте свободных незатухающих колебаний тела щ₀ носит название механического резонанса. Амплитуда колебаний тела при резонансной частоте достигает максимального значения:

(37).

По поводу резонансных кривых (см. рис. 7) сделаем следующие замечания. Если щ> 0, то все кривые (см. также (35)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, так называемому статистическому отклонению. Если щ> ?, то все кривые асимптотически стремятся к нулю.

При условии малого затухания (в² ‹‹щ₀²) резонансная амплитуда (см.(37)).

(37а) При этом условии возьмем отношение резонансного смещения к статическому отклонению:

.

из которого видно, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе определяется добротностью колебательной системы. Здесь добротность является, по сути, коэффициентом усиления отклика системы и при малом затухании может достигать больших значений.

Это обстоятельство обусловливает огромное значение явления резонанса в физике и технике. Его используют, если хотят усилить колебания, например, в акустике — для усиления звучания музыкальных инструментов, в радиотехнике — для выделения нужного сигнала из множества других, отличающихся по частоте. Если резонанс может привести к нежелательному росту колебаний, пользуются системой с малой добротностью.