Конечные десятичные дроби

5.2.5. Определение. Конечной десятичной дробью называется десятичная дробь вида я₀, а, я₂.//"00… При записи такой дроби «хвост» нулей будем отбрасывать и записывать конечную десятичную дробь в виде я₀, л₁а₂.л_л.

Для удобства символом 10″ «будем обозначать конечную десятичную дробь 0,00. .01, где 1 стоит на и-ом месте после запятой.

5.2.6. Предложение. (Свойство усиленной плотности). Для любых десятичных дробей, а up, если, а < р, то существуют конечные десятичные дроби Л и // такие, что а<�Л<//< Д.

Доказательство. Пусть а = а₀, а_ла₂…, Д = ^0,^^… и а < р. По определению отношения «меньше», существует номер к такой, что а_к < Ь_к, и для каждого номера i < к имеет место равенство а, = Ь_г

Но тогда а_к +1 < Ь_к, так что, если р = а₀, а_х.а_к__х (а_к +1), то а<�р<�р. По определению десятичной дроби, существует номер т>к такой, что цифра а_т*9. Но тогда а_т +1 является цифрой и, если Л = а₀, а₁.а_к.а_т_₁(а_т +1), то а <�Л<�р<�р. ?

Определим сложение и умножение конечных десятичных дробей через операции над соответствующими рациональными числами.

5.2.7. Определение. Положим а₀, а_х.щ +b₀, b_x.b_m =с₀, с,.г_/},.

Из этого определения следует, что сложение и умножение конечных десятичных дробей ассоциативны, коммутативны и связаны дистрибутивным законом. Кроме того, для них выполняется аксиома Архимеда.