Факторный анализ. 
Понятия факторного анализа

Основной объект преобразований в факторном анализе — это матрица корреляций, которая состоит из коэффициентов корреляции Пирсона (в некоторых случаях — дисперсионно-ковариационная матрица), вычисленная классическим путём обработки массива данных X. Под сжатием информации в факторном анализе подразумевается сокращение размерности корреляционной матрицы, а не самих данных, тем более что воссоздать начальные данные по корреляционной матрице невозможно.

Поскольку коэффициенты, из которых состоит корреляционная матрица, могут быть вычислены разными способами, существуют последующие технологии факторного анализа:

R — техника, когда коэффициенты корреляции вычисляют между переменными и исходную матрицу Х сжимают по столбцам, т. е. количество признаков уменьшится с m до р;

Q — техника, когда изучают корреляция между объектами и их количество уменьшают с n до р;

Р — техника, подразумевающая факторный анализ итогов экспериментальных изысканий, которые выполнены на одном и том же объекте в разные отрезки времени.

Модель факторного анализа — это представление исходных переменных как линейной композиции факторов :

Рисунок 1.

вычисленных так, чтобы представить с наименьшей погрешностью:

(1).

В модели (1) скрытые переменные получили название общих факторов, а переменные — специфических факторов. Значения называются факторными нагрузками (коэффициент корреляции фактора со всеми показателями, использованными в исследовании).

Если мы предположим, что все признаки приведены к стандартной форме, то есть имеют нулевые математические ожидания и единичную дисперсию.

факторы независимы между собой и независимы от специфических факторов, то факторные нагрузки совпадут с коэффициентами корреляции между общими факторами и переменными .

Элементы дисперсии.

Дисперсию признака можно представить в виде суммы квадратов факторных нагрузок, и дисперсию специфического фактора (специфичность) как :

.

где .

Определим два важных понятия:

— общность параметра вклад общих факторов в дисперсию.

— специфичность, вклад специфического фактора в дисперсию.

Таким образом, — доля дисперсии параметра, приходящаяся на фактор

Необходимо так выделить факторы, чтобы общность их принимала значение, близкое к 1 (напомним, что =1).

Описанная модель носит название классической факторной модели или метод главных факторов. Так же широко применяется метод главных компонент (далее МГК).

Метод главных компонент.

Основное отличие метода от классической факторной модели состоит в том, что используется следующая линейная модель:

МГК более прост в расчётах и интерпретации результатов. В дипломной работе будет использоваться именно он.

Отыскание компонент сводится к следующему алгоритму:

На первом этапе необходимо привести исходные данные к стандартной форме. Определим переменные:

.

где среднее значение для наблюдаемого параметра j,.

— выборочная дисперсия. называют нормированным значением параметра j для объекта i. Таким образом, математическое ожидание равно 0, а дисперсия равна 1.

В МГК основная задача —- выделение факторов, которые вносят в общность наибольшую дисперсию. Основные вычисления связаны с корреляционной матрицей. На 1-ом этапе ищем коэффициенты при первом факторе, так чтобы суммарный вклад в общность был максимальным:

при этом должны выполняться условия:

.

Решение этой задачи приводит к проблеме определения собственных чисел и собственных векторов корреляционной матрицы R. Число l называется собственным значением матрицы R с собственным вектором (, если .

Из последовательности собственных значений выбирается p наибольших. Величина — часть суммарной дисперсии исходных данных по данной компоненте. Необходимо знать, что первые несколько членов разложения вносят основной вклад в интерпретацию величин в исходных данных.

Матрица факторных нагрузок каждой исходной переменной на всякий отобранный фактор, которая соответствует коэффициентам линейных преобразований, вычисляется по формуле.

.

Уменьшенная матрица факторов F, соответствующая изначальной таблице X наблюдений, в которой число столбцов снижено с m до p, рассчитывается по формуле:

.

Главная проблема анализа состоит в решении вопроса, какое количество главных компонент нужно сформировать для наилучшего изображения рассматриваемых исходных факторов.

Задачу о том, сколько же стоит выделить значимых факторов, можно решить с помощью использования графика «каменистой осыпи». Он заключается в том, чтобы найти на графике собственных значений точку, где уменьшение собственных значений замедляется наиболее сильно. Правая часть графика представляет собой незначительные остатки — «каменистую осыпь». Осыпь — это термин из геологии, который означает каменные осколки, лежащие у подножия скалы. Нам нужно оставить не больше факторов, чем расположено слева от осыпи.

Для пояснения того, что же собой представляют сами факторы необходимо присвоить всякому из них какой-либо определённый содержательный смысл, который связан с предметной областью. Чтобы раскрыть, какая линейная комбинация скрыта в факторах, следует выполнить анализ корреляций факторных нагрузок с исходными переменными.