Основные операции реляционной алгебры

Восемь основных операций реляционной алгебры, предложенные Коддом, следующие:

• — выборка
• — проекция
• — объединение множеств
• — разность множеств
• — пересечение
• — деление
• — декартово произведение
• — соединение.

Первые пять операций выполняют большинство действий по извлечению данных, обычно представляющих интерес. Три последние операции можно вывести на их основании.

Рассмотрим вначале унарные операции — операции, совершаемые над одним отношением. Таковыми являются операции выборки и проекции.

Определение Операция выборки применяется к одному отношению R и определяет новое отношение, которое содержит только те кортежи из исходного отношения R, которые удовлетворяют заданному условию.

Вернемся к отношению Сотрудник, представленному на рис. 2. Пусть нам необходимо получить список сотрудников, работающих в отделе с кодовым номером В03 (отдел разработок). Ответ можно получить, совершив над отношением Сотрудник операцию выборки с условием Номер_отдела=В03. Результатом будет отношение, содержащее лишь кортежи отношения Сотрудник со значением атрибута Номер_отдела, равным В03:

Операция проекции применяется к одному отношению R и определяет новое отношение, получаемое после извлечения из R значений указанных атрибутов и удаления из результата кортежей-дубликатов.

Операцию проекции можно рассматривать как вертикальное подмножество отношения R. Схематически операция проекции изображена.

Пусть необходимо на основе таблицы Сотрудник создать список сотрудников, содержащий только их фамилии и должности. С помощью операции проекции определим новое отношение, которое содержит лишь атрибуты ФИО и Должность отношения Сотрудник. Порядок следования выбранных атрибутов определяется заранее:

Определение Объединением двух отношений R и S () называется отношение, включающее в себя все кортежи отношения R, все кортежи отношения S, а также все кортежи, содержащиеся в R и S одновременно. При этом объединение не содержит кортежей-дубликатов.

Объединение отношений можно построить лишь тогда, когда эти отношения имеют одинаковое количество атрибутов, причем соответственные атрибуты принадлежат к одним и тем же доменам. В этом случае отношения называются совместимыми по объединению. Для того чтобы быть совместимыми по объединению отношения не обязательно должны иметь атрибуты с одинаковыми именами.

Если отношение R содержит I кортежей, а отношение S — J кортежей, то их объединение будет содержать не более (I+J) кортежей.

Пусть имеется два отношения с информацией о зарплате сотрудников разных отделов:

Результатом их объединения будет новое отношение, содержащее сведения о зарплате всех сотрудников этих отделов:

Определение Разность двух отношений R и S есть отношение (), состоящее из кортежей, которые имеются в отношении R, но отсутствуют в отношении S. Для того чтобы операция вычитания могла быть выполнена, отношения R и S должны быть совместимы по объединению.

Так, результат вычитания для отношений.

будет следующим:

Определение Пересечение двух отношений R и S () есть отношение, состоящее из кортежей, присутствующих как в отношении R, так и в отношении S одновременно. Для того чтобы операция пересечения могла быть выполнена необходимо, чтобы отношения R и S были совместимы по объединению.

Пусть даны отношения с информацией о датах рождения сотрудников:

Выполнив операцию пересечения, мы получим список лиц, данные о которых внесены в оба отношения одновременно:

Заметим, что пересечение можно переформулировать, используя операцию разности множеств:

Определение Пусть даны отношения R с атрибутами (А1, …, Аn, X1, …, Xp) и S с атрибутами (X1, …, Xp). Деление отношения R на отношение S определяет отношение с атрибутами (А1, …, Аn), содержащее набор кортежей из R, соответствующих комбинации всех кортежей отношения S.

Иными словами, результат деления содержит множество кортежей вида (а1, …, аn) из R, таких, что для совокупности всех кортежей вида (х1, …, хp) из S в отношении R найдется кортеж вида (а1, …, аn, х1, …, хp).

Отношение R выступает в роли делимого, отношение S выступает в роли делителя.

Схематически операция деления представлена на рис. 8.

Рассмотрим отношения.

Результат операции деления этих отношений таков:

Определение Декартовым произведением отношений R и S () называется отношение, которое является результатом конкатенации (сцепления) каждого кортежа из отношения R с каждым кортежем из отношения S.

Иными словами, декартово произведение состоит из всех возможных пар кортежей из отношений R и S.

Если первое из этих отношений содержит I кортежей и N атрибутов, а второе — J кортежей и M атрибутов, то в их декартовом произведении будет ровно (IЧJ) кортежей и (N+M) атрибутов.

Схематически операция декартова произведения изображена на рис. 9.

Рис. 9. Операция декартова произведения.

Рассмотрим два отношения:

Результатом их декартова произведения будет приведенное ниже отношение.