Метод контурных токов, метод узловых потенциалов

Метод контурных токов

Ранее рассматривались простейшие одноконтурные (двухконтурные) электрические цепи и схемы с двумя узлами. Были описаны способы преобразования схем, с помощью которых в ряде случаев удаётся упростить расчёт разветвлённой электрической цепи.

В случае, когда электрическая схема достаточно сложна и не приводится к схеме одноконтурной цепи, пользуются более общими методами расчёта. Описанные ниже методы применимы для цепей постоянного и переменного тока.

Метод контурных токов позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

— число уравнений (сост. по II закону Кирхгофа).

Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не меняющими проводимость (они могут содержать источники тока), то число уравнений К, составляемых по методу контурных токов уменьшается на N_T.

Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих в этой ветви.

При пользовании методом сначала выбирают и обозначают независимые контурные токи (по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный ток).

— число независимых контурных токов, их необходимо выбирать проходящими по ветви, не содержащими источников тока.

Пусть электрическая цепь содержит n контуров (независимых). Согласно II закону Кирхгофа получаем следующую систему из n линейных уравнений:

При этом следует считать, если условные положительные направления контурных токов в одной ветви контуров K и m совпадают, и, если они противоположны.

где _{1 2 n} — дополнение

— определитель системы.

Расчёт установившегося режима в цепи переменного тока комплексным методом выполняется в следующей последовательности:

1. Составляется электрическая схема, на которой все источники и пассивные элементы представляются комплексными величинами соответственно напряжений, токов, сопротивлений (проводимостей).

2. Выбирается условно положительное направление для комплексных значений напряжений, ЭДС и токов.

3. Согласно уравнениям электрических цепей (Ома, Кирхгофа) в комплексной форме составляются алгебраические уравнения для рассчитываемой цепи.

4. Уравнения цепи разрешаются относительно искомых переменных (токов, напряжений) в их комплексной форме.

Метод узловых потенциалов Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа, где N_y — число узлов электрической схемы.

Сущность метода заключается в том, что сначала определяются потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью законов Ома.

При составлении уравнений по МУП сначала полагают равным нулю потенциал какого-либо узла, для оставшихся составляют уравнения по I-му закону Кирхгофа.

Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими сопротивлений (они могут содержать источники напряжений), то число K_I уравнений, составленных по МУП, уменьшается на N_н (число ветвей с нулевыми сопротивлениями).

— число уравнений по МУП.

Прежде, чем перейти к изложению самого метода, напомним, что в случае, когда между двумя узлами имеются несколько параллельных ветвей с источниками ЭДС (или без них), их можно привести к одной эквивалентной схеме.

Это представление эквивалентной схемой параллельных ветвей с источниками ЭДС даёт нам право без ограничения общности считать, что между любой парой узлов включена только одна ветвь.

Дальше будем предполагать, что, т. е. между узлами цепи не включены идеальные источники ЭДС.

В качестве примера составим уравнение по методу узловых напряжений для цепи, изображённой на рис. 3.

Задано:

и параметры всех элементов.

Расчёт цепи производим комплексным методом:

Для узлов 1, 2, 3 имеем уравнения:

(1)

Y₁₁=Y₁₂+Y₁₀+Y₁₃; Y₂₂=Y₂₀+Y₁₂+Y₂₃; Y₃₃=Y₃₀+Y₁₃+Y₂₃

Решив систему из 3-х уравнений относительно узловых напряжений, находим напряжения на ветвях и токи в них. Метод узловых напряжений применим к независимым контурам.

Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к опорному узлу.

Первое уравнение Кирхгофа для некоторого узла К можно записать:

(1)

Для 1-ого узла:

Значения Z₁; Z₂; Z₃; E₁ и E₂ у нас были определены ранее (см. 1-ый способ решения).

Ответ:

Между узлами К и m имеется ветвь с источниками ЭДС (E_Km), сопротивлением Z_Km, то ток в этой цепи (ветви), направленный от К к m связан соотношениями:

Первый закон Кирхгофа для рис. 1 имеет вид (1).

Напряжение можно выразить через узловые напряжения в виде:

.

Получаем:

или

Обозначив, где Y_KK — сумма проводимостей всех ветвей, присоединённых к К-ому узлу, имеем:

— что и является основным уравнением для К-ого узла по МУП.

В развёрнутой форме совокупность уравнений по МУП имеет вид:

Решая эту систему, найдём узловые напряжения, причём для К-ого узла величина будет:

где — главный определитель системы, _mK — его алгебраическое дополнение.

После того, как узловые напряжения найдены, определения токов в ветвях цепи имеют вид:

Если в ветви содержатся ЭДС, то ток равен

Метод узловых напряжений применяется к независимым узлам.

Если к К-ому узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток I_KK со знаком «+», если утекает, то со знаком «-».

Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна 0.

Y_ii — собственная проводимость всех ветвей, подходящих к узлу i (всегда со знаком «+»).

Y_iк — взаимная проводимость между узлами i и к (входит в уравнение всегда со знаком «-» при выбранном направлении всех узловых напряжений к базисному узлу).

Ток I₁ называется узловым током 1-ого узла. Это расчётная величина, равная алгебраической сумме токов, полученных от деления ЭДС ветвей, подходящих к 1-ому узлу, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «+» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлена к 1-ому узлу.

Y₁₁ — проводимость всех ветвей, сходящихся в 1-ом узле.

Y₁₂ — проводимость взаимная — равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2 (берётся со знаком «-»).

Пример:

Е₂=Е₃ = 1 В

I_K3 = 1 A

I_K2 = 1 A

R₁ = 13 Ом

R₂ = 5 Ом

R₃ = 9 Ом

R₄ = 7 Ом

R₅ = 1 Ом

R₆ = 4 Ом

Определить токи в ветвях.

Для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы необходимо ввести в левую часть уравнений искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого.