Метод статистических испытаний Монте-Карло

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт-кибернетики Специальность — прикладная информатика (в экономике) Кафедра-ОСУ Отчет по лабораторной работе № 1

«Метод статистических испытаний Монте-Карло»

по дисциплине «Имитационное моделирование ЭП»

8 вариант Выполнил: ст. гр. 8592

Л.С. Ковина Томск 2012

Цель работы:

Изучение возможностей метода статистических испытаний Монте-Карло, для решения детерминированных и вероятностных задач.

Задача 1. Решение детерминированной задачи. Определение площади фигуры Фигура ограничена следующими линиями:, , ,

1. Согласно заданному варианту, исходные данные следующие —, ,, ;

2. Найти площадь фигуры аналитическим методом (с помощью вычисления определенного интеграла);

3. Рассчитать площадь фигуры методом статистических испытаний Монте-Карло при N = 100, 500, 1000, 5000 и 10 000 испытаниях. Для каждого N должно быть 10 прогонов;

4. Построить графики для наглядной демонстрации результатов эксперимента;

5. Вычислить 95%-й доверительный интервал и сравнить его с точным значением интеграла;

6. Сделать выводы о зависимости точности вычислений от количества испытаний.

Решение

1. Найдем площадь фигуры аналитическим методом, т. е. вычислением определенного интеграла:

f (x) = -2x² + x⁴ +2

2. Чтобы проанализировать поведение функции на заданном интервале, построим ее график:

3. Вычислим максимальное значение функции на заданном интервале:

F (5) = -2*5² + 5⁴ + 2 = 577

4. Вычислим площадь прямоугольника по формуле:

S _прям = (b-a) * max _{f (x)}

S _прям = 2*577 = 1154

5. Рассчитаем площадь фигуры методом статистических испытаний Монте-Карло при N равном 100, 500, 1000, 5000, 10 000. Для каждого N имеем 10 прогонов.

6. Построим график для наглядной демонстрации результатов эксперимента:

7. Для каждого N вычислим 95%-й доверительный интервал и сравним его с точным значением интеграла.

площадь фигура интеграл статистический

8. Исходя из результатов эксперимента можно сделать следующие выводы:

· Оценка площади фигуры улучшается с увеличением числа генерируемых точек (с увеличением объема выборки).

· Усреднение результатов 10 прогонов для каждой выборки объемом n дает более точную оценку площади, чем любой из прогонов. В таблице видно, что среднее 10 экспериментов ближе к точному значению площади, чем оценки, полученные в каждом отдельном прогоне.

· Уменьшение величины стандартного отклонения свидетельствует о том, что «точность» среднего 10 экспериментов повышается с увеличением объема выборки n.