Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть, например, функция f (x) представима в виде ряда.

. (1)

Следовательно, необходимо определить коэффициенты а₀, а₁, а₂,…; причем интервал сходимости не сводится к точке, то есть R>0.

Учтем то, что степенной ряд (1) в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз и все полученные таким образом ряды тоже будут сходиться, а их суммы равны соответствующим производным.

Продифференцируем последовательно ряд (3.1):

f^/(x) = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + …

f^//(x) = 2a₂ + 23a₃x + 34a₄x² + …

f^///(x) = 23a₃ + 234a₄x + 345a₅x² + …

f^IV(x) = 234a₄ + 2345a₅x + …

Положим теперь в этих равенствах и в (1) х = 0; тогда получим, что.

f (0) = a₀; f^/(0) = a₁; f^//(0) = 2a₂; f^///(0) = 23a₃; f^IV(0) = 234a₄; …

То есть а₀ = f (0);; ;;; …

Подставляя эти значения в (1), получим ряд Маклорена:

. (2)

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций:

1. f (x) = ex.

Так как f^(к)(x) = e^x для любого к. Полагая х = 0, получим f^(к)(0) = e⁰ = 1.

Тогда ряд Маклорена имеет вид Исследуем ряд на сходимость.

.

следовательно, применяя признак Даламбера,.

.

.

следовательно, ряд сходится для каждого х, принадлежащего .

2. f (x) = Sinx.

f^/(x) = Cosx; f^//(x) = -Sinx; f^///(x) = -Cosx…

При х = 0 имеем.

f (0) = 0; f^/(0) = 1;

f^//(0) = 0; f^///(0) = -1.

Отсюда.

3. f (x) = Cosx (аналогично). Получим.

Пример. Разложить в ряд функцию Решение.

Т.к. ,.

то заменяя х на, получим.

,.

и наконец Область сходимости ряда.

В некоторых случаях функция f (x) или ее производная неопределенны при х = 0: так, например, ведут себя функции f (x) = ln (x),, для которых или. Следовательно, такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена. Тогда нужно воспользоваться более общими степенными рядами.

Рассмотрим разложение в степенной ряд функции f (x) по степеням (х-а), где а0 и его можно подобрать соответствующим образом так, чтобы.

f (x) = А₀ + А₁(х — а) + А₂(х — а)² +… (3)

Пусть х — а = z. Тогда разложение (3) примет вид.

F (z) = f (z + a) = А₀ + А₁z + А₂z² +. (4), где .

Но это уже ряд Маклорена.

Так как.

F⁽ⁿ⁾(z) = f⁽ⁿ⁾(z + a), (n = 1,2,…).

Таким образом, имеем.

A₀ = F (0) = f (a),, …,.

…

Подставив эти выражения в (4), получим ряд Тейлора.

. (5).

Если, а = 0, получим ряд Маклорена.

Если в (5) взять конечное число членов, то вместо ряда Тейлора получим многочлен Тейлора.

. (6).

То есть если (5) сходится в некоторой окрестности точки, а (U_a), то его сумма равна f (x), a P_n(x) дает приближенное представление f (x) в U_a.

Пример. Разложить многочлен f (x) = x⁴ + 2x² — 6 по возрастающим степеням (х — 2).

f^/(x) = 4x³ + 4x;

f^//(x) = 12x² + 4;

f^///(x) = 24x;

f^(IV)(x) = 24;

f^(V)(x) = 0;

f⁽ⁿ⁾(x) = 0 (n > 4).

При х = 2 получим коэффициенты разложения:

f (2) = 16 + 8 — 6 = 18; f^/(2) = 40; f^//(2) = 12; f^///(2) = 48; f^(IV)(2) = 24.

Таким образом, имеем следующее разложение.

.

или окончательно.

f (x) = 18 + 40(x-2) + 6(x-2)² + 8(x-2)³ + (x-2)⁴.

Функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Частные производные функций многих переменных и дифференциал.

Определение. Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х_х, х₂,…, х_п) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменныхz = f (х_х, х₂,…, х_п).

Переменные х_х, х₂,…, х_п называются независимыми переменными или аргументами, z — зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Функцию двух переменных обозначают z = f (x, у). Тогда ее область определения X есть подмножество координатной плоскости Оху.

Окрестностью точки называется круг, содержащий точку (см. рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.

При изучении функций нескольких переменных используется математический аппарат: любой функции z = f (x, у) можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х = х₀ функцию z = и при фиксированном значении у = у₀ функцию z = f (x, у₀).

Графиком функции двух переменных z = называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z = .

Для построения графика функции z = f (x, у) полезно рассматривать функции одной переменной z = f (x, у₀) и z =, представляющие сечения графика z = f (x, у) плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, т. е. плоскостями у = у₀ и х = х₀.

Пример 1. Построить график функции Решение. Сечения поверхности = плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oyz и Oxz, представляют параболы (например, при х = 0, при у = 1 и т. д.). В сечении поверхности кординатной плоскостью Оху, т. е. плоскостью z = 0, получается окружность График функции представляет поверхность, называемую параболоидом (см. рис. 2).

Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.

На рис. 3 изображены линии уровня, соответствующие значениям С = 1 и С = 2. Как видно, линия уровня состоит из двух непересекающихся кривых. Линия — самопересекающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры.

Пример 2. Построить линии уровня функции Решение. Линия уровня z = C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х² + у² — 2у = С или х² + (у — I)² = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом (рис. 4).

Точка (0; 1) — это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции z = -1 и достигающемуся в точке (0; 1). Линии уровня — концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом z = C, причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня позволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.