Методика обучения решению неравенств младших школьников в рамках альтернативных программ

Курсовая работа

Методика обучения решению неравенств младших школьников в рамках альтернативных программ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОНЯТИЯ НЕРАВЕНСТВА

§ 1. ОСОБЕННОСТИ МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ

§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ПОНЯТИЯ НЕРАВЕНСТВА. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РАБОТЫ С НЕРАВЕНСТВАМИ В РАЗЛИЧНЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

§ 1. ТРАДИЦИОННЫЙ ПОДХОД К ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ «НЕРАВЕНСТВА»

§ 2. МЕТОДИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ «НЕРАВЕНСТВА» ПО ПРОГРАММЕ ИСТОМИНОЙ Н.Б.

§ 3. МЕТОДИКА РАБОТЫ С НЕРАВЕНСТВАМИ В СИСТЕМЕ «ШКОЛА — 2100», ПО ПРОГРАММЕ ПЕТЕРСОН Л.Г.

§ 4.СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СОДЕРЖАНИЯ И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ НЕРАВЕНСТВ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОБУЧЕНИЯ ГЛАВА 3 ОПЫТНО-ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА

§ 1. ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ СИСТЕМЫ УЧЕБНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ОБУЧЕНИЮ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Современные тенденции развития школьного образования предполагают наряду с усвоением знаний, умений и навыков овладение основными идеями и методами познания действительности, развитие личности и формирование приемов мышления.

В свете этих тенденций изменяет свои приоритеты и математическое образование, которое на современном этапе рассматривается как процесс становления личности посредством овладения им основами математических знаний.

Активный поиск способов реализации идей развивающего обучения в школьных математических курсах нашел свое выражение в разработке альтернативных программ, учебников, методических пособий, как для начальной, так и для основной школы.

Одной из тем курса начального и среднего образования является тема «Неравенство». Неравенства уже сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности. При изучении различных тем неравенства могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний.

Появление новых технологий обучения ставит перед учителями начальных классов вопрос: какая из предлагаемых дидактических систем обучения позволит учащимся наиболее эффективно усвоить учебный материал?

Анализируя содержание учебно — методических пособий авторов М. И. Моро, М. А. Бантовой (традиционная система обучения), Н. Б. Истоминой (развивающая система обучения) и Л. Г, Петерсон (система — «Школа — 2100») по теме «Неравенство», у учителей невольно возникает вопрос: насколько успешно авторы смогли разработать методические приемы обучения понятию «неравенство», насколько оптимально подобран объем учебного материала, каким образом организована учебная деятельность учащихся.

Начальная школа должна обеспечить качественную подготовку решения неравенств младших школьников к обучению в старших классах, так как в содержании курса математики среднего звена неравенство занимает одно из главных мест.

Основным средством организации учебной деятельности учащихся являются учебные задания. Поэтому содержание, формулировка и система учебных заданий имеют огромное значение в обучении учащихся решению неравенств.

Учитель, особенно молодой специалист (стажер), стоит перед выбором: в какой программе система учебных заданий представлена наиболее эффективно. Конкретного ответа на эти вопросы в методической и периодической литературе нет.

Таким образом, актуальность и недостаточная разработанность данной проблемы послужили поводом для выбора темы исследования.

Объект исследования: формирование представлений о неравенствах и умение их решать.

Предмет исследования: содержание и методика обучения решению неравенств в различных методических системах.

Гипотеза: формирование представлений о неравенстве основано:

· В традиционной системе обучения на знании нумерации чисел, с опорой на наглядное представление ситуации;

· Н. Б. Истомина на основе логических операций и на установлении взаимно-однозначного соответствия между множествами;

· Л. П. Петерсонна взаимно-однозначном соответствии на основе деятельностного подхода.

· Из рассмотренных альтернативных программ, наиболее эффективна программа Истоминой Н. Б., так как в рамках этой программы можно осуществить:

-.идею взаимно-однозначного соответствия;

— идею сравнения компонентов действий.

Цель исследования: изучить содержание и методику преподавания понятия «неравенств» в различных методических системах.

Задачи исследования:

· выявить литературу по данной проблеме;

· рассмотреть общие понятия неравенства; неравенства с одной переменной; свойства неравенств; способы решения и преобразования неравенств;

· провести анализ учебной, методической и публицистической литературы.

Методы исследования: анализ учебной, методической и публицистической литературы.

Структура дипломной работы: дипломная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.

База исследования МОУ Зотинская СОШ Во введении обосновывается выбор данной темы выпускной работы, выделяется объект, предмет, цель исследования и задачи выпускной работы.

В первой главе рассматриваются особенности мышления школьников, теоретические основы понятия «Неравенство» ,

Во второй главе анализируются методические приемы при формировании понятия «Неравенство» в трех системах обучения (традиционная система обучения — автор Моро М. И., Бантова М. А.; развивающая система обучения, автор Истомина Н. Б. и система «Школа — 2100», автор Петерсон Л. Г). В третьей главе рассматривается преемственность при изучении понятия «Неравенство» в начальной и основной школе по программе Истоминой Н. Б. А также представлена система учебных заданий по теме «Неравенство» и результаты проверочной работы. В заключении подводится общий итог всей выпускной работы.

В приложении имеются разработанные конспекты уроков.

Глава 1. Теоретические основы понятия неравенства

§ 1. Особенности мышления школьников

Развитие как физическое, так и умственное тесно связано с возрастом. Сущность возрастных особенностей наглядно раскрывается на примере физического развития человека. Рост, прибавление веса, появление молочных зубов, а затем их смена, половое созревание и другие биологические процессы совершаются в определенные возрастные периоды с небольшими отклонениями. Поскольку биологическое и духовное развитие человека тесно связаны между собой, то существующие возрасту изменения наступают и в психической сфере.

Возраст от 6 до 11 лет является чрезвычайно важным для психического и социального развития ребенка. Во-первых, кардинально изменяется его социальный статусон становится школьником, что приводит к перестройке всей системы жизненных отношений ребенка. Если в предшествующие периоды возрастного развития основным видом деятельности ребенка была игра, то теперь на первое место в его жизни выходит целенаправленная познавательная деятельность, в процессе которой ученик получает и перерабатывает огромные объемы информации. Младшие школьники приходят в новый для большинства из них «взрослый» мир понятий, научных систематизированных знаний, новых способов общения и изложения своих мыслей. Детей этого возраста отличает особая подражательность, восприимчивость к формальной стороне познавательной деятельности. По мнению Н. С Лейтеса, младший школьник «мимикрирует» к умственной деятельности взрослых, чтобы потом (в подростковом возрасте) перейти к анализу ее содержания.

Таким образом, этот период обучения сензитивен к усвоению «общего», «стандартного» в различных видах человеческой деятельности, прежде всего — познавательной.

Во-вторых, существенные изменения происходят в психической сфере ребенка. При достижении ребенком школьного возраста отмечается прогрессирующий рост мыслительных возможностей ребенка. Это явление связано не только с возрастными изменениями, но в первую очередь с теми интеллектуальными задачами, которые необходимо решать ребенку, обучаясь в школе. Круг понятий, приобретаемых ребенком в процессе обучения в школе, все более расширяется и включает в себя все больше новых знаний из различных областей. При этом осуществляется переход от конкретных ко все более абстрактным понятиям, а содержание понятий обогащается: ребенок познает многообразие свойств и признаков предметов, явлений, а также их связи между собой; он узнает, какие признаки являются существенными, а какие нет. От более простых, поверхностных связей предметов и явлений школьник переходит ко все более сложным, глубоким, разносторонним

В процессе формирования понятий происходит развитие мыслительных операций. Школа учит ребенка анализировать, синтезировать, обобщать, развивает индукцию и дедукцию. Под воздействием школьного обучения развиваются необходимые качества мыслительной деятельности. Знания, приобретенные в школе, способствуют развитию широты и глубины мысли учащихся. Если в начале рассматриваемого возрастного периода характерно доминирование нагляднодейственного и нагляднообразного мышления, то в дальнейшем у ребенка происходит формирование абстрактнологического мышления. Ребенок, придя в школу, в основном мыслит, опираясь на конкретные образы. Именно поэтому большинство учителей начальной школы широко используют наглядность в процессе обучения. Но полное и глубокое усвоение программного материала предполагает обязательное абстрактно-логическое мышление. Для некоторых детей, особенно мальчиков, этот переход, от наглядного — к абстрактному, осуществить очень трудно. Многие родители сталкиваются с такими случаями, когда, например, их ребенок хорошо складывает и вычитает с опорой на конкретные предметы. Многие случаи свидетельствуют о том, что ребенок не пытается перейти на абстрактно-логическое мышление.

Особенность здоровой психики ребенка — познавательная активность. Любознательность ребенка постоянно направлена на познание окружающего мира и построение своей картины этого мира. Ребенок, играя, экспериментирует, пытается установить причинноследственные связи и зависимости. Чем активнее в умственном отношении ребенок, тем больше он задает вопросов и тем разнообразнее эти вопросы. Интеллектуальное развитие детей происходит, главным образом, в школе.

К школе мышление становится менее интуитивным и эгоцентричным, постепенно превращаясь в логическое. Мышление детей становится более обратимым, гибким и сложным.

Дети начинают обращать внимание на то, как объект меняет свой вид в процессе преобразований, и способны с помощью логических рассуждений согласовать эти различия во внешнем виде объекта. Между 7 и 12 годами дети осваивают различные понятия сохранения и начинают выполнять другие логические манипуляции.

Например, они могут распределять объекты по одному их признаку (по весу или высоте).

У детей в этом возрасте формируется также мысленное представление о последовательности действий. Определив психологические особенности и уровень развития логического мышления у младших школьников, можно организовать работу по целенаправленному развитию у детей математического мышления.

С целью выявления психологических условий формирования математического мышления в начальных классах в процессе учебной деятельности, структура темы взаимосвязана с такими элементами как:

· направленность на формирование, развитие психических свойств личности, в частности, мышления;

· направленностью на развитие личности младшего школьника;

· на организацию математической деятельности учащихся, деятельности в выполнении заданий, направленных на развитие способов умственных действий Рассматривая математику как образовательную область, прежде всего, следует определить вклад данной образовательной области в развитие умения учиться как основного новообразования младшего школьника в результате его обучения в начальной школе.

Применительно к математическому содержанию формирование умения учиться, помимо рефлексии как центрального механизма, лежащего в основе изменений мышления, деятельности, коммуникации и самосознания, предполагает развитие:

· Интуитивного и логического мышления и соответствующего им математического языка;

· Элементарных мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, сериации, классификации и др.)

· Умений оперировать знаковосимволическими средствами, выражать содержание (объекты, явления, признаки, отношения, действия, преобразования) в разных знаковосимволических формах, переходить от одного языка к другому, отделять содержание от формы его представления;

· Начал творческой деятельности (пространственного воображения, способов решения задач, представления информации и др.)

§ 2. Характеристика понятия неравенства. Неравенства с одной переменной

Пусть а и b — два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или <). Получим предложение a > b (или a < b), которое называют числовым неравенством.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13−7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13 — 7. Если соединить те же выражения знаком «<�», получим ложное числовое неравенство 6 + 2 < 13 — 7. Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство — это высказывание, истинное или ложное.

Знаки неравенства (<, >) появились в начале XVII столетия, ввел их английский математик Гариот. И хотя знаки >, < появились не так давно, сами понятия неравенства возникли в глубокой древности.

Неравенства, которые записываются с помощью знаков > и <, называются строгими неравенствами, а неравенства, в записи которых участвуют знаки и , — нестрогими.

Нестрогое неравенство эквивалентно строгому неравенству того же знака и равенству.

Различают два вида неравенств: арифметические (или числовые), в записи которых участвуют только числа, и неарифметические, в записи которых наряду с числами участвуют функции одной или нескольких переменных.

Например, числовыми неравенствами будут2 > 1, 7.

Неарифметическими неравенствами, например, будут неравенства а < 1, х² + у² R²

Функции, входящие в неравенства, могут принимать различные числовые значения в зависимости от различных значений своих аргументов. При одних значениях аргументов неравенство может обратиться в верное числовое неравенство, при других — нет.

Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим некоторые.

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.

3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.

Предложения 2х + 7 > 10 — х, x² + 7х < 2, (х + 2)(2х — 3) > 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(x) и g(х) — два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(x) > g(х) или f(x) < g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью определения.

Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство — это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2х + 7 > 10 — х, хR является число х = 5, так как 2•5 + 7 > 10 — 5 — истинное числовое неравенство. А множество его решений — это промежуток (1,?), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х + 7 > 10 — х => Зх > 3 => х > 1.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2х + 7 > 10 и 2х > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (?, ?).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 1. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) — выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (х) > g(х) и f (х) + h(х) > g(х) + h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f (х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f (х) + d > g(х) + d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства

f (х) > g(х) и f (х) • h(x) > g(х) • h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство

f (х) • d > g(х) • d, равносильное данному.

Теорема 3. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве X и h(х) — выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства

f (х) > g(х) и g(х) и f (х) • h(x) < g(х) • h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f (х) •d < g(х) •d , равносильное данному. Решим неравенство 5х — 5 < 2х — 16, х R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Рис. 1

Решим теперь неравенство -12 -7х < 3x + 8, x R.

Рис.2

Решением неравенства х > — 2 является промежуток (- 2, ?). Таким образом, множеством решений неравенства -12 — 7х< 3x + 8 является множество чисел (-2, ?) (рис. 2).

-2

Глава 2. Методика обучения работы с неравенствами в различных дидактических системах

§1. Традиционный подход к формированию понятия «неравенства»

В традиционной системе мы рассмотрим программу, авторами которой являются М. И. Моро и др.

С отношениями равенства и неравенства дети впервые встречаются начиная с первых уроков при сравнении двух множеств предметов, посредством установления взаимно-однозначного соответствия между составляющими их элементами (еще до счета предметов). Уже в ходе этих упражнений ученики наблюдают, что если в одном из сравниваемых множеств оказалось больше элементов, чем в другом (в результате установления соответствия некоторые элементы множества оказались без пары в другом множестве), то это означает, что в другом из сравниваемых множеств элементов меньше.

После того как практические действия с множествами связываются со счетом предметов, соответствующие упражнения уже прямо подводят детей к рассмотрению вопроса о равенстве и неравенстве чисел.

Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации целых неотрицательных чисел и арифметических действий с ними.

В ходе дальнейшей работы при изучении темы «Нумерация чисел 1—10» дети многократно выполняют сравнение чисел, устно называя отношения «больше», «меньше», «равно». На основе практических упражнений первоклассники усваивают количественные отношения между двумя соседними числами натурального ряда, осознают последовательность чисел в натуральном ряду как такую, в которой каждое следующее число на 1 больше предыдущего. В связи с этим они усваивают, что каждое число в ряду больше любого из тех, которые встречаются при счете перед ним, и меньше любого из тех, которые встречаются в ряду чисел после него. Таким образом они учатся сравнивать числа уже без опоры на данные непосредственного опыта, без опоры на предметную наглядность, лишь на основе знания того, какое из двух сравниваемых чисел встречается при счете раньше другого (оно и будет меньшим, а другое большим). И только на с. 42—43 учебник авторов М. И. Моро, М. А. Бантова предлагает ознакомить детей со знаками сравнения. Сравнивая группы предметов, учащиеся записывают и читают неравенства 5 > 4, 4 < 5 и равенство 5 = 5. Сразу же используют сравнение чисел для накопления наблюдений за изменениями при сложении и вычитании: прибавили — стало больше (3 + 1 = 4, 4 > 3), вычли — стало меньше (4 — 1 = 3, 3 < 4). Затем вводятся термины «равенство» и «неравенство» (с. 44).

Здесь же дети знакомятся со сравнением числа и выражения и соответствующими записями (М. 1, часть1, с. 42). Сравнение выполняется на основе вычисления значения выражения и сравнения полученного числа с данным: «3 + 1 > 3, так как 4 > 3». Однако уже и при рассмотрении этих первых примеров можно обратить внимание детей на то, что ответить на вопрос, что больше — 3 или 3 + 1, можно, и не вычисляя суммы, на основе такого рассуждения: если к 3 прибавить 1, то станет больше, чем 3, данное число при прибавлении к нему одной единицы увеличивается, значит 3 + 1 больше 3. На первых порах такие рассуждения выполняются уже после того, как сравнение выполнено с использованием вычислений, но в дальнейшем они могут стать исходными, а полученный на их основе вывод и в этом случае должен проверяться с помощью вычислений.

И только во втором классе предусматривается ознакомление детей со сравнением двух выражений. Одновременно рассматриваются случаи равенства и неравенства двух выражений.

Сравнение величин (1класс) сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Сравнение значений величин вызывает трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически в I — IV классах предлагать разнообразные упражнения, например:

1) Подберите равную величину: 7 км 500 м =… м, 3080 кг =…т…кг

2) Подберите числовые значения величин так, чтобы запись была верной: … ч < … мин, … см =… дм… см, … т… ц = … кг.

3) Вставьте наименования у величин так, чтобы запись была верной: 35 км = 35 000 …, 16 мин >16 …, 17 т 5 ц=17 500 … .

4) Проверьте, верные или неверные равенства даны, исправьте знак отношений, если равенства неверны: 4 т 8 ц = 480 кг, 100 мин = 1 ч, 2 м 5 см = 250 см.

Понятие переменной вводится в третьем классе. Неравенства с переменной вида: х + 3 < 7, 10 — х > 5, х • 4 > 12, 72: х < 36 вводятся также в третьем классе. Заранее ведется соответствующая подготовительная работа: включаются упражнения, в которых переменная обозначается не буквой, а «окошечком» (квадратом), например: > 0, 6 + 4 >, 7 + < 10 и т. д. Учащимся предлагается подобрать такое число, чтобы получить верную запись. При выполнении таких упражнений учитель должен побуждать детей к подстановке различных чисел; например, в неравенстве >0 можно подставить число 1 (1>0), можно 2 (2 > 0), можно 3 (3 > 0) и т. д. После того как названо несколько чисел, полезно обобщить наблюдения (например, во втором неравенстве можно подставить любое число, которое меньше 10 — от 0 до 9).

Рассматривая, например, неравенство х + 3 < 10, учащиеся путем подбора находят, при каких значениях буквы х значение суммы х + 3 меньше, чем 10. В каждом таком задании дается множество чисел — значений переменной. Ученики подставляют значения буквы в выражение, вычисляют значение выражения и сравнивают его с заданным числом. В результате такой работы выбирают значения переменной, при которых данное неравенство является верным.

Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной, при которых получается верное неравенство.

Позднее в упражнениях с неравенствами значения переменной не даются, учащиеся сами подбирают их. Такие упражнения, как правило, выполняются под руководством учителя.

Моро М.И. предлагает ознакомить детей со следующим приемом подбора значений переменной в неравенстве. Пусть дано неравенство 7 • х < 70. Сначала устанавливают, при каком значении х данное произведение равно 70 (при х=10). Чтобы произведение было меньше, чем 70, следует множитель брать меньше, чем 10. Учащиеся выполняют подстановку чисел 9, 8 и т. д. до нуля, вычисляют и сравнивают полученные значения выражения с заданным (70) и называют ответ.

Однако в процессе работы над неравенствами с переменной учащиеся, подставляя различные значения переменной, накапливают наблюдения и убеждаются в том, что равенства и неравенства бывают как верные, так и неверные. Такой подход к раскрытию понятий определяет соответствующую методику работы над неравенствами, .

Упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению других арифметических знаний. Например, подставляя различные числовые значения компонентов, дети накапливают наблюдения об изменении результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов.

Здесь уточняются знания детей о конкретном смысле каждого действия (так, подставляя значения вычитаемого, дети убеждаются в том, что вычитаемое не больше уменьшаемого на области целых неотрицательных чисел и т. п.). Подбирая значения буквы в неравенствах и равенствах вида: 5 + х = 5, 5-х = 5; 10 • х =10, 10 • х < 10, учащиеся закрепляют знания особых частных случаев вычислений. Работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенства в V классе.

§ 2. Методический подход к формированию понятия «неравенства» по программе Истоминой Н.Б.

С отношениями: столько же, больше, меньше дети знакомятся в 1 классе I четверти. На это отводится 4 урока. Основная задача этих уроков — научить младших школьников устанавливать взаимно-однозначное соответствие между предметами двух совокупностей. Не исключено, что большинство учащихся будут обращаться к счету предметов. Например, выясняя в задании № 42 «Чем похожи картинки слева и справа?»

картинка, они могут ответить: «Слева 6 груш, а справа 5 бананов», «Груш больше, чем бананов», «Бананов меньше, чем груш». В центре внимания детей должны быть различные приемы установления взаимно-однозначного соответствия. Если задание выполняется на фланелеграфе, то можно под каждым предметом одной совокупности поместить предмет другой совокупности и в результате этих действий сделать вывод о количестве предметов, пользуясь понятиями «больше», «меньше», «столько же». Соединить предметы линиями не всегда возможно. Поэтому, рассматривая нижний рисунок задания № 42, учитель знакомит детей еще с одним приемом — одновременным зачеркиванием по одному предмету в одной и другой совокупности.

Следует также иметь в виду, что для характеристики сходства и различия картинок слева и справа в том же задании можно использовать и другие признаки. Например, слева и справа — фрукты (груши и бананы), они одинакового цвета, но различны по форме, слева и справа — ягоды, они одинаковы по цвету, но разного размера, слева и справа — квадраты, они одинаковы по форме и размеру, но различны по цвету.

В дополнение к этим упражнениям можно предложить учащимся нарисовать в тетради слева произвольное число кружков (кто сколько успеет за отведенное время), а затем подумать, как нарисовать справа столько же кружков. Самый удобный способ — зачеркнуть кружок слева и сразу же нарисовать кружок справа.

Этот же прием можно использовать при выполнении заданий № 43, 44, 46, 47, 49, наложив на страницу учебника прозрачный лист бумаги или пленки. Дети выполняют задание самостоятельно, а для проверки высказанных ими суждений учитель использует фланелеграф, с которого ученики могут снимать, например в задании № 44, ежика и соответствующее количество грибов. Задание № 45 тоже связано с понятиями «столько же», «больше», «меньше». Учащиеся выполняют это задание по отношению к картинкам, которые нарисованы слева. Желательно, чтобы, указывая на признак, по которому соединены картинки, они употребляли термин «столько же». Но можно и по-другому выразить результаты своих наблюдений. Например, «Картинки соединили по признаку количества. Соединили картинки с одинаковым числом предметов и кругов». Для обоснования такого ответа ученики обычно пересчитывают предметы и круги. При анализе картинок, нарисованных справа, большинство из них также обращается к счету, но не все могут справиться с обобщением полученных результатов. Некоторые формулируют свои наблюдения конкретно «рыбок соединили с червяками», «лягушек с мухами», «собак с косточками». В этом случае учителю необходимо дополнить задание учебника вопросом: «Чем похожи все пары картинок?» (Каждую картинку с животными соединили с картинкой, на которой нарисована их любимая пища. На всех картинках предметов больше справа, чем слева). Дети могут эту мысль сформулировать так «всем рыбкам хватит по червяку и один останется», «всем лягушкам достанется по мухе и одна останется» и т. д.

При выполнении задания № 48 первоклассники также используют способ установления взаимно-однозначного соответствия. На левой картинке большие круги соединены с маленькими, на правой — красные круги соединены с синими. Рассматривая левую картинку, большинство детей замечает, что круги образуют пары, но не каждый ребенок справляется с выделением того признака, по которому эти пары составлены. В этом случае целесообразно обратиться к детям с таким вопросом «Могу ли я утверждать, что на левом рисунке каждый красный круг соединен с синим?» Они быстро отвергают это предложение, указав на пару, в которой оба круга синие или оба круга красные, но при этом замечают, что в той и в другой паре один круг большой, а другой — маленький.

В задании № 50 следует иметь в виду два варианта. Можно считать «лишней» картинку, на которой нарисованы яблоки. Если ее убрать, то останутся только те, на которых нарисованы овощи. Но можно рассуждать иначе. На всех картинках, кроме одной, нарисовано по два предмета. Ориентируясь на этот признак, ребята указывают на картинку с тремя морковками. Аналогично можно выполнить задание с картинками второго ряда: если считать «лишней» картинку с рыбами, то останутся картинки только с цветами. Если же ориентироваться на количество, то нужно убрать картинку с двумя цветками, тогда останутся картинки, на которых по три предмета. Для третьего ряда картинок возможны три варианта выполнения задания. Можно убрать картинку, на которой три звездочки, тогда останутся картинки с одинаковым количеством предметов. Можно убрать картинку с желтыми звездочками.

В этом случае останутся картинки, на которых нарисованы только зеленые звездочки. Можно убрать картинку, на которой нарисованы звездочки с четырьмя концами. Тогда останутся только пятиконечные звездочки. То есть при выборе «лишней» картинки в третьем ряду можно ориентироваться на признаки: цвет, форма, количество.

Учитель может сам составить интересные задания с ориентировкой на различные признаки.

Например, поместить на фланелеграф четыре картинки: на первой — три круга синего цвета, на второй-4 круга синего цвета, на третьей — 4 треугольника синего цвета, а на четвертой — 4 круга зеленого цвета.

При выполнении задания с такими картинками возможны три варианта: «лишняя» — первая картинка, так как если ее убрать, то все оставшиеся будут похожи по количеству предметов; «лишняя» — картинка с зелеными кругами. Если ее убрать, то на всех оставшихся будут фигуры одного (синего) цвета; «лишняя» — картинка, на которой нарисованы треугольники. Если ее убрать, то на всех оставшихся будут одинаковые фигуры (круги).

С отношениями больше, меньше, столько же дети работают в течение всего курса 1 класса. Во время изучения темы «Числовой луч», учащиеся знакомятся со знаками >, <, пользуясь которыми они записывают числовые неравенства. Здесь же они знакомятся с термином «неравенства», а также с понятиями — верные и неверные неравенства. Уже в задании (№ 144, стр.) учащиеся учатся записывать неравенства, используя знаки сравнения.

Также нужно отметить, что с понятием «неравенство», дети знакомятся чуть раньше, чем с понятием «равенство» .

В качестве символической модели используется отрезок натурального ряда (ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов: «5<9, так как число 5 называется при счете раньше, чем 9).

В качестве графической модели используется числовой луч, на котором дети отмечают точки, соответствующие натуральным числам.

Переход к сравнению выражений осуществляется практически сразу. Сначала сравнивают выражение и число (число и выражение). В № 159 используются неравенства вида: 2 + 4 > 5 и 7 < 3 + 3. Здесь учащиеся сравнивают, прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом.

В дальнейшем учащиеся сравнивают два выражения (№ 174, 178 и др.). Здесь дети сравнивают не только на основе смысла действий, но и используют логические приемы мышления: 3 + 2 < 4 + 2, так как одно из слагаемых одинаково, а 3 < 4.

Здесь же в 1 классе идет подготовительная работа для решения неравенств с переменной, (с. 100 № 232). Неравенства задаются с использованием условного знака, который дети называют окошечком, например: 9 — 3 > 9 — 8 — < 8 — 6

Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся, так как во многих случаях ограничиваются подбором значений переменной, при котором получается верное неравенство.

При изучении действий в других концентрах упражнения на сравнения и решения неравенств усложняются — более сложными становятся числа и выражения: 57 + 28…57 — 28 (2 класс, с. 107 № 318), (80 + 12): 2…80: 2 + 12 (3 класс, с. 110 № 350), 36 084 • 7 … 36 084 • 5 (4 класс, с. 17 № 34), ј …ѕ (4 класс, с. 218 № 552).Во втором классе учащиеся сравнивают единицы длины:

5 м 3дм…5м 4 дм, 35дм…34дм 5 см (с. 111 № 337),

в третьем — единицы времени: 7 мин 15с 445с (с. 164 № 549). единицы S, массы?

В IV классе (4 четверть) вводится понятие переменной. Здесь же учащиеся решают неравенства с переменной методом подбора значения переменной. Стр. 201 № 513.

Какие числа можно записать вместо а, чтобы получились верные числовые неравенства:

а + 290 < 300 — 6

а — 180 < 96: 16

Таким образом, с понятием «неравенство», в системе Истоминой Н. Б., дети знакомятся в 1классе. В результате установления взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств. При этом используются предметные, графические и символические модели. Сравнение чисел проходит от простого к сложному. Сначала сравниваются два однозначных числа, затем выражения, затем двузначные, трехзначные и многозначные числа. При этом сравнения выражений тоже усложняется. Сравнения происходит на основе вычислительных навыков, на основе смысла действия, на основе свойств действий, на основе знания нумерации.

Уже в 1 классе дети не только сравнивают числа и выражения, но и решают неравенства. А в 4 классе вводится буквенное обозначение переменной.

§3. Методика работы с неравенствами в системе «Школа — 2100», по программе Петерсон Л.Г.

Знакомство с понятиями «столько же», «больше», «меньше» основывается на практике детей из повседневной жизни, и дети безошибочно используют эти понятия для сравнения совокупностей предметов с числом элементов, не превышающим 5. Переход к большим числам, зрительно воспринимаемым как «много», требует изучения способа количественного сравнения совокупностей предметов с помощью составления пар. Рассмотрим один из возможных вариантов подведения детей к «открытию» этого способа.

Вначале учитель просит детей выстроиться парами — мальчик с девочкой. После того, как они построились, ставится вопрос: кого в классе больше — мальчиков или девочек? Почему? Выясняется, что если всем хватает пары, то мальчиков столько же, сколько девочек (число мальчиков равно числу девочек, М = Д). Если без пары остаются мальчики, то мальчиков больше, чем девочек, а если без пары остаются девочки, то больше девочек. В каждом из этих случаев число мальчиков не равно числу девочек: М? Д.

Затем детям предлагается учебная задача. На доске нарисовано много треугольников и квадратов, которых трудно пересчитать визуально. Учитель просит сравнить их число. Тогда по аналогии с предыдущим построением дети предложат составить пары из треугольников и квадратов (фигуры на доске должны быть расположены так, чтобы эти пары были удобно образовывать). Несколько учеников выходят к доске и соединяют линиями треугольники и квадраты.

После этого дети сами должны объяснить, в каком случае число фигур в совокупностях равно (если всем хватает пары), а когда не равно (остаются «лишние», без пары). Таким образом, они «открывают» принцип сравнения совокупностей по количеству с помощью составления пар. Этот способ сравнения отрабатывается в заданиях №№ 1−3, стр. 44. В задании 1 надо сравнить число людей с числом вещей. Каждому человеку даем соответствующую вещь (кастрюлю — повару, кисть — художнику и т. д.). Так как каждый получает одну вещь и лишних вещей не остается, то вещей столько же, сколько людей (В = Л). Эту задачу можно разобрать фронтально, а остальные задачи предназначены для самостоятельного решения. В задании № 2, стр. 44 таким же образом сравнивается число детей и конфет, машин и велосипедов. Ответ записывается в буквенной форме: Д = К (число детей равно числу конфет), М? В (число машин не равно числу велосипедов).

После этого дети переходят к сравнению чисел с помощью знаков = и ?. На первых двух рисунках дан образец выполнения задания. Учащиеся так же составляют пары предметов, проводя линии. Если оказывается, что в одной совокупности столько же предметов, сколько и в другой, то, значит, и соответствующие числа равны. В противном случае число предметов первой совокупности не равно числу предметов второй совокупности (в группе с большим числом предметов выделяется овалом правильная часть, равночисленная группе с меньшим числом предметов). Полезно уже на этом этапе проговаривать, где предметов больше, а где их меньше, и на сколько больше или меньше. Оставшиеся без пары предметы лучше раскрашивать цветными карандашами, чтобы яснее подчеркнуть, что именно они определяют, на сколько одно число больше (меньше) другого. Для решения задач на сравнение в дальнейшем детям останется лишь осознать, что число этих предметов надо искать действием вычитания, так как они составляют часть совокупности с большим числом элементов, но с этим дети знакомятся позже. Сейчас важно, чтобы дети усвоили следующее:

1) Составляя пары, можно сравнить число элементов двух совокупностей.

2) Если всем элементам хватает пары, то числа равны, а если нет — то числа не равны.

3) Оставшиеся без пары элементы показывают, какое из двух чисел больше и на сколько. Эти выводы отрабатываются и закрепляются на уроках 29−30 (задания N1, стр. 46; N 5, стр. 49), а затем и на последующих уроках после введения знаков > и <. Знаки > и < вводятся на 31-м уроке. Лучше, если их придумают сами дети. Урок можно начать с визуального сравнения совокупностей. — Где больше книг — в библиотеке или на парте?

— Кого в классе больше — учителей или учеников?

Ставится проблема — придумать знак, обозначающий, где больше предметов, а где их меньше. Знак «?» неудобен тем, что он лишь фиксирует факт неравенства, не указывая, какое из количеств больше.

На доске в двух мешках размещается поровну предметов и между ними полосками обозначается равенство.

Затем из правого мешка несколько фигур перемещаются в левый. Как показать, что теперь в левом мешке предметов стало больше? Дети должны догадаться раздвинуть полоски, как клювик у птицы, получается знак «>».

Важно, чтобы идея — «раскрыть» знак «=» в сторону большего числа, — была высказана самими детьми. Учитель лишь сообщает, что название знаку («больше» или «меньше») дает левое число.

В N1, стр. 50 дети также визуально определяют, где больше рыб, а где меньше, где больше цветов, а где меньше. Они должны заметить, что клювик птицы всегда раскрыт в сторону большего количества. Его можно обвести красным карандашом.

Далее, повторяется сравнение совокупностей предметов по количеству с помощью составления пар. Учитель предлагает детям сравнить две стопки книг: одну высокую — с меньшим числом книг, а другую — низкую, книг в которой, наоборот, больше. Дети в этом случае обычно считают, что в высокой стопке книг больше, не принимая во внимание их толщину. Мнения могут разделиться. Проверка производится посредством составления пар. Неожиданно для многих детей окажется, что в высокой стопке книги закончились раньше, поэтому книг в ней меньше. Таким образом, повторяется вывод о том, что больше предметов в той совокупности, где при составлении пар остаются лишние элементы.

В задании N2, стр. 50 вывод о сравнении совокупностей с помощью составления пар еще раз закрепляется. Визуально кажется, что воробьев меньше, чем голубей. Посредством составления пар устанавливается, что, наоборот, воробьев больше, а голубей меньше. На доске учитель записывает результат сравнения с помощью знаков «>» и «<�»: В > Г, Г< В.

В задании N3, стр. 50 учащиеся переходят к сравнению чисел с помощью знаков >, <, =. Фактически, они выполняют то же задание на сравнение чисел, что и раньше, только вместо знака? ставят либо знак >, либо знак <. Новым для них является лишь использование знаков > и <, на которых они и сосредотачивают свое внимание. Аналогичный характер имеют задания NN1—2, стр. 51.

В завершение этой работы на уроке 32 с детьми надо выявить следующую закономерность: из двух чисел на числовом отрезке меньшее расположено левее, а большее правее.

На основе полученного вывода полезно рассмотреть некоторые свойства неравенств (транзитивность и антисимметричность). Для этого можно провести игру «Найди подходящее слово». Учитель читает предложения, а дети подбирают недостающее слово.

1) Если первое число больше второго, то второе … первого. (Меньше.)

2) Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое число… третьего. (Больше.)

В классах, где уровень подготовки детей невысок, можно пояснить эти свойства на конкретных примерах, используя, например, шкалу линейки (5 > 3, поэтому 3 < 5; 9 > 8, 8 > 4, поэтому 9 > 4). В классах более подготовленных полезно дать обобщенное обоснование:

В течение 1−2 класса дети сравнивают совокупность предметов, сравнивают числа (однозначные и двузначные) с помощью знаков >,<, =; выражение и число; выражения. При изучении темы «Величины» сравнивают величины. Термин «неравенство» не вводится.

Уже во тором классе учащиеся сравнивают трехзначные числа. Часть1, с. 71, № 7: какую цифру можно поставить вместо звездочки, чтобы получилась верная запись.

5*4 < 514 206 > *06

Также продолжают работать со сравнением величин. При этом дети усваивают правило: сравнивать величины можно только тогда, когда они измерены одинаковыми мерками. Часть 2, с. 54, № 6: сравни

3 м 29дм 43 дм 3м 4 дм

В третьем классе вводятся термины «неравенство» (параллельно с «равенством»), «верное», «неверное неравенство» Часть 1, с.26. На этом же уроке дети работают с переменной.

С.26 № 2. Запиши множество значений переменной, при которых верно неравенство.

с + 24 > с + 42 t — 18 < t — 81

Термин «реши неравенство» не вводится.

Во второй четверти 3 класса учащиеся знакомятся с понятием решение неравенства. Правило гласит так:

Значение переменной, удовлетворяющее неравенству, называется решением неравенства. Так, например, число 5 является решением неравенства y<9, а число 16 не является решением этого неравенства.

На этом же уроке дети выполняют различные тренировочные упражнения. № 4.

Будет ли число 6 решением неравенства:

15 + х > 40 2 + у < 96

Необходимо отметить, значение переменной учащиеся находят методом подбора.

На следующем уроке рассматривается понятие «множество решений» неравенства.

У неравенства может быть несколько решений. Числа 1,3,5 являются решениями неравенства X < 6. Но это не все его решения: кроме них решениями являются числа 0, 2, 4. Если мы напишем числа 0,1,2,3,4,5, то получим все решения неравенства X < 6. Других решений у него нет.

Полный список решений неравенства называют множеством решений этого неравенства. Так, множеством решений неравенства X < 6 является множество {0,1,2,3,4,5}.

Неравенство у + 8 < 6 не имеет ни одного решения. Множество его решений является пустым:

Решениями неравенства z > 6 являются любые числа, большие 6. Это неравенство имеет бесконечное множество решений: {7,8,9,10…}

На этом уроке учащиеся много работают с числовым лучом. И записывают множество решений неравенства именно с помощью числового луча.

№ 3. Запиши множество решений неравенства и отметь его на числовом луче. Существует ли в этом множестве наименьший элемент.

На третьем уроке дети знакомятся с нестрогими неравенствами и соответствующими знаками. (,)

Высказывание, в котором содержатся два условия, объединенные союзом «или», верно, если выполняется хотя бы одно из этих условий.

Высказывание " 2 меньше или равно 4″ можно записать короче: 2 4. Оно состоит из двух высказываний: 2 < 4 и 2 = 4. Так как одно из этих высказываний верно (2 < 4), то верно и все высказывание 2 4.

Высказывание 4 4 также верно, поскольку верно равенство 4 = 4.

На этом уроке помимо отработки нового, очень много заданий на закрепление изученного.

На следующем уроке учащиеся работают с таким понятием, как «двойное неравенство». Это понятие раскрывается на примере: при взвешивании арбуза оказалось, что он тяжелее одной 5-килограммовой гири, но легче двух таких гирь. Обозначив массу арбуза х кг, можно записать: 5 < х, х > 10. Масса арбуза является решением как первого, так и второго неравенства. Вместо двух неравенств 5 < х и х > 10 пишут одно двойное неравенство: 5 < х < 10. Его читают так: «х больше пяти и меньше десяти» .