Уравнение Шредингера. 
Основы квантовой механики и квантовой электродинамики

При описании явлений, в которых участвуют микроскопические частицы вещества — электроны, протоны, нейтроны и др., на основе представлений и законов классической физики (механики, электродинамики, волновой оптики и т. д.) встретились затруднения, оказавшиеся непреодолимыми. Для объяснения новых явлений (фотоэффект, дифракция электронов и других частиц и т. д.) потребовались новые представления, которые не укладывались в рамки классической физики, явно противоречили ее основным положениям.

Со временем отдельные разрозненные предположения и гипотезы, возникшие в различных областях атомной физики, были связаны между собой и привели к формированию единой физической теории, получившей название квантовой физики.

Важнейшими свойствами квантовых объектов являются следующие:

• 1) существование у частиц корпускулярных и волновых свойств, неотделимых друг от друга и несводимых друг к другу;
• 2) существование у физических систем дискретного спектра устойчивых состояний, что следует, например, из дискретного спектра излучения атомов.

Корпускулярные свойства заключаются в том, что каждая частица имеет некоторую сосредоточенную в малом объеме энергию и импульс; при взаимодействии частиц между собой соблюдаются законы сохранения и импульса.

Волновые свойства заключаются в том, что траектория частицы определяется некоторой связанной с ней волной, распространение которой подчинено принципу Гюйгенса и для которой соблюдается принцип суперпозиции. Однако это утверждение требует расшифровки, какова природа этих волн, какая физическая величина характеризует эти волны и изменяется в соответствии с волновым уравнением, каким образом поведение частицы связано со значениями этой величины в различных точках пространства, т. е. как взаимодействуют между собой «волна» и «частица». Заметим, что для одной из частиц — фотона — частота колебаний связана с энергией, а длина волны — с импульсом частицы.

Однако для электронов, протонов, нейтронов и других частиц волны, которые были бы ответственны за дифракцию и в тоже время доступны непосредственному изучению при помощи соответствующей физической аппаратуры, не обнаружены. Отсюда следует, что волны де Бройля (волны частиц) имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии в классической физике. «Основы квантовой механики» А. В. Борисов Физический факультет МГУ, 1998 г.

Для описания волновых свойств квантовых частиц введем некоторую функцию Ш (x, y, z, t), называемую волновой функцией (или пси-функцией). Волны де Бройля получили своеобразное статистическое (вероятностное) истолкование. Физический смысл имеет не сама функция Ш, а квадрат ее модуля. Величина имеет смысл плотности вероятности.

(5).

Из (5) следует: вероятность dщ того, что частица находится в элементе объема dV, пропорциональна и элементу объема dV.

Из вышесказанного следует, что в квантовой физике возникает важнейшая проблема — отыскание такого уравнения движения квантовых частиц, которое явилось бы тем же, чем является уравнение движения Ньютона для классической механики. При этом искомое уравнение должно быть уравнением относительно функции Ш (x, y, z, t). Это уравнение было найдено в 1926 г. Э. Шредингером и имеет следующий вид:

— (6).

Здесь ћ = h/2р — постоянная Дирака, U (x, y, z, t) — потенциальная энергия частицы в силовом поле, где частица движется, — оператор Лапласа, i — мнимая единица.

Из-за присутствия в уравнении (6) мнимой единицы волновые функции Ш, удовлетворяющие этому уравнению, всегда комплексны. Поэтому сами эти функции не наблюдаемы. Измеримы только квантовомеханические вероятности, всегда содержащие функции Ш в произведениях совместно с комплексно сопряженными им величинами (см. (5)).

Уравнение (6) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью v<

Уравнение (6) называют нестационарным (временным) уравнением Шредингера, ибо оно содержит производную от функции Ш по времени. Однако для большого числа физических явлений, происходящих в микромире, например, для описания поведения электронов в атоме, в ряде случаев важно находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени. В этом уравнении должна быть исключена зависимость Ш от времени.

Стационарное уравнение Шредингера обычно записывают в форме.

. (7).

Здесь Е — полная энергия частицы, ш = ш (x, y, z).