Методика решения задач по геометрии с применением тригонометрии

Математика является неотъемлемой и существенной частью общечеловеческой культуры. Изучение данной дисциплины оказывает значительное воздействие на развитие и формирование личности, совершенствует мышление, помогает выработке мировоззрения, качественно влияет на нравственное и духовное воспитание учащихся. Эффективность обучения во многом зависит от подбора задач, от их систематизации. В современной методике обучения математике все больше внимания уделяется использованию совокупностей, систем задач.

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики, представляет собой его целостный и самостоятельный раздел. Даже при первоначальном знакомстве с тригонометрией обращает на себя внимание тот факт, что этот предмет тесно связан с геометрией, а значит и с решением задач, что всегда вызывают особые трудности у учащихся. Решение же задач с применением тригонометрии еще более усиливает эти трудности.

Сейчас все большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Задачи становятся не только и не столь целью, сколько средством обучения. Умение решать задачи — показатель обученности и развития учащихся. Умение решать задачи с помощью тригонометрии показатель высокой культуры ученика.

Несмотря на то, что задачи в 8 классе курса геометрии решаются в большом количестве, затем тригонометрия используется и при решении задач в курсе алгебры, это остается проблемой для всех учащихся. Они часто заменяют простой тригонометрический метод решения задач более сложным геометрическим или алгебраическим.

Подобная тенденция, к сожалению, сохраняется и в последние годы. Необходимы поиски путей устранения данной проблемы, что свидетельствует об актуальности темы нашего исследования.

Объект исследования: задачи по геометрии с применением тригонометрии в курсе математики 8 класса.

Предмет исследования: методика решения задач по геометрии с применением тригонометрии в 8 классе.

Цель исследования: изучить различные методические подходы к решению задач по геометрии с применением тригонометрии в курсе математики 8 класса.

Гипотеза исследования: оптимальный подход к решению задач по геометрии с применением тригонометрии будет способствовать развитию аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формированию их математической зоркости.

Методы исследования: наблюдение, анализ, сравнение, репродуктивный и частично — поисковый.

Задачи исследования:

- Глубоко изучить тригонометрический материал в курсе геометрии основной школы;

- Рассмотреть различные методы решения текстовых задач, предлагаемых альтернативных учебниках;

- Решить наиболее интересные задачи из курса геометрии 8 класса;

- Рассмотреть нестандартные задачи, предлагаемые в альтернативных учебниках геометрии;

- Проверить гипотезу.

Глава 1. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника в курсе геометрии 8 класса

1.1 История развития вопроса

История тригонометрии, как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур, охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобились ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.

Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, в наши дни она охватывает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности.

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о полном «четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам. Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии.

Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, составляющие содержание тригонометрии:

— Выражение любой тригонометрической функции через любую другую;

— Формулы для синусов и косинусов кратных и половинных углов, а также для суммы и разности углов;

— Теоремы синусов и косинусов;

— Решение плоских и сферических треугольников.

Современный вид тригонометрии придал Леонард Эйлер. В трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических функций, эквивалентное современному, и соответственно определил обратные функции. Если его предшественники понимали синус и прочие понятия геометрически, то есть как линии в круге или треугольнике, то после работ Эйлера, стали рассматриваться как безразмерные аналитические функции действительного и комплексного переменного. Для комплексного случая он установил связь тригонометрических функций с показательной функцией (формула Эйлера). Подход Эйлера с этих пор стал общепризнанным и вошёл в учебники.

В России первые сведение о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году.

В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

1.2 Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 1).

А

В С

Рис.1

Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Синус, косинус и тангенс угла б обозначаются символами sin б, cos б, tg б (читаются: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа». На рисунке 1

sin, А =, (1)

cos, А = (2)

tg, А =. (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

= * =

Сравнивая с формулой (3), находим:

tg А=(4),

то есть тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. В самом деле, пусть АВС и А₁В₁С — два прямоугольных треугольника с прямым углами С и С₁ и равными острыми углами, А и А₁. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому = =. Из этих равенств следует, что =, то есть sin, А = sin А₁. Аналогично =, то есть cos, А = cos А₁, и =, то есть tg, А = tg А₁.

А

В С

Рис. 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 2). Докажем, что в прямоугольном треугольнике АВС sin, А = cos В и cos, А = sin В.

sin, А = cos В, так как LА + LВ = 90?, то LА = 90? — LВ,

sin, А = sin (90? — LВ) = cos В, sin (90? — LВ) = cos В.

cos, А = sin В, так как LА + LВ = 90?, то LА = 90? — LВ,

cos, А = cos (90? — LВ) = sin В, cos (90? — LВ) = sin В.

1.3 Основное тригонометрическое тождество в курсе геометрии 8 класса

Докажем теперь справедливость равенства

+ = 1

Возьмем любой прямоугольный треугольник АВС с углом при вершине А, равным б (рис. 3).

В

А С

Рис. 3

По теореме Пифагора + =. Разделим обе части равенства на. Получим:

+ = 1, sin, А =, cos, А = .

Таким образом, б + б = 1 (1).

Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла б.

б + б = 1

называется основным тригонометрическим тождеством.

Из основного тригонометрического тождества можно получить два тождества:

1 +б = (2) и 1 +б = (3).

Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного равенства на б. Получим:

+ 1 =, или 1 +б = (4)

Если обе части тождества б + б = 1 разделить на б, то получим третье тождество:

1 +б = (5).

Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин б или б, найти две другие.

Примером применения этих тождеств может служить такая задача:

Вычислите значения sin б и б, если б =, где б — острый угол.

Решение:

Так так б + б = 1, то sin б = = =,

= =

Ответ: sin б =, = .

1.4 Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30?, 45? и 60?

Найдем сначала значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30? и 60?. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 4), у которого LА=30?, LВ =60?.

В

А

С Рис.4

Так как катет, лежащий против угла в 30?, равен половине гипотенузы, то =. Но = sin, А = sin 30?. С другой стороны, = В = 60?. Итак, -sin 30? =, 60? =. Из основного тригонометрического тождества получаем:

30? = = = ,

= = = .

По формуле (4) находим:

tg 30? = = =, tg 60? = =

Найдем теперь sin 45?, 45? и tg 45?. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 5).

А

В С

Рис. 5

В этом треугольнике АС = ВС, LА=LВ= 45?. По теореме Пифагора

= + = 2 = 2, откуда АС = ВС = .

Следовательно,

sin 45? = = = =, 45?= = = = ,

tg 45?= tg = = 1.

Составим таблицу значений sin б, б и для углов б, равных 30?, 45? и 60?:

Для любого острого угла б справедливы равенства:

(90? — б) = б

(90? — б) = б Пусть АВС — прямоугольный треугольник с острым углом б при вершине, А (рис. 6). Тогда острый угол при вершине В равен 90? — б. По определению

sin, А =, cos, А = ,

(90? — б) =, (90? — б) = .

Из этого следует, что (90? — б) = б и (90? — б) = б.

В

А С

Рис.6

аналитический математический геометрия тригонометрия

Глава 2. Задачи по геометрии с применением тригонометрии в курсе геометрии 8 класса

2.1 Задачи на вычисление

Роль задач по тригонометрии в геометрии очень велика, так как решение задач с конкретным содержанием помогает осуществлять постепенный переход к дедуктивным доказательствам. Систематическое решение задач способствует сознательному и прочному усвоению теории, помогает увидеть ее практическую ценность, в то же время решение задач развивает логическое мышление ученика, творческую инициативу, сообразительность и дает ему ряд нужных практических умений и навыков. Самое главное, что знание тригонометрии способствует экономии рабочего времени ученика во многих ситуациях.

Рассмотрим задачи на вычисление.

Задача 1

Найти синус, косинус и тангенс угла, А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 8, АВ = 17.

A

В С

Дано: Д ABC, LС = 90?.

Найти: sin А, cos А, tg А.

Решение:

Так как Д АВС прямоугольный, то теореме Пифагора АС =- ,

АС = = 15

sin, А =, sin, А = ,

cos, А =, cos, А = ,

tg, А =, tg, А =

Ответ: sin, А =, cos, А =, tg, А = .

Такие задачи способствуют осознанному восприятию определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Задача 2

Найти площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен б.

А D

В

В₁ С₁ С Дано: ABCD — трапеция, АВ = СD, ВС = 2 см, АD = 6 см, LА = б.

Найти: S_АВСD.

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники АВВ₁ и DСС_1.

Д АВВ₁ = Д ДСС₁ по катету и гипотенузе (АВ = СD по условию, ВВ₁ = СС₁ как расстояния между параллельными прямыми ВС и АD), из этого следует, что АВ₁ = С₁D как соответственные элементы равных треугольников. А В₁ = С₁ D = (6 — 2): 2 = 2 см.

2) Рассмотрим Д АВВ₁:

ВВ₁ = А В₁ * tg LА, ВВ₁ = 2 * tg б.

3) S_АВСD = (АД + ВD) _* ВВ₁

S_АВСD = (6 + 2) _* 2 tg б = 8 tg б .

Ответ: S_АВСD = 8 tg б .

Задача 3

Найти диагонали ромба, если его диагонали равны 2 и 2.

А В

D С Дано: АВСD — ромб, АС = 2, ВD = 2.

Найти: LА, LВ.

Решение:

1) Рассмотрим Д АОВ, АО = АС, ВО = ВD по свойству диагоналей ромба, АО = _* 2 = 1, ВО = _* 2 =

2) Д АОВ — прямоугольный, LО = 90?.

tgLВАО =, tgLВАО = =, значит, LВАО = 60?,

LАВО = 90? — 60?= 30?

3) LА = 60? * 2 = 120?, LВ = 30? _* 2 = 60? по свойству ромба,

LС = 180? — 60? = 120?, LD = 180? — 120? = 60?,

так как сумма односторонних углов равна 180?

Ответ: LА = LВ =120?, LВ = LD = 60?.

Решение таких задач способствует не только осознанному закреплению определений синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, но и развитию математической зоркости учащихся.

Задача 4

В параллелограмме АВСD сторона равна 12 см, а угол ВАD равен 47?50?. Найти площадь параллелограмма, если его диагональ ВD перпендикулярна к стороне АВ.

D С

А В Дано: АВСD — параллелограмм, АD = 12, LВАD = 47?50?, ВD АВ.

Найти: S_АВСD.

Решение:

1) Рассмотрим Д АВD, он прямоугольный, L= 90?

2) = cosL А, АВ = АD _* cosL, А АВ = 12 _* cos 47?50? = 12 _* 0, 6712? 8,06

= sin L А, ВD = АD _* sin L, А ВD = 12 _* sin 47?50? = 12 _* 0, 7412? 8,89

3) S_АВСД = АВ _* ВD, S_АВСD = 8,06 _* 8,89? 71,76? 72

Ответ: 72

Решение подобных задач способствует формированию у учащихся умений рассуждать, связывать воедино вопросы алгебры, геометрии, тригонометрии.

Задача 5

Стороны прямоугольника равны 3 см и см. Найти углы, которые образует диагональ со стороной прямоугольника.

В С

А D

Дано: АВСD — прямоугольник, АВ =, АD = 3.

Найти: LАВD, LАDВ.

Решение:

1) Рассмотрим Д АВD — прямоугольный, так как LА = 90?,

tg L АВD =, tg L АВD = =, L АВD = 60?,

LАDВ = 90? — 60? = 30?

Ответ: L АВD = 60?, LАDВ = 30?.

Решение такой задачи способствует развитию исследовательских навыков у учащихся. Например, при решении этой задачи ученик должен увидеть прямоугольный треугольник, выяснить какими углами являются LАВД и LАДВ, вспомнить определение синуса, косинуса, тангенса, выбрать необходимые определения. Еще более глубокие исследования проводит ученик, решая следующую задачу:

Задача 6

В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом 2. Высота PH делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1: 2, считая от вершины Р. Найти периметр треугольника РМК и установить его вид.

N

Р М Н К Дано: Д РМК — равнобедренный, МК — основание, окр. (О; r) — вписана, РН — высота, РА: АН = 1: 2, r = 2.

Найти: Р_РМК.

Решение:

1) Так как РА: АН = 1: 2, тот НА = 2РА, то есть РН = 3ОА = 3 ОН = 3РА, так как ОА = 2, то РН = 6.

2) Рассмотрим Д МРН: LРНМ = 90?, так как РН — высота,

sin LМ =, отсюда РМ =, РН = 6.

Д ОРМ — прямоугольный, так как ОN РМ, где N — точка касания по свойству касательных к окружности.

Значит, sin L NРО =, sin L NРО = =, L NРО = 30?, значит, LМ = 60?.

Следовательно, РМ = = = 12

3) Так как Д МРК — равнобедренный, LМ = 60? (угол при основании), то Д МРК — равносторонний.

Значит, МР = РК = МК = 12.

4) Р_РМК = 36.

Ответ: 36, треугольник равносторонний.

Интересной задачей для учеников 8 класса является задача на вычисление высоты и площади правильного треугольника.

Задача 7

Найти высоту и площадь правильного треугольника со стороной, а и высотой h.

Дано: Д АВС — правильный, АВ = ВС = АС = а, BD = h — высота.

Найти: S_АВС, h.

А

В

D С Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВD (так как BD — высота). Из прямоугольного треугольника АВD находим BD = АВ * sin 60?.

BD = h = а * =

2) S_АВС =, S_АВС = =

Ответ: h =, S_АВС = .

Как видим, задача очень легко и быстро решается с помощью тригонометрии.

При этом развивается не только аналитическое, логическое мышление учащихся, их математическая зоркость, но и умение рационально мыслить, экономить свое рабочее время, находить оптимальные пути решения задач.

Для сравнения покажем, как задача решалась до изучения вопросов тригонометрии.

Дано: Д АВС — правильный, АВ = ВС = АС = а, BD = h — высота.

Найти: S_АВС, h.

Решение:

1) Проводим высоту BD.

2) Д АВD: LВАD = 60?, тогда LАВD = 30?, а против угла в 30? лежит АD = АВ, АD = .

3) BD = h =, BD = h = = =

4) S_АВС =, S_АВС = =

Ответ: h =, S_АВС = .

Затруднения, которые испытывают при решении подобных задач ученики, вызываются не геометрическим содержанием, а скорее непривычкой учащихся применять в геометрии свои знания по тригонометрии.

Задачи, для решения которых должны быть использованы многие геометрические предложения, требующие умения разобраться в чертежах, установить связь между данными и искомыми элементами, провести ряд умозаключений для обоснования своих догадок. Такие задачи расширяют геометрические представления учащихся, их пространственное воображение, развивают логическое мышление, способствуют межпредметной интеграции.

2.2 Задачи на построение

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая задаче, называется решением этой задачи. Найти решение задачи на построение — значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений.

Задача 1

Построить угол б в прямоугольном треугольнике АВС, если известно, что tg б = .

Эта задача, как и любая другая на построение, требует глубокого анализа.

Учитель должен приучить учеников задавать себе вопросы следующего характера:

— Что должно выполняться в этом треугольнике, если tg б = ?

(Так как tg, А =, то на ВС приходится три единицы, а на АС — пять единиц).

Дано: tg б = .

Построить: Lб.

Решение:

Задача решается путем построения прямоугольного треугольника по двум катетам, тангенс б — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Из условия следует, что противолежащий катет равен 3, а прилежащий равен 5. Строим прямоугольный треугольник с катетами три единицы и пять единиц:

А

В С

Задача 2

Построить в прямоугольном треугольнике угол, синус которого в два раза больше его косинуса.

Дано: sin б = 2 cos б.

Построить: угол б.

Решение: Пусть б — искомый угол. По условию sin б = 2 cos б, отсюда tg б = 2. Поэтому необходимо построить прямоугольный треугольник с прямым углом С, у которого =. Тогда LА будет искомым.

ВС Систематическое изучение геометрических построений необходимо в школьном курсе, так как в процессе изучения задач они концентрируют в себе знания из других областей математики, развивают навыки практической графики, формируют поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также к более тщательной обработке умений и навыков.

2.3Задачи на доказательство

В задачах на доказательство требуется обосновать некоторые утверждение относительно геометрической фигуры, которое высказано заранее. Решение задач на доказательство имеет большое значение в развитии логической мысли учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов. Это можно увидеть при решении следующей задачи:

Задача 1

В прямоугольном треугольнике синус угла, А равен. Доказать, что косинус угла В равен, L С = 90?.

Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (LС = 90?):

А

ВС На основе определения sin, А =, а cos, А = .

sin A = cos B, так как LА + LВ = 90?, то LВ = 90? — LА,

cos B = cos (90? — LА) = sin A, sin A = 30?,

cos B = cos (90? — 30?) = cos 60? =, что и требовалось доказать.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике тангенс угла, А равен. Доказать, что синус угла, А равен .

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (LС = 90?):

В

А С

tg LA =, tg A = 60?, значит, LA = 60?, sin A = 60? =, что и требовалось доказать.

Такие задачи способствуют осознанному восприятию определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, а также закреплению формул приведения.

Задача 3

Доказать, что в прямоугольном треугольнике 55? + 55? = 1.

Решение:

б + б = 1 — основное тригонометрическое тождество, которое выполняется при любых значениях б, таким образом оно будет выполняться и при б = 55?, то есть 55? + 55? = 1.

Задача 4

Доказать, что в прямоугольном треугольнике sin 35? = cos 65?.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (LС = 90?):

Сначала докажем, что sin A = sin (90? — LВ),

sin A = cos B, так как LА + LВ = 90?, то LА = 90? — LВ,

sin A = sin (90? — LВ) = cos B,

sin 35? = cos 65?, что и требовалось доказать Такие задачи способствуют закреплению формул приведения и основного тригонометрического тождества, развитию логического и аналитического мышления.

Заключение

В ходе работы над проблемой — решение задач по геометрии с применением тригонометрии в курсе математики 8 класса, были изучены объект и, предмет исследования, которые показали необходимость осознанности работы над такими задачами.

В ходе исследования выяснено, что рациональное решение геометрических задач по тригонометрии является одной из самых актуальных в современной методике. Так как тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики, представляет собой его целостный и самостоятельный раздел.

Установлено, что решение задач по геометрии с применением тригонометрии способствует более рациональной работе с задачами.

Решение задач на вычисление способствует развитию аналитического и логического мышления, что необходимо в современной жизни.

Решение задач на построение способствует развитию конструктивного мышления и эстетического вкуса учащихся.

Решение задач на доказательство способствует формированию аналитического, логического и пространственного мышления учащихся.

Установлено, что систематическая работа по формированию навыков решения задач по геометрии с применением тригонометрии способствует развитию общего интеллектуального развития учащихся, их творческих способностей, потенциала школьника, умению разбираться в создавшейся ситуации, делать нужные умозаключения. Основным средством развития творческих способностей ученика является решение задачи, при этом главная цель — не получение результата решения задачи, а само решение задачи, как совокупность логических шагов, приводящих к получению ответа. Очень важно научить ученика использовать оптимальные методы решения задач, среди которых тригонометрический метод является наиболее простейшим.

Цель курсовой работы достигнута: изучены различные методические подходы к решению задач по геометрии с применением тригонометрии в курсе математики 8 класса.

Таким образом, подтвердилась выдвинутая гипотеза, оптимальный подход к решению задач по геометрии с применением тригонометрии будет способствовать развитию аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формированию их математической зоркости.