Некоторые задачи теории усреднения эллиптических операторов

Многие задачи механики сильно неоднородных сред приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Требуется построить модель среды, локальные свойства которой быстро меняются, и поэтому удобнее перейти от микроскопического ее описания к макроскопическому, т. е. рассматривать ее усредненные характеристики. Во многих случаях рассматриваемые физические процессы описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность сред приводит к изучению дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами вида G (zix) f где? — порядок масштаба неоднородности среды. Функция в зависимости от характера микроструктуры среды является периодической, почти периодической, реализацией случайного поля или другой. Мы будем рассматривать случай, когда &Cfy) является периодической.

Исследованию асимптотического поведения решений уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами посвящена обширная математическая литература. Достаточно подробный обзор этих работ можно найти в [6,7,25,35,40]. В работах[1−4] разработан формализм построения асимптотического разложения внутри области решений дифференциальных уравнений и систем с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами. В большинстве работ, посвященных этой тематике, либо рассматриваются уравнения во всем пространстве, либо исследуются только нулевые приближения решения краевой задачи. Между тем, в окрестности границ образуются пограничные слои, в которых градиент решения сильно отличается от градиентов приближенных решений полученных в указанных работах. Учет таких пограничных слоев играет важную роль при исследовании ряда прикладных задач (например, процессов разрушения композитных материа—лов: разрушение начинается от границы, где создаются дополнительные напряжения [25]).

В работах [9,20,24,25] указан метод построения асимптотических разложений решений в замкнутой области, с учетом погранслой-ных добавок вблизи плоских границ. В работе [25] дано обоснование асимптотического разложения при в-^о для решений эллиптического уравнения 2-го порядка с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами в полупространстве с условиями Дирихле на границе области,.

В работе [20] рассматривается система теории упругости с периодическими быстро колеблющимися разрывными коэффициентами в области Sls9 содержащей периодически (с периодом ?), расположенные полости и ограниченной также гиперплоскостями Хк^о и =. Для решений системы теории упругости в области Slt &-П, периодических по sc* v «с граничными условиями, определяемыми перемещениями, заданными на плоскостях хп = 0 и 'X-n.-d, и нулевыми нагрузками на границе полостей получено асимптотическое разложение по степеням параметра? и дана оценка остаточного члена. Необходимость рассматривать задачи такого рода возникает при изучении композитных и перфорированных материалов, имеющих периодическую структуру, каждая ячейка которого состоит из конечного числа разнородных материалов и содержит конечное число полостей, причем размер ячейки характеризуется малым параметром €. Построение и обоснование асимптотического разложения решения системы теории упругости с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами в перфорированном полупространстве получено в работе [9],.

В работах [37,38] рассматриваются уравнения второго порядка эллиптического типа в среде с периодически расположенными полостями, когда на части границы полости заданы условия Дирихле, а на другой части — условия Неймана, и строится асимптотическое разложение решения соответствующей задачи в случае финитной правой части.

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач для эллиптических уравнений с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях. В диссертации построены асимптотические разложения решений таких краевых задач по степеням малого параметра t (периода структуры), даны оценки остаточных членов, а также исследованы такие характеристики периодических сильно неоднородных сред как количество энергии и поток тепла.

В главе I проводится исследование поведения решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях.

В §§ 1−4 главы I рассматривается следующая краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка: wt (x) =0, (П.

— С ^ ^ ^ где Clicj (.

Задачи вида (I) возникают при исследовании многих физических процессов. Например, к задаче (I) приводит задача о стационарной теплопроводности в случае, когда на границе Г£ области Л£ задана нулевая температура, а на границе St происходит теплообмен по закону Ньютона с коэффициентом внешней теплопроводности а (У) «а (У) >0. Задача (I) возникает также при нахождении положения равновесия мембраны, когда граница Г6 закреплена, а граница упруго закреплена ((%(%)> окоэффициент упругого закрепления границы).

Задача (I) в случае = 0, а также аналогичная задача для системы теории упругости рассматривалась ранее в работах [10,11,21,23,27,32,33,36]. При а (у)=о решение задачи (I) при О стремится к решению усредненной задачи, А f L (V)s — Wc*>, хе JZt.

V (Z) о, xe ГН.

2) где.

0 -if.

3) эА^).

Л^ С^).

4).

Af<},(%) 0, У^ф-1-периодическая по у, где (г* - гомотетическое сжатие в? раз множества ,.

0 -QnQi, otynij ..

В работах [32,27] показано, что имеют место оценки.

II *6t*> - VU) — ^ (f) Щс /г, А где с = и не зависит от? , с [ (X Vh- / шП я£ л г | гУ j 1 ^ э^ эх^**и)ПЛ1.

В случае а^у) (J), как доказано в диссерта ЪСо ции, поведение решения задачи (I) будет совсем другим. А именно, в § 3 главы I показано, что.

II х ь.

И?(1)11уД|я?, 4 с/г. а если f (x)= =0, L = на Г, то где с= и не зависит от решения задачи (4), Л (Ц) — решение задачи.

L (Мф)-Ъ, affi (5) I-периодическая по у ,.

Vo (x) = -{х)з 4v0 = -/Г1 J a (^)dS ..

Для решения задачи (I) в случае финитной правой части в § 3 главы I строится асимптотическое разложение, которое имеет вид оо где оС^ (<11у }0Lt) } oCi=0,i7 ,<.гп., L=i,.,?,.

J^cC (Ц) — I-периодические функции, которые являются решениями вспомогательных задач на ячейке, Vz является линейной комбинацией и ее производных до порядка 2-Т включительно, -it ,.

Как показано в § 3 главы I имеет место Теорема I. Пусть |(х)£ СГ (Л). Положим.

К+1 ^ К wK (*> = Z ЛШЭ ^"(Х),.

Тогда для решения задачи (I) справедлива оценка где с (к)=сотк и не зависит от t •.

В § 4 главы I исследуется вопрос о сходимости энергии решения иг (х) задачи (I). Энергией решения 1Сй (х) задачи (I) в области м1 (со с Л 9 и) г = и) П51) будем называть величину.

Г Г ЪИ^ j Г /Х 2 but (Vt)= J UjfF* Ixi ** + J Ci{-i)Ue (x)d^ Л S^.

Теорема 2 (о сходимости энергии). Пусть сопроизвольная подобласть области SI (uJcJZ) с границей закласса С4 и i = на Г. Тогда, А jrrs)|, lyrouc. e* где с4> > и не зависят от t, $ ^ЙД^ —1! WfW.

Ж = (э ?.

О, р*^,.

L 1, Р =.

Из этой теоремы следует, что энергия решения задачи (I) с точностью до величины порядка в области определяется величиной.

— £а yu эе" 1 J | (.x)ds..

Заметим, что результаты, полученные б §§ 1−4 главы I, можно обобщить на случай неравномерно осциллирующих коэффициентов а*] = a*i «= • Эт0 сделано в § 5 главы I для краевой задачи с условиями Неймана на границе полостей '.

Q U.

ЭС) = Ф (x)? xe rt? где (x>y) -I-периодические функции по у, и их производные по х до третьего порядка включительно ограничены при осе 51, у * QG0 — = 4,., и, и их. производные по эс до третьего порядка включительно как функции у ограничены в норме пространства L,^(Q равномерно относительно х е St — JZ — ограниченная область в R*1, с границей класса С1^ Лг, определены также, как и в задаче (I), {(х) е Ci+eL (Jl)y ф (х) е Сi*%yid>0J оператор Lz является равномерно эллиптическим..

Аналогично тому, как это сделано в работах [10−12-, 23,32] для случая периодических быстро осциллирующих коэффициентов, показывается, что решение задачи (7) при ъ^о стремится к решению задачи.

V (X) = ф (X) х? <3 SI, где.

J> -if,, ъЖ (хм)^. являются обобщенными решениями задач: д^Д/" U еЩ №ч))= Н (х, а) у ^ = - ^ > ^ ^ 6 а э.

-периодична по^, б* Go где х — параметр..

В § 5 главы I получены оценки г х г, где сз = ымЛ и не зависят от? , г х g^e г т/ f, ,.

В §§ 1−4- второй главы диссертации рассматривается задача Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами: r At («()*(-t)mZ «л,.

Ut (X) — I-периодична по X я*.-!) ..

Здесь c/= (cli,., .,?, 0, = = = 1,. yi, i = У= = S, Ht-i, gm. ^-{xcR*: о раниченные, измеримые, I-периодические функции по ^ ,.

С°°(Л) и является I-периодической функцией по я: .Предполагается, что оператор^g является сильно эллиптическим, т. е. для любых уе Rn,^ct ^ IR4 7 =.

— натуральные числа,? — малый параметр..

Следуя работам [2,9,20], асимптотическое разложение решения задачи (8) строится в виде где являются I-периодическими функциями по У, Mi (Ц) г j А.

TV^ являются I-периодическими функциями по у =) и соответствуют пограничным слоям,. (эО — решения краевых задач для усредненного оператора.

L>-m. где обобщенные решения задач.

Q..

I-периодична по ty ,.

В § 2 главы 2 проведено исследование вспомогательных задач для определения функций А^(^) «а также доказана разрешимость задачи (8)..

В § 3 глэеы 2 доказывается существование погранслоев Построение погранслоев для эллиптических уравнений высокого порядка позволило дать обоснование асимптотического разложения (9) решения задачи (8). В § 4 главы 2 доказана Теорема 3. Положим.

К+1П ?.

X Шf)2)^(x), TTK (x)=Z^Vx (X)..

Тогда имеет место оценка где и не зависит от = о XL с } I = п-1 j ..

В § 5 главы 2 рассматривается в произвольной области Л задача хеЛ,.

МГ (10).

Здесь Л^ - тот же оператор, что и в задаче (8), J2 — ограниченная область в £п с границей класса С3т. Следуя [б], энергией решения задачи (10) будем называть величину.

СО.

Доказана Л.

Теорема 4 (о сходимости энергии). Пусть (/) обозначает.

Зпг энергию в области <*> (oj имеет границу класса С) решения усредненной задачи.

Тогда Л.

I Е* ^ сЯ где c=coayt и не зависит от? ..

В главе 3 рассматривается краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений порядка ^^ с неравномерно осциллирующими коэффициентами с1*ЧХ.

Р d / х d «.

3)РЩ (Х) — О, *> 2 з • • • ' ~ измеРимые, I-периодические функции по yzR*, ограниченные равномерно относительно хе[0,oL] 9 ((х) е С°°[о, с/] • Предполагается, также, что оператор удовлетворяет следующему условию эллиптичности: для любых осе[оРоС], t-p € Rl t о^р^т,.

2 т а..

P> -0 ^ p=0 iI /.

Так же как и в главе 2,? ,? о. — натуральные числа, Емалый параметр..

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений асимптоти ческое разложение решения задачи (II) имеет вид 00 где — I-периодические функции по^, которые являются обобщенными решениями задач вида.

-(«wop —та») = Z —Ьг" * iM т..

-1) V^raml^- з^т — - ^.

J «4.

S A^t = С, М[(Х>Ц)~ I-периодична по у, о где х — параметр, Fj (x, y) -I-периодические функции по^, а Vz (x) являются решениями соответствующих краевых задач для усредненного оператора л т сСР ^.

8 = Z И) Р где р О Я V И, И I / о.

Для отрезка асимптотического ряда, представляющего решение задачи (II), к+т имеет место оценка где с (К)= qwxI и не зависит от t ..

В § 3 главы 3 доказана теорема о сходимости энергии решения задачи (II): где c=cW и не зависит от Е, o^cLi^d^^ d ,.

Ь a) ^ Pr⁰.

Л cla «^P» ^ ^.

В заключение автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность научному руководителю профессору О. А. Олейник за постановку задач, руководство и постоянное внимание к работе..

1. Бахвалов Н. С. Ооредненные характеристики тел с периодической структурой. — ДАН СССР, 218, № 5 (1974), с. 1046−1048..

2. Бахвалов Н. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР, 221, № 3 (1975), с. 516−519..

3. Бахвалов Н. С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР, 225, № 2 (1975), с. 249−252..

4. Бахвалов Н. С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. В кн.: «Проблемы математической физики», М.: Наука, 1977, с. 34−51..

5. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966,.

6. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G сходимость дифференциальных операторов. — УМН, 1979, т. 34, вып. 5 (209), с. 65−133..

7. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. О бсходимости параболических операторов.-УМН, т.36, вып.1 (217), с.11−58..

8. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с..

9. Иосифьян Г. А., Олейник О. А., Панасенко Т. П. Асимптотическое разложение решения системы теории упругости с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР, 266, № I (1982), с. 18−23..

10. Иосифьян Г. А., Олейник О. А., Шамаев А. С. Усреднение собственных значений и собственных функций краевой задачи теории упругости в перфорированной области. Вестн. Моск. ун-та, сер.1. Математика, механика, 1983, № 4, с. 53−63..

11. Иосифьян Г. А., Олейник О. А., Шамаев А. С. Усреднение собственных значений краевой задачи теории упругости с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами. Сибирский мат. журнал, 1983, т. 24, 5, с. 50−58..

12. Иосифьян Г. А., Олейник О. А., Шамаев А. С. О сходимости энергии, тензоров напряжений и частот собственных колебаний в задачах усреднения возникающих в теории упругости. ДАН СССР, 1984, т. 274, № б, с. 1329−1333..

13. Канторович JI.B., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 744 с..

14. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 408 с..

15. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973, 376 с..

16. Ландис Е. М., Панасенко Г. П. Теорема об асимптотике решений эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной. ДАН СССР, 235, й 6 (1977), с. 1253−1255..

17. Марченко В. А., Хруслов Б. Ь. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974, 278 с..

18. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.-М.: Мир, 1977,504 с..

19. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Панасенко Г. П. Асимптотическое разложение решений системы теории упругости в перфорированных областях. Мат. сборник, 1983, т. 120 (162), № I, с.22−41..

20. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Оценка отклонения решения системытеории упругости в перфорированной области от решения усредненной системы. УМН, I983, т. 37,? 5, с. 195−196..

21. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей. Мат. сборник, 1980, т. 112 (154),'!? 4 (8), с. 588−610..

22. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Об усреднении системы теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях. В книге: Н. Е. Кочин и развитие механики.М.: Наука, 1984, с. 237−249..

23. Панасенко Г. П. Асимптотики высших порядков решений уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР, 240, 6 (1978), с. 1293−1296..

24. Панасенко Г. П. Асимптотики высших порядков решений задач о контакте периодических структур. Мат. сборник, 1979, т. ПО, Г&- 4(12), с.505−538..

25. Соболев С. Л. Применение функционального анализа к задачам математической физики. Ленинград, йзд-во ЛГУ, 1950, 255 с..

26. Сукретный В. И. Усреднение краевых задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях. УМН, 1983, т.38, вып. 6, с. 125−126..

27. Сукретный В. И. Асимптотическое разложение решений третьей краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядкас быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях. УМН, 1984, т. 39, вып. 4, с. I20-I2I..

28. Сукретный В. И. О задаче стационарной теплопроводности в перфорированных областях. Препринт 84−48- Киев, Институт математики АН УССР, 1984, 31 с..

29. Сукретный В. И. Асимптотическое разложение решений краевых задач для эллиптических уравнений высокого порядка. Деп. в ВИНИТИ, 25.04.84, № 2596−84 Деп., 21 с..

30. Тарба Л. А. 0 поведении решения задачи Неймана эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях. Канд. диссертация, М.: МГУ, 1981, 131 с..

31. Шамаев А. С. Осреднение решений и собственных значений краевых задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях. УМН, 1982, т. 37, вып. 2 (224), с. 243−244..

32. Шамаев А. С. Спектральные задачи в теории усреднения исходимости. — Кандидатская диссертация, М.: МГУ, 1982, НО с..

33. Agmon S., Douglis А*, lTirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic differential equations satisfying general boundary conditions, 1 • Communs Pure and Appl. Math., 1959, IT 4, p. 623−727, 1..

34. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. North-Holland Publ.Comp. 1978..

35. Cioranescy D., Paulin J.S. Homogeniztion in open setswith holes. Journ. Math. Appl., 1979, v. 71, H 2, p. 590−607..

36. Lions J.L. Some methods in Mathematical Analysis of Systems and their Countral. Science Press, Beijing, China, 1981, 542 p..

37. Lions J.L. Asymptotic expansions in perforated media with periodic structure. The Rocky Mountain Journ. of Math., 1980, v. 10, I 1, p.125−140..