Моделирование и анализ стохастических циклов нелинейных динамических систем

Настоящая работа посвящена моделированию и анализу предельных циклов нелинейных динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений различной интенсивности Случайные возмущения, сопровождающие любую реальную физическую, химическую, биологическую модели, могут оказать существенное влияние на их поведение Задача анализа динамических систем, возмущаемых внешним шумом, являлась предметом интенсивного изучения в математике, физике, химии, биологии на всем протяжении 20 века и вызвала появление огромного количества теоретических и экспериментальных работ. Явлениям, связанным со стохастичностью, посвящено большое количество публикаций [1], [2], [32], [38], [67], [102], [107], [111], [113], [122], [138], [140]. Один из первых результатов, касающихся выхода траектории системы под воздействием шума из области устойчивости, получен Arrhenius S.A. [72] еще в 1899 юду. Значительную известность имеет классическая работа Понтрягина JI С., Андронова А. А, Витта А. А. «О саатистичском рассмотрении динамических систем» [40]. Опубликованная в 1933 году, она содержит формулировки основных задач изучения стохастической динамики, остающихся актуальными и на cei одняшний день.

Важной математической конструкцией, широко используемой для изучения разнообразных эффектов воздействия случайных возмущений на динамическую систему, являех-ся стохастическое уравнение Ито [20, 21], описывающее поведение случайного процесса с непрерывными фазовыми траекюриями.

Основы теории устойчивости стохастических систем, базирующиеся на методике использования функций Ляпунова, были заложены в работах Красовского Н Н, Каца И Я, Хасьминского Р 3, Гихмана И. И, Кушнера X. Данная методика получила в дальнейшем широкое развитие. Ей посвящены работы Милыптейна Г. Н [34, 35], Колмановско-го В.Б. [25], Воронова А. А. [12], Пакшина П. В [39], Ряшко JI.B. [36, 44].

Основная литература по стохастическим системам посвящена анализу динамики в окрес! ности точек покоя Случай точки покоя представляет собой достаточно глубоко разработанную теорию и рассматривался в работах Вентцеля А. Д и Фрейдлина М. И [9] - [И], Ludwig D. [114], Matkowsky B.J. и Schuss Z. [120, 121], Nahe Т. и Klosek M [123] и др .

Изучение воздействия шума на предельный цикл было начато Понтрягиным JI.C. и продолжено в многочисленных работах исследователей, например — Стратоновича P. J1. [54], Ibrahim R.A. [101], Soong Т.Т. и Grigoriu М. [139], Baras F. [73], Mangel М. [116], Day [87, 88] 3.

Под воздействием стохастических возмущений траектория, стартующая из некоторой точки цикла, начинается отклоняться от детерминированной орбиты, формируя вокруг нее так называемый пучок случайных траекторий. Неоднородность пучка случайных траек-> торий вокруг цикла рассматривалась в работах Kurrer С. и Schulten К. [105], Deissler R.J. и Farmer J.D. [89], АН F и Menzinger М [62, 63].

Первоначально флуктуации рассматривались как дезорганизующее воздействие на си-сюму, «разрушающее» порядок. В работах Crutchfield J.P., Farmer J., Huberman В A. [83], Nauenberg M., Rudnick J [85], Shraiman C.E. [137] показано, что влияние аддитивного шума приводит к тому, что последовательность бифуркаций удвоения периода становится конечной Изучение воздействия мультипликативного шума на каскад удвоения периода и анализ скейлинговых свойств перехода к хаосу проводилось в работах Неймана, А Б [37], [125], Анищенко B.C. [65] и др. Размытие шумом предельных циклов различных 2-мерных, а хакже 3-мерных систем и условия установления хаотического режима колебаний с использованием как показателей Ляпунова, так и других методик рассматривалось в работах Billings L. и Schwartz I.B. [80], Bolt Е., Gao J. B [93], Hwang S.K. [100], Liu J M, Ying-Cheng L. [142] и др.

В последние несколько десятков лет при исследовании неравновесных явлений в различных областях науки была обнаружена организующая роль шума Было показано, что флуктуации способны индуцировать гораздо более богатое (в сравнении с детерминированными системами) разнообразие режимов К данной группе эффектов воздействия шумов относятся так называемые индуцированные шумом переходы (noise-induced transitions) Первое описание данных явлений было дано в конце 50х — начале 60х годов 20 века в работах Кузнецова П. И., Стратоновича P. JL, Тихонова В. И., Ланды П. С. Через несколько лет эти явления были переоткрыты в кошексте экологических систем у May [119], Hahn [99] и др Классической работой, посвященной индуцированным шумом переходам, стала монография Horsthemke W. и Lefever R. [60], вышедшая в 1984 году.

В конце 70х годов 20 века большое развитие получила теория стохастических бифуркаций, изучающая качественные изменения поведения динамических систем под воздей-схвием случайных возмущений. В работах Arnold L. [67] - [70] выделяются два основных подхода к определению понятия стохастической бифуркации: феноменологический подход (Р-бифуркации), описывающий качественные изменения стационарной плотности распределения, и динамический (D-бифуркации), описывающий изменение знака старшего показателя Ляпунова. Дальнейшее изучение стохастических бифуркаций в рамках индуцированных шумом переходов для одномерного случая проведено в работах Crauel Н. [82], Flandoli F. [81], Leng G., Namachchivaya N. [112], [124]. Воздействие шума на бифуркацию Хопфа двумерных систем на плоскости подробно рассмотрено в работах Moss F., McClintock Р V. E [122, 92], Turner J. [108, 109], Kuske R., Xu W., Zhu W.Q. [141], He Q., Leung H., Malick K. [115].

Наиболее общее вероятностное описание воздействия шума на динамическую систему дается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) Однако прямое использование этого уравнения даже в простейшем случае нелинейного стохастического осциллятора с одной степенью свободы является затруднительным. Если характер переходного процесса является несущественным, то обычно ограничиваются рассмохрением стационарного уравнения ФПК. Аналитически стационарная плотность распределения можег быть получена только для одномерных систем Для двумерных динамических систем этого сделать, как правило, не удается. Например, для классического осцилляюра Ван-дер-Поля точное решение стационарного уравнения ФПК до сих пор неизвестно. Для трехмерных динамических систем получение численного решения представляет значительные вычислительные трудности.

В последние 10 лет при исследовании стохастической динамики активно применяется новый подход, связанный с использованием некоторой функции, получившей название квазипотенциала. Данная функция, представляющая собой экспоненциальную асимптотику стационарной плотности распределения, появилась в работах Вентцеля, А Д и Фрейдлина М. И. [10, 11] в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивой точки покоя.

При помощи функции квазипотенциала удается предсказывать тонкие эффекты воздействия внешних помех на рассматриваемую систему. Метод квазипотенциала в анализе стохастической чувствительности предельных циклов рассматривался в работах Naeh Т [123], Dykman M.I. [91], Graham R. и Tel Т. [94] - [97] Smelyanskiy V. N [138],. Maier R S [118], Милыптейна Г. Н. [36], Ряшко Jl.B. [44].

В публикациях Ряшко Л. Б и Башкирцевой И. А. [4, 75] представлена разработанная методика анализа стохастической чувствительности предельного цикла. Данная методика базируется на аппроксимации квазипотенциала и посхроении функции сюхасгической чувсгви1ельности (ФСЧ), описывающей ковариацию отклонения случайной траектории от детерминированной орбиты цикла. ФСЧ является естественной вероятносгной мерой, характеризующей реакцию стохастического цикла на малые внешние возмущения. В работах Ряшко Л. Б. и Башкирцевой И. А. с использованием терминов Р-устойчивости построены численные методы расчета ФСЧ и продемонстрировано их применение для некоторых моделей нелинейной динамики.

Двумерный случай цикла на плоскости является достаточно хорошо изученным. В двумерном случае с использованием ФСЧ матрица чувствительности имеет аналитическое представление. Возможности аппарата ФСЧ в анализе воздействия малых возмущений на циклы 2-мерных систем Ван-дер-Поля и Брюсселятора, а также 3-мерных систем Лоренца и Чуа продемонстрированы в работах Ряшко Л. Б., Башкирцевой И. А., Исаковой М Г [3, 74, 76, 77]. Изучение стохастической чувствительности З-О-циклов динамических систем имеет особый интерес и проводится сравнительно недавно.

Представляемая диссертационная работа продолжает исследования в этой области Основные результаты опубликованы в [5] - [7], [45], [46], [50] - [52], [135] В представляемой работе с использованием аппарата ФСЧ излагаются методики анализа стохастической чувствительности предельных циклов, возмущаемых шумом различной интенсивности. Проведен подробный анализ стохасхической чувствительности циклов классической 3-мерной модели нелинейной динамики — системы Ресслера [61], [130] - [132], описывающей химическую периодическую реакцию Белоусова-Жаботинского [13]. Диссертационная работа состоит из трех глав, обьединяющих 16 пунктов, и двух приложений, содержащих описание созданного программного комплекса и реализованных в нем численных алгоритмов Первая глава посвящена описанию локальной устойчивости предельного цикла Во второй главе излагаются эмпирический и теоретический подходы к анализу воздействия малых случайных возмущений на предельный цикл Дается методика построения визуализации стохастического З-О-цикла с помощью доверительного тора. Третья глава посвящена анализу обратных стохастических бифуркаций уменьшения кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности случайных возмущений.

Остановимся на содержании работы более подробно.

Первая глава носит предварительный характер и посвящена исследованию локальной усхойчивости предельного цикла Г, задаваемого Г-периодическим решением ?(t) детерминированной динамической системы.

У = f (v, p),.

0.1) где у — n-мерный вектор, ц — вектор параметров, a f (y,(i) — гладкая вещественная вектор-функция.

В пункте 1.1 изложены основы классического анализа локальной устойчивости цикла Г системы (0.1) по ее первому приближению. Описана методика исследования усгойчивости с использованием техники мультипликаторов и характеристических показателей Ляпунова Общие мегоды детерминированнго анализа демонстрируются на примере классической модели нелинейной хаотической динамики — сисгемы Ресслера:

X = -{y + z) у = х + ау (0 2) z = а + z (x — //) Здесь, а = 02и//>0 — параметры системы.

В пункте 1 2 определяются точки покоя системы (0 2) и исследуется их устойчивость при помощи критерия Раусса-Гурвица. Выбран диапазон значений параметра /i, в котором обе точки покоя являются неустойчивыми, а вокруг одной из них существует устойчивый предельный цикл. Для отыскания предельного цикла используется метод сечений Пуанкаре. Рассмотрена зависимость цикла системы Ресслера (0.2) от параметра ц Показано, что с увеличением ^ циклы меняют не только свою форму, но и кратность Найдены точки удвоения периода циклов, задающие интервалы Ik посюянной кратности цикла системы (0.2). Рассмотрена бифуркационная диаграмма, дающая наглядное описание бифуркаций удвоения периода и перехода к хаотическому режиму осцилляций. С помощью мультипликаторов, локальных экспонент и характеристических показателей Ляпунова продемонстрирован общий характер роста локальной неустойчивости системы Ресслера (0.2) на интервале удвоения периода I —.

Вторая глава посвящена анализу стохастической чувствительности циклов динамической системы, возмущаемой шумом малой интенсивности. Излагается как эмпирический подход, предполагающий численное моделирование траектории, так и теоретический подход, опирающийся на использование аппарата ФСЧ. Основным объектом, рассматриваемым в данной главе, является система стохастических дифференциальных уравнений Ито у = ш+ы{у)щ (0 3) где w (t) — тг-мерный стандартный винеровский процесс, <�т (у) — гладкая п х п — функция, характеризующая распределение случайных возмущений по координатам, а? > 0 -интенсивность шума.

Система (0.3) получается при внесении случайных возмущений в виде винеровских процессов в исходную детерминированную систему (0.1).

Под воздействием малых случайных возмущений фазовая траектория системы (0 3) I покидает детерминированную орбиту Г и формирует вокруг нее некоторый пучок.

В пункте 2.1 излагается схема эмпирического анализа стохастической чувствительности цикла Г. Для трехмерного случая (п = 3) приводится статистический способ оценки сюхастической чувствительности Г. Рассматривается орюгональная циклу Г плоскость nt, построенная в точке ?(t) детерминированной орбиты (0 < t < Т). При моделировании пучка случайных траекторий формируется эмпирический массив Pt точек пересечения пучка с плоскостью По массиву Pt рассчитывается ковариационная матрица С. Для матрицы чувствительности S = ^ рассматриваются собственные числа D > D2 > D3. В силу того, что все точки массива Pt лежат в плоскости П (, значение D3 = 0, а первые два собственных числа характеризую! неравномерность разброса пучка в сечении П{ При изменении t на интервале [0,Т) имеем функции D (t) и ?>2(0 — так называемые эмпирические функции стохастической чувствительности (ЭФ-СЧ), являющиеся мерой стохастической чувствительности цикла Г.

В пункте 2.2 проводится подробный эмпирический анализ стохастической чувствительности системы Ресслера. я = ~(У + z) + у = х + ay + ew 2 (0.4) z — а + z (x — fj) + ewz.

Численные эксперименты показывают, чю пучки случайных траекторий системы (0.4) вокруг детерминированной орбиты Г неоднородны по ширине. Рассматриваемая стохастическая бифуркационная диаграмма демонстрирует размытие тонких деталей детерминированной диаграммы под воздействием случайных возмущений.

Для нескольких значений параметра /х рассматриваются графики ЭФСЧ, полученные для системы (0.4) при различных значениях инхенсивности шума е. Демонстри-руехся увеличение разброса ЭФСЧ для значений ц близких к точкам удвоения периода Показана слабая зависимость ЭФСЧ от е в пределах, когда шум можно считать малым. При изменении параметра ц на интервале удвоения периода I вводяхся функции Mj (fj,) = maxo<t<T (fi)Dj{t, ц) (где j = 1,2), характеризующие для каждого ц 6 / стохастическую чувствительность цикла в целом.

С помощью данных функций получена общая кар хина роста стохастической чувствительности циклов системы Ресслера (0.4) в цепи бифуркаций удвоения периода В графиках Мх (ц) и Мг (/х) присутствует весьма ощутимая шумовая составляющая. Ослабление данной составляющей в рамках эмпирического подхода возможно лишь за счет увеличения объема используемой выборки, что требует значительных вычислительных ресурсов.

В пункте 2.3 излагается теоретическая методика анализа стохастической чувствительное! и цикла системы (0.4) с использованием метода квазипотенциала. Данная методика, получившая название аппарата ФСЧ, была развита в работах Ряшко JI Б. и Башкирце-вой И.А. В пункте 2.3.1 строится функция стохастической чувствительности, являющаяся теоретической характеристикой воздействия случайных возмущений на детерминированный цикл Г.

Функция v{y) = -hme2ln р (у, е), называемая квазипохенциалом, задает при малых шумах асимптотику стационарной плотности р (у,?) распределения стационарного уравнения ФПК. В малой окрестности цикла рассматривается следующая аппроксимация квазипотенциала: v (y) = V>(y) + 0(\A (y)\% где р (у) — орбитальная квадратичная форма, а А (у) — у — 7(у) — отклонение точки у случайной траектории от 7(у) — ближайшей к у точки Г.

С использованием аппроксимации v (y) асимптотика стационарного решения р{у, е) уравнения ФПК записывается в виде нормального распределения р*(у, е) с ковариационной матрицей е2Ф (у):

Д (у), Ф+(7(у))Д (у)) р{у, е) яр*{у, е) = К-е 2 е2, (0.5) где «+» означает псевдообращение. Матричная функция .

Рассматривается уравнение Ляпунова для матрицы W (t), задающей параметризацию ФСЧ: W (t) = Ф (£(£)), где ?(t) — Т-периодическое решение детерминированной системы (0.1) (цикл Г), а 0 < t < Т. Излагается мегод решения уравнения Ляпунова (с использованием терминов Р-устойчивости), предложенный в pa6oiax Ряшко Л. Б. и Баш-кирцевой И. А. Данный метод лежит в основе двух численных алгоритмов, используемых в представляемой работе для численного расчета ФСЧ.

Прямое использование ФСЧ в матричном виде не всегда является удобным. В пункте 2.3 2 рассматривается спектральная декомпозиция матрицы Ф (£) — Для фиксированной точки? € Г собственные числа Dx,. ¦ ¦, Dn и соогвегсгвующие им нормированные собственные векторы v, v2,. • •, vn матрицы Ф (£) составляют ее спектральную декомпозиЦИЮФ (0 = Z" =1 Dj • VjVjT.

Собственные числа D > D2 > • • • > Dn матрицы чувствихельности Ф (£(£)) = W (t) характеризуют распределение точек пересечения пучка случайных 1раекторий в нормальной гиперплоскости П (. В силу вырожденности махрицы W (t) младшее собственное число Dn = 0 (все точки пересечения лежат в П4) Остальные собственные числа при изменении t на интервале [0-Т) задают вещественные функции Di (t), D2(t),., Dn-i (t). Данные функции являются скалярным представлением исходной функции чувствительности Ф (?(?)) и характеризуют разброс пучка в гиперплоскости nt вдоль соответствующих ортогональных направлений.

Стохастическую чувствительность цикла Г удобно представлять в геометрической форме с использованием скалярных характеристик — собственных чисел (ФСЧ), и векторных — собственных векторов матрицы чувствительности Для трехмерного случая (п = 3) излагается методика геометрического анализа стохастической чувствительности Г В нормальном сечении П (рассматривается доверительный эллпис Y (t) с центром в точке орбиты ?(?), 0 < t < Т. Направления осей определяются векторами v (t) и г>г (?), а длинызначениями ФСЧ Di (t) и D2(t). При изменении t на всем интервале [0-Т) эллипсы Y{t) задают в фазовом пространстве системы (0.3) доверительный тор, являющийся доверительной областью для всего пучка Приводится схема построения доверительного тора с использованием средств компьютерной ЗБ-графики: построение эллипсов Y (t), форми-I рование полигональной сетки тора, состоящей из треугольников, отрисовка поверхности тора по полигональной сетке. Демонстрируются изображения тора, полученные с помощью как плоского (flat shading), так и гладкого (smooth shading) метода закрашивания поверхности. Для гладкого закрашивания выбран известный метод Гуро формирования цвета точек грани путем интерполяции значений цвета на ее границах.

В пункте 2.4 проводится детальный анализ стохастической чувствительности циклов системы Ресслера (0.4) с использованием аппарата ФСЧ, подробно изложенного выше. В пункте 2.4.1 рассматривается скалярное описание чувствительности циклов системы (0 4) в виде графиков ФСЧ D (t) и Дг (') Для различных значений параметра /х Демонстрируется соответствие между данными функциями и ЭФСЧ D (t) и D2(t). Использование аппарата ФСЧ при анализе стохастической чувствительности позволяет значительно снизить затраты времени на численные расчеты.

В nyiiKie 2 4 2 демонехрируегея применение arinapaia ФСЧ для upocipanciвенного описания схохастической чувствительноехи предельною цикла сисхемы Ресслера. Приводятся изображения доверительных эллипсов, построенных на детерминированной орбите Полученные графики иллюстрируют особенности стохастической чувствительности цикла не только по величине, но и по направлению. Для разных значений параметра ц системы (0 4) демонстрируется построенная 3£>-модель стохастического цикла в виде доверительного тора, дающего наглядное представление об особенностях пространственной ориентации и формы стохастического цикла. При увеличении инхенсивносхи шума е наблюдается общее увеличение размера доверительного хора, сопровождающееся уменьшением расстояния между его соседними петлями. Для 2^-цикла (к > 0) системы (0.4) при увеличении е рассмотрено слияние соседних петель тора, означающее уменьшение кратности стохастического цикла под воздействием случайных возмущений. Данный эффект обратной схохастической бифуркации подробно рассматривавхся далее в главе 3.

Проводится сопоставление доверительного тора miioi ооборотного стохастического цикла системы Ресслера и фазового портрета хаотического аттрактора Наблюдаемое структурное сходство позволяет высказать предложение по переходу при изучении хаотической динамики к анализу стохастического атхрактора.

В пункте 2.4.3 с использованием функций Mj (fi) = maxo.

В третьей главе изучается поведение стохастического цикла Г системы (0 3) под воздействием случайных возмущений большой интенсивности. Обсуждается эффект обрат-пых стохастических бифуркаций (ОСБ) — уменьшение кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности шума е. Дальнейшее увеличение интенсивности шума после первой ОСБ приводит к серии старших ОСБ последовательного уменьшения кратности стохастического цикла Излагаются методики анализа ОСБ в рамках как эмпирического подхода, предполагающего численное моделирование случайной траекюрии, так и теоретического подхода, опирающегося на аппарат ФСЧ.

В пункте 3.1 излагается методика эмпирического анализа ОСБ циклов с использованием спектральной плотности, а также плогности распределения в сечении стохастического цикла. Основной акценг делается на использовании последней характеристики, позволяющей провести детальный анализ ОСБ Дается общая схема эмпирического анализа как первой, так и старших ОСБ с использованием плотности распределения р (и): описывается выбор сечения, формирование эмпирического массива точек пересечения пучка случайных траекторий, построение плотности р (и). Обсуждается поведение графика р (и) при увеличении интенсивности шума? — переход от бимодальной формы к унимодальной Вводится понятие критического значения шума е* - величины интенсивное! и возмущений, при которой происходит' качественное изменение графика плотности р (и) (переход от бимодальной формы к унимодальной). Приводится процедура iiociроения численной оценки критического значения шума е*. Производится обобщение данной процедуры на случай старших ОСБ. Вводятся значения е*2 — уровень шума второй ОСБ перехода 2к~1-цикла в 2А:~2-цикл,. , е*к — уровень шума к-й ОСБ перехода 2-цикла в 1-цикл.

Пункт 3.2 посвящен эмпирическому анализу ОСБ циклов системы Ресслера (0.4). В пункте 3 2 1 представлена общая картина бифуркаций. При различных значениях интенсивности шума е приведены фазовые портреты возмущенных 2-цикла и 4-цикла. Для исходного 2-цикла {ц = 3) при увеличении е наблюдается слияние соседних петель, приводящее к первой ОСБ — переходу стохастического 2-цикла в 1-цикл Для исходного 4-цикла (fi = 4) рассматриваются старшие ОСБ — последовательный переход стохастического 4-цикла в 2-цикл и далее в 1-цикл при увеличении ?.

Дается наглядная иллюстрация ОСБ циклов системы Ресслера (0.4) на ишервале удвоения периода I при помощи стохастической бифуркационной диаграммы. Демонстрируется последовательное размытие ветвей диаграммы на интервалах Ik при увеличении е.

Далее представлены результаты спектрального анализа стохастических циклов системы Ресслера (0.4). Получено последовательное размытие младших гармоник плотно-I С1и д (ш), подтверждающее уменьшение кратности стохастического цикла при увеличении ишенсивности шума ?.

В пункте 3 2 2 проводится эмпирический анализ ОСБ циклов системы Ресслера с использованием плотности распределения. Для выбранных значений ц = 3 (2-цикл) и (л = 4 (4-цикл) приводится вид пучка в различных сечениях. Построены соответствующие графики плотности распределения р (и). У графиков р (и) наблюдается заметная шумовая составляющая. Для сглаживания используется МНК-аппроксимация. При увеличении е наблюдается качественное изменение формы графика плотности (переход от бимодальной к унимодальной) При изменении параметра ц на всем ишервале удвоения периода U^Lih получена эмпирическая диаграмма первой ОСБ — зависимость ?*(/i). О i мечено самоподобие графика ?*(//) на интервалах Ik.

На примере 4-цикла (/х = 4) проведен эмпирический анализ второй ОСБ перехода уже стохастического 2-цикла в 1-цикл при увеличении е. Обсуждается сложность эмпирического анализа последней (к-й ОСБ) для исходного 2fc-4H^ia системы Ресслера в связи с последующим разрушением стохастического 1-цикла и уходом случайной траектории в бесконечность.

Эмпирический анализ старших ОСБ продемонстрирован для системы Ресслера (0.4) на примере 16-цикла (fi = 4.194). В связи с большими захрахами времени на эмпирическое моделирование многооборотного цикла и сглаживание графика эмпирической илотосги распределения получены только грубые оценки критических значений e ~ 0 0023 и £д «0.014 вюрой и третьей ОСБ, соответственно.

При анализе первой ОСБ с использованием плотности распределения р (и) для системы Ресслера (0.4) обсуждается обнаруженный эффект «тяготения» случайной траектории Численные расчеты показали, что для графика плотности р (и) возникает ощутимое раз! личие между значениями площади под соседними всплесками. Это означает тяготение случайной траектории к петле, соответствующей всплеску большей площади. Проход траектории вдоль аакой петли более вероятен, чем вдоль соседней Для системы Ресслера дехально исследовано «тяготение» случайной траектории и продемонстрировано его усиление при увеличении интенсивности шума е.

Эмпирический анализ ОСБ остается весьма затратной по времени и вычислительным ресурсам процедурой. В пункте 3.3 излагается теоретический подход к изучению ОСБ, опирающийся на аппарат ФСЧ, детально рассмотренный во второй главе.

В пункте 3 3.1 рассматривается случай первой ОСБ. Дается методика построения аппроксимации плотности распределения в сечении стохастического цикла. Используется нормальная форма (0.5) асимптотики стационарной плотности распределения для малых шумов в малой окрестности орбиты цикла Г. Выбирается произвольная точка (6 Г орбиты и сопровождающая ее точка ц — ближайшая к? точка соседней петли Г Рассматривается прямая Z, соединяющая? и 77- а также секущая плоскость П, содержащая I Показано, что точки пересечения пучка с плоскостью П в проекции на прямую I имеют вблизи? нормальное распределение с параметрами (0-еа):

Здесь величина о не зависит от е и с учетом спектрального разложения матрицы чувствительности Ф (£) записывается в виде:

2 А • А> о =.

D2-(h, vly + D1-(h, v2)^ где ФСЧ Di, D2 — собственные значения, соответствующие нормированным собственным векторам vy, v2 матрицы Ф (£). Вектор h зависит только от выбора точек? и г].

Для точки 77 соседней петли плотность распределения д{и) на прямой I вблизи 77 имеет аналогичное представление:

4(и) = <�°-7> где d = \г] — - расстояние между точками г] и ?, а величина, а определяется выражением.

2 A 'As.

О —.

D2-{h, vly + Dl-(h, v2f Здесь ФСЧ Ь и D2 — собственные значения матрицы Ф (т]), соответствующие нормированным собственным векторам щ и v2. Вектор h зависит только от выбора точек? и 77. Результирующая плотность распределения на прямой / полагается равной: p{u)=m±m, tog, где д (и) и д (и) задаются выражениями (0.6) и (0.7), соответственно. Функция р (и), определяемая выражением (0.8), аппроксимирует эмпирическую плотность распределения проекций (на прямую I) точек пересечения пучка с секущей плоскостью П. Использование.

14 данной аппроксимации позволяет избежать длительного эмпирического моделирования и сделать анализ ОСБ более эффективным.

Поведение графика аппроксимации р (и) при увеличении е аналогично поведению графика эмпирической плотности. При увеличении? ширина всплесков функции р (и) растет, и происходит наложение всплесков друг на друга. Значение р (и*) в точке локального минимума и* возрастает и приближается к одному из локальных максимумов функции р (и). При некотором значении е = е* на графике р (и) происходит совпадение локального максимума с локальным минимумом. При дальнейшем росте е у функции р (и) на интервале (О, d) будет всего один экстремум.

Переход графика р (и) от бимодальной формы к унимодальной при увеличении е лежит в основе предлагаемой процедуры построения теоретической оценки критического значения шума С учетом (0.6) и (0.7) уравнение р'(и) = 0, используемое для отыскания точек локального экстремума аппроксимации р (и), имеет вид:

Существует такое значение шума е*, что при е < е* уравнение (0.9) имеет 3 различных вещественных корня, а при е > е* - в точности один корень При е = е* уравнение (0.9) имеет два корня, один из которых кратный. Данное аналитическое условие кратносхи корня уравнения (0.9) предлагается использовать для определения величины е* - теоретической оценки критического значения интенсивности шума первой ОСБ.

В пункте 3.3.2 излагается методика анализа старших ОСБ как обобщение методики анализа первой ОСБ, подробно рассмотренной в пункте 3.3.1. Производится построение аппроксимации плотности распределения в сечении нескольких петель многооборогно-ю 2fc-цикла Рассматривается сечение П, для которого можно считать, что ~ точки пересечения Г с сечением П — лежат на одной прямой I. Для каждой из точек £г с использованием выражения (0.7) имеем аппроксимацию дг (и) плотности распределения на I вблизи £г (г = 1,., 2к). Результирующая плотность распределения на прямой I полагается равной:

Построение теоретической оценки критического значения шума первой ОСБ обобщается для случая старших ОСБ. Всплески плотности р (и), где р (и) определяется (0.10), группируются по парам. К каждой из пар применяется условие наличия кратного корня.

0.9).

0.10) у уравнения (0 9). Строятся теоретические оценки критических значений шума ., е*к старших ОСБ последовательного уменьшения кратности стохастического цикла.

В пункте 3.4 проводится анализ ОСБ циклов системы Ресслера (0.4) с использованием аппарата ФСЧ В пункте 3.4.1 представлен общий анализ ОСБ. Для различных значений параметра ц из интервала удвоения периода I с помощью ФСЧ строится функция отношения ^ стохастической чувствительности соседних петель орбиты. Обнаружено соответствие между качественной формой графика данной функции и эмпирической функции тяготения. Данное соответствие может являться исходной точкой для установления точной связи между ФСЧ и эмпирической функцией тяготения.

В пункте 3.4.2 представлен детальный анализ ОСБ циклов системы Ресслера (0 4) с использованием аппроксимации плотности распределения в рамках методики, изложенной в пункте 3 3. Сначала рассматривается первая ОСБ. Для различных значений параметра ц из интервала удвоения периода I при различных значениях интенсивности шума е демонстрируется соответствие между графиками эмпирической плотности распределения и ее теоретической аппроксимацией, рассчитываемой с использованием (0.8). Полученное соответствие для системы Ресслера свидетельствует о возможности успешного применения аппарата ФСЧ для анализа стохас! и ческой динамики в присутствии сильного шума. Обсуждаются некоторые ограничения использования аппроксимации плотносхи, связанные с особенностями геометрической формы стохастического цикла при сильном шуме.

Для системы Ресслера (0.4) построена теоретическая диаграмма первой ОСБ — зави-симос!ь величины теоретической оценки е* критического значения шума от параметра /i Демонстрируется самоподобие графика e*(fi) на интервалах IkПри сравнении графика е*(ц) с эмпирической кривой £*{ц) зафиксировано некоторое отличие: на каждом из интервалов Ik теоретическая оценка е* сначала возрастает, а потом убывает. В то время как эмпирическая кривая монотонно возрастает на всем.

Анализ старших ОСБ циклов системы Ресслера с использованием ФСЧ проводится на примере 4-цикла (// = 4) и 16-цикла (ц = 4.19). Получено соответствие между графиками эмпирической плотности распределения и ее теоретическим аналогом, рассчитанным с помощью (0.10). Получены теоретические оценки критических значений интенсивности шума старших ОСБ: е*2 «0.177 и^й 0.0113.

1. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Ч. 1, 2. Изд-во СГУ. Саратов. 1985.1986.

2. Анищенко B.C., Астахов В. В., Вадивасова Т. Е., Нейман А. В., Стрелкова ГИ, Шиманский-Гайер JI Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Под ред. Анищенко B.C. Москва Ижевск. 2003.

3. Башкирцева И. А., Ряшко JI.B. Метод квазипотенциала в анализе чувствительности автоколебаний к стохастическим возмущениям. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т.6. N5. С 19.

4. Башкирцева И. А., Ряшко JI.B. Метод квазипотенциала в исследовании локальной устойчивости предельных циклов к случайным воздействиям. // Извесгия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т.9 N6. С. 104.

5. Башкирцева И. А, Ряшко JI. B, Стихин П В Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т.П. N6. С. 32.

6. Башкирцева И. А., Ряшко JI.B., Стихин П. В. Случайные переходы между петлями предельных циклов системы Ресслера. // Проблемы теоретической и прикладной мате-машки. Труды 35-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2004. С. 165.

7. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука. 1979.

8. Вентцель, А Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука. 1975.

9. Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука. 1979.

10. Вентцель, А Д., Фрейдлин М. И. Малые случайные возмущений динамических систем. Успехи мат. наук. 1970. Т.25. N1. С.З.

11. Воронов А. А., Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости М.: Наука. 1987.

12. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М. 1986.

13. Гихман И. И., СкороходА.В.

Введение

в теорию случайных процессов. М. Наука. 1965.

14. Гихман ИИ., Скороход А. В Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова Думка. 1968.

15. Дарахвелидзе П. Г., Марков Е. П. Программирование в Delphi 7. СПб.- БХВ-Петербург. 2003.

16. Диментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.-Наука. 1980.

17. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М: Наука. 1967.

18. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ. 1956.

19. Ито К. О стохастических дифференциальных уравнениях. // Математика I. 1957. N1. С. 78.

20. Ито К. Об одной формуле, касающейся стохастических дифференциалов. // Математика 3. 1959 N5. С 131.

21. Кац И. Я. Об устойчивости по первому приближению систем со случайными параметрами. // Мат зап. УрГУ. 1962. N3. С. 1.

22. Кац И. Я Об устойчивости в целом стохастических систем. // Прикл матем. и мех. 1964. Т.28. N2. С 447.

23. Кац И. Я, Красовский Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами. // Прикл. матем и мех 1960. Т.27. N5. С. 809.

24. Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука. 1981.

25. Копейкин А. С., Вадивасова Т. Е., Анищенко B.C. Особенности процесса установления вероятностной меры на хаотических аттракторах в системах Лоренца и Ресслера с учетом флуктуаций. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т.8. N6. С 65.

26. Краснов М. В. OpenGL. Графика в проектах Delphi СПб.: БХВ-Петербург. 2002.

27. Красовский Н. Н. Об оптимальном регулировании при случайных возмущениях // Прикл. матем. и мех. 1960. Т.24. N1. С. 64.

28. Кузнецов А. П. Динамический хаос. (Сер. Современная теория колебаний и волн). Изд-во Физико-математической литературы. Москва. 2001.

29. Кузнецов А. П., Капустина Ю. В. Свойства скейлинга при переходе к хаосу в модельных отображениях с шумом // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 2000. Т.8. N6. С. 78.

30. Кузнецов П. И, Стратонович P.JI., Тихонов В. И. Воздействие электрических флуктуаций на ламповый генератор. // ЖЭТФ 1955. Т.28. В5. С. 159.

31. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М Мир 1984.

32. Магницкий Н. А. Бифуркация Хопфа в системе Ресслера. // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N3. С. 538.

33. Мильштейн Г. Н. Устойчивость и стабилизация периодических движений автономных систем. // Прикл. математика и механика. 1977. Т.41 Вып.4. С. 744.

34. Мильштейн Г. Н., Ряшко Л. Б. Устойчивость и стабилизация орбит автономных систем при случайных возмущениях. // Прикл. математика и механика 1992. Т.56. Выи 6. С 951.

35. Мильштейн Г. Н., Ряшко Л. Б. Первое приближение квазипотенциала в задачах об устойчивости систем со случайными невырожденными возмущениями // Прикл математика и механика. 1995. Т.59. Вып.1. С. 51.

36. Нейман А. Б Применение кумулянтного анализа для исследования бифуркаций динамических систем, возмущаемых внешним шумом. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т.З. N3. С. 8.

37. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.- Наука 1987.

38. Пакшин П. В. Экспоненциальная устойчивость одного класса нелинейных стохастических систем. // Автоматика и телемеханика. 1980. N2.

39. Понтрягин Л. С., Андронов А. А., Витт А. А. О статистическом рассмотрении динамических систем. // ЖЭТФ. 1933. Т. З. Вып.З. С. 165.

40. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1982.

41. Рабинович М. И. Стохастические колебания в радиофизике и гидродинамике. Эксперименты и модели. // Нелинейные волны. Сгохастичность и турбулентность Горький. ИПФ АН СССР. 1980. С. 5.

42. Рытое С. М.

Введение

в стохастическую радиофизику. М.Наука. 1976.

43. Ряшко Л Б. Об устойчивости стохастически возмущенных орбитальных движений. // Прикл. матем. и мех. 1996. Т.60. Вып.4. С. 582.

44. Ряшко Л. Б., Стихин П. В. Обратные стохастические бифуркации в системе Ресслера // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С. 192.

45. Ряшко Л. В., Стихин П. В Обратные бифуркации в сюхасгической системе Ресслера. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т13. N4. С. 20.

46. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука. 1989.

47. Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М. Наука. 1979. С. 192.

48. Скороход, А В Исследования по теории случайных процессов. Изд. Кивского университета Киев 1961.

49. Стихин П. В. Программный комплекс моделирования и анализа динамики стохастической системы дифференциальных уравнений. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург. УрО РАН. 2005 С. 383.

50. Стихии П. В. Тяготение случайной траектории при обратных стохастических бифуркациях. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург. УрО РАН 2006. С. 283.

51. Стихин П. В. Исследование стохастической системы Ресслера // Международная конференция: Dynamical System Modelling and Stability Investigation. Киев: Киевский Национальный Университет. 2005. С. 222.

52. Стихии П. В. Геометрическое описание стохастической чувствительности системы Ресслера. // Тез. докл. IX Межд. Семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва 2006. С. 253.

53. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике М.: Сов Радио. 1961.

54. Стратанович P.JI., Ланда П. С. Воздействие шумов на генератор с жестким возбуждением. // Известия вузов. Радиофизика. 1959. Т2 N1. С. 37.

55. Тихонов В. И Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы // Автоматика и телемеханика. 1958. Т.19. N8. С. 717.

56. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир. 1990.

57. Хасъминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М • Наука. 1969.

58. Хилл Ф. OpenGL Программирование компьютерной графики. Для профессионалов. СПб.: Питер Второе издание. 2002.

59. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир. 1987.

60. Шустер Детерминированный хаос. М.: Мир. 1988.

61. Alt F., Menzmger М Stirring effects and phase-dependent inhomogeneity in chemical oscillations: the Belousov-Zhabotinskiy reaction in a CSTR // J. Phys. Chem. A. 1997. Vol.101. P.2304.

62. Ah F., Menzmger M. On the local stability of limit cycles // Chaos. 1999. Vol.9. P.348 124.

63. Altares V., Nicolis G. Stochastically forced Hopf bifurcation: approximate Fokker Planck equation in the limit of short correlation times. // Phys Rev A. 1988. Vol.37. P.3630.

64. Amshchenko V.S., Neiman A.B. Structure and properties of chaos in presence of noise. // Nonliear Dynamics of structures. Ed. R.Z. Sagdeev et al. Singapore: World Scientific1991. P 21.

65. Argoul F., Arnedo A., Richetti P. Symbolic dynamics in the Belousov-Zhabotinski reaction: from Roessler intuition to experimaental evidence for Shilmkov’s homoclinic chaos. 1989. P 53.

66. Arnold L Random dynamical systems. Springer-Verlag. Berlin. 1998.

67. Arnold L., Bleckert G., Schenk-Hoppe K. The stochastic Brusselator. parametric noise destroys Hopf bifurcation. Stochastic dynamics. Springer 1999 New-York P71.

68. Arnold L., Horsthemke W., Lefever R. White and coloured external noise and transition phenomena in nonlinear systems. // Zs. Phys. 1978. Vol.29. P.867.

69. Arnold L., Namachchivaya N., Schenk-Hoppe К Toward an understanding of stochastic Hopf bifurcation a case study. International Journal of Bifurcation and Chaos. In Applied Sciences and Engineering. New-York. 1996. Vol.6. N11. P.1947.

70. Arrhenius S.A. Ueber die Reaktiongeschwindigkeit bei der inversion von Rohrzucker durch Saeuern. // Z. Phys. Chemie. 1899. Vol. 4. P.226.

71. Baras F. Stochastic Analysis of Limit Cycle Behavior. Phys Rev Lett. 1996. Vol.12. N7. P.1398.

72. Bashkirtseva I.A., Rjashko L.B. Sensitivity analysis of stohastically forced Lorenz model cycles under period-doubling bifurcations. // Dynamic systems and applications. 2002. Vol 11. P.293.

73. Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Stochastic sensitivity of 3D-cycle&. // Mathematics and Computers in Simulation. 2004. Vol. 66. Issue 1. P.55.

74. Bashkirtseva I. A., Isakova M.G., Ryashko L. B. Quasipotential in stochastic stability analysis of the nonlinear oscillator orbits. //J. Neural, Parallel & Scientific Computations 7(3). 1999 P.299.

75. Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Sensitivity analysis of the stochastically and periodically forced Brusselator. // Physica A. 2000. 278. P.126.

76. Berglund N, Gentz B. Universality of residence-time distributions in non-adiabatic stochastic resonance. 2004.

77. Berglund N., Gentz B. On the noise-induced passage through an unstable periodic orbit Two-level model. // J. Stat. Phys. 2004. 114. P.1577.

78. Billings L., Schwartz I. Exciting chaos with noise: unexpected dynamics in epidemic outbreaks. //J. Math. Biol. 2002. Vol.44. P.33.

79. Crauel H., Flandoli F. Additive Noise Destroys a Pitchfork Bifurcation. Journal of Dynamics and Differential Equations 1998. Vol 10. N2. P.259.

80. Crauel H., Imkeller P., Stemkamp M. Bifurcations of one-dimensional stochastic differential equations. // in H. Crauel and M. Gundlach, editors, Stochastic dynamics. Springer-Verlag. New York. 1999. P.27.

81. Crutchfield J., Farmer J., Huberman B. Fluctuations and Simple Chaotic Dynamics. // Phys. Rep. 1982. Vol. 92. P.45.

82. Crutchfield J, Farmer J., Packard N., Shaw R., Jones G, Donnely R. Power spectral analysis of a dynamical systems // Phys. Lett. 1980. Vol.76A. N1. P.l.

83. Crutchfield J., Nauenberg M., Rudnick J. Scaling for external noise at the onset of chaos. Phys. Rev. Lett. 1981. Vol.46. P.933.

84. Cvitanovic P. Universality in Chaos. Hilger. Bristol. 1989.

85. Day M. Cycling and skewing of exit measures for planar systems.Stoch. Stoch. Rep 1994. Vol. 48. P.227.

86. Day M. V. Regularity of boundary quasi-potentials for planar systems.// Applied Mathematics and Optimization. 1994. Vol.30. P.79.

87. Deissler R.J., Farmer J.D. Deterministic noise amplifiers. // Physica D. 1992 Vol. 55 P.155.

88. Dembo M., Zeitouni 0. Large deviations techniques and applications. Jones and Bartlett Publishers Boston. 1995.

89. Dykman MI et al. Activated escape of periodically driven systems. Chaos 2001 N.ll. P.587.

90. Franzoni L., Mannella R., McChntock P, Moss F. Postponement of Hopf bifurcations by multiplicative colored noise. // Phys. Rev. A 1987. Vol.36. P.834.

91. Gao J. В., Hwang S. K., Liu J. M. When can noise induce chaos? Phys. Rev Lett. 1999. Vol 82 N6P.1132.

92. Graham R., Tel T. Existence of a potential for dissipative dynamical systems. Phys Rev Letters. 1984. Vol. 52. N.9.P 12.

93. Graham R, Tel T. Weak-noise limit of Fokker-Planck models and nondifferentiable potentials for dissipative dynamical systems Phys. Rev. A. 1985. Vol 31. P.1109.

94. Graham R., Tel T. Nonequilibnum potential for coexisting attractors. Phys. Rev A. 1986 Vol 33 P.1322.97.. Graham R, Tel T. Steady state ensemble for the complex Ginzburg Landau equation with weak noise. Phys. Rev. A. 1990. Vol.42. P.4661.

95. Gouraud H. Continuous Shading of Curved Surfaces. IEEE Transactions on Computers 1971. P 623.

96. Hahn H.S., Nitzan A., Ortoleva P., Ross J. Threshold excitation relaxation oscillations and effect of noise in an enzyme reactions. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1974. 71 P.4067.

97. Hwang S. K., Gao J. В., Liu J.M. Noise-induced chaos in an optically injected semiconductor laser model. Phys Rev. E. 2000. 61. P.5162.

98. Ibrahim R. A. Parametric Random Vibration. John Wiley and Sons. New York. 1985.127.

99. Kifer Y. Random perturbations of dynamical systems. Birkhaeuser. 1988.

100. Konno H., Kanemoto S., Takeuchi Y. Theory of stochastic bifurcation in BWRS and Applications. // Progress in Nuclear Energy. 2003. Vol.43. N. l-4. P.201.

101. Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion theory of chemical reactions. // Physica. 1940. Vol.7. P.284.

102. Kurrer C., Schulten K. Effect of noise and perturbations on limit cycle systems // Physica D. 1991 Vol.50. P 311.

103. Kushner H. On the stability of stochastic dynamical systems // Proc of Nat Acad, of Sci USA. 1964. Vol.53. N1. P8.

104. Landa P. S., McClintock P V.E. Changes in the dynamical behavior of nonlinear systems induced by noise // Physics Reports. 2000. Vol.323. P 1.

105. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to external mutiplicative noise. //In W. Horsthemke D.K.Kondepudi, editors. Fluctuations and sensitivity in nonequilibrium systems. Springer-Verlag Berlin. 1984.

106. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to mutiplicative colored noise // Phys Rev. Lett. 1986. Vol.56. P. 1631.

107. Lehmann J., Reimann P., Haenggi P. Surmounting oscillating barriers' Path-integral approach for weak noise. // Phys. Rev. E. 2000. N.5 P.6282.

108. Khovanov I. A, Luchinsky D.G., Mannella R, and McClintock P. V. E ed M. W Evans, Wiley, Fluctuational escape and related phenomena in nonlinear optical systems. // Adv Chem. Phys. In Modern Nonlinear Optics. Part 3. New York. 2001 Vol 119. P.469.

109. Leng G., Namachchivaya N., Talwar S. Robustness of nonlinear systems perturbed by external random excitation. // ASME Journal of Applied Mechanics. 1992. Vol.59. P.l.

110. Luchinsky D.G., Mannella R., McClintock P.V.E., Stocks N. G Stochastic resonance in electrical circuits II: Nonconventional stochastic resonance. // IEEE Trans on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. 1999. 46. P.1215.

111. Ludwig D. Persistence of dynamical systems under random perturbations // SIAM Rev. 1975. Vol.17. P.605.

112. Malick K., Marcq P. Stability analysis of noise-induced Hopf bifurcation. // Eur Phys.J. B. 2003 Vol.36. P.119.

113. Mangel M. Small fluctuations in systems with multiple limit cycles // SIAM. J. Appl.MATH. 1980. Vol.38. N1. P. 120.

114. McKean H P. Stochastic integrals, Probability and Mathematical Statistics N5. Academic Press. New-York. 1969.

115. Maier R.S., Stem D.L. Oscillatory behavior of the rate of escape through an unstable limit cycle. // Phys. Rev. Lett. 1996. N24. P.4860.

116. May R M. Stability and complexity in model ecosystems. PrincetonUniversity Press. 1973.

117. Matkowsky B.J., Schuss Z. On the problem of exit. // Bull AMS. 1976. Vol 82 P321.

118. Matkowsky В J., Schuss Z. The exit problem for randomly perturbed dynamical systems. // SIAM J.Appl. Math. 1977 Vol.33 P365.

119. Moss F., McChntock P. V.E. Noise in nonlinear dynamical systems. Cambridge University Press. 1989.

120. Naeh Т., Klosek M.M., Matkowsky B. J., Schuss Z. A direct approach to the exit problem. // SIAM Journal Appl.Math. 1990. Vol.50. N2. P.595.

121. Namachchivaya N. Stochastic bifurcation. Applied Mathematics and Computation. 1990. Vol.38. Issue 2 P.101.

122. Neiman A., Anishchenko V., Kurths J. Period-doubling bifurcations in the presence of colored noise. // Phys. Rev. E. 1994. Vol.49. P. 3801.

123. Nikolov S, Petrov V. New results about route to chaos in Roessler System. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 2004. Vol 14. Nl. P.293.

124. Oksendal B. Stochastic differential equations. Fourth ed. Universitext. SpringerVerlag. Berlin. 1995.

125. Phong B-T. Illumination for Computer Generated Images. // Communications of the ACM 18. 1975. P.311.

126. Rabai G. (1997) Chaos in the H202-HS03-HC03- Flow System. // J. Phys. Chem. A 1997. Vol.101. P.7085.

127. Roessler O.E. An equation for continuous chaos. // Phys. Lett. A 1976. Vol.57. N5 P.397.

128. Roessler O.E., Wegman K. Chaos in Zhabotinski reaction. // Nature. 1978. Vol 271. P.89.

129. Roessler О E. Chaotic behavior in simple reaction systems // Z Naturforsch. 1976. Vol.31a. P.259.

130. Roy R. V. Asymptotic analysis of first passage problem. // Int. J. of Non-Linear Mechanics. 1997. Vol.1. P. 173.

131. Ryagm A.Y., Ryashko L.B. The analysis of the stochastically forced periodic attractors for Chua’s circuit. // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2004. Vol.14 N11. P.3981.

132. Ryashko L. B, Bashkirtseva I A., Stihm P. V Stochastic sensitivity of the forced Roessler system under transition to chaos. // XXXII Summer School Conference «Advanced Problems in Mechanics». 2004. P.89.

133. Shaw R. Strange attractors, chaotic behavior, and information flow.// Z Naturforsch. 1981. Vol.36a. N1. P.80.

134. Shraiman В., Wayne С E, Martin P.C. Scaling theory for noisy period-doubling transitions to chaos.// Phys. Rev. Lett. 1981. Vol.46. N14. P.935.

135. Smelyanskiy V.N., Dykamn M.I., Maier R.S. Topological features of large fluctuations to the interior of a limit cycles 11 Phys. Rev. E. 1997. Vol.55 No.3. P.2369.

136. Soong T.T., Grigoriu M. Random vibration of mechanical and structural systems. // RTR Prentice-Hall. Englewood Cliffs. New Jersey. 1993.

137. Stratonovich R. L. Topics in the Theory of Random Noise. Gordon and Breach. New York. 1963.

138. Хи В., Lai Y.-C., Zhu L., Do Y. Experimental Characterization of Transition to Chaos in the Presence of Noise. // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol.90. P.164 101.

139. Ymg-Cheng L., Zonghua L., Btllmgs L., Schwartz I. Noise-induced unstable dimension variability and transition to chaos in random dynamical systems // Phys. Rev. E. 2003. Vol.67. P.26 210.