Методика решения уравнений типа свертки

Содержание уравнение свертка интегральный алгоритм Введение

1. Методика решения уравнений типа свертки

1.1 Сравнительная характеристика рабочих программ по дисциплине «Уравнения типа свертки»

1.2 Классификация интегральных уравнений типа свертки

1.3 Методы решения интегральных уравнений типа свертки

1.4 Цели и задачи дисциплины

2. Обобщенные задачи

2.1 Краевые задачи типа Карлемана для полосы

2.2 Задача Карлемана с дробно рациональным коэффициентом

2.3 Задача Карлемана с интегральным условием

2.4 Интегральное уравнение типа плавного перехода для двух функций

3. Сингулярные интегральные уравнения

3.1 Обзор приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений

3.2 Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью Заключение Список использованных источников Приложение

Введение

Актуальность работы. На протяжении XIX и XX веков были исследованы многочисленные виды интегральных уравнений в свертках; причем получены как качественные результаты, так и приближенные методы их решения. Огромный вклад в разработку методов исследования уравнений в свертках внесли Н. Винер и Е. Хопф, Ф. Д. Гахов [15], Г. Деч, М. Г. Крейн [17], Н. И. Мусхелишвили [42], В. А. Фок, предложившие различные методы решения этих уравнений.

Дальнейшее развитие аналитических и численных методов решения уравнений в свертках связано с именами И. В. Бойкова [11], Г. И. Василенко, А. Ф, Верланя [14], Ф. Д. Гахова [16], И. Ц. Гохберга? [19], В. В. Гласко, Б. Н. Енгибаряна [12], И. К. Лифанова [37], Б. И. Мусаева, В. С. Сизикова [14], А. Н. Тихонова и др.

Параллельно с уравнениями в свертках на протяжении XX столетия развивались аналитические и численные методы решения сингулярных интегральных уравнений в свертках. Основные направления развития численных методов решения сингулярных интегральных уравнений отмечены в монографиях С. М. Белоцерковского и И. К. Лифанова, И. В. Бойкова и др.

В последнее время активно развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений в свертках.

Объект исследования. Объектами исследования являются интегральные уравнения типа свертки.

Цель дипломной работы.

· Разработать учебно-методический комплекс дисциплины «Уравнений типа свертки» для студентов 4 курса;

· Получить углубленные знания в области краевых задач и приводящихся к ним интегральным уравнениям типа свертки;

· Исследовать методы решения различных классов уравнений свертки и уметь применять полученные результаты к решению задач;

Задачи дипломной работы.

· Предложить и обосновать итерационные методы решения уравнений в свертках, уравнений Винера? Хопфа, уравнений с парными ядрами, сингулярных интегральных уравнений, интегральных уравнений с одним и двумя ядрами.

· Предложить алгоритмы при решении уравнений типа свертки.

· Разбираться в классификации уравнений свертки и методах их решения.

· Провести сравнительный анализ учебных программ других ВУЗах по данной дисциплине.

Методика исследования. В работе использованы: метод Винера-Хопфа, методы функционального анализа, численные методы, проекционные методы, преобразование Фурье, преобразование Лапласа, вельвет-преобразования, преобразования Меллина.

Научная новизна исследования.

— реализованы методы решения задач уравнений типа свертки.

— даны обобщение методов решения интегральных уравнений в свертках с ядрами различного вида, принадлежащими пространству ;

— предложены методы решения уравнений Винера-Хопфа, парных уравнений, уравнений с двумя ядрами, уравнений с одним ядром, сингулярных интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретическая ценность работы заключается в разработке параллельных методов решения уравнений в свертке, дающих решение следующим классам невырожденных уравнений в свертках: односторонних уравнений (Винера-Хопфа), уравнений с двумя ядрами, уравнений с одним ядром, парные уравнения, сингулярные интегральные уравнения.

Практическая ценность заключается в полном решении уравнений в свертках. Полученные результаты представляют теоретический интерес и вносят существенный вклад в развитие интегральных уравнений.

Структура и объем дипломной работы. Диплом состоит из введения, трех разделов, приложения, заключения и списка использованных источников.

Список использованных источников

включает 57 наименований. Общий объем работы 65 страниц текста.

1. Методика решения уравнений типа свертки

1.1 Сравнительная характеристика рабочих программ по дисциплине «Уравнения типа свертки»

В Южном федеральном университете предлагается рабочая программа «Теория операторов Нетёра» Дыбина В. Б. Общая трудоемкость составляет 108 часов. Из них 32 часа лекций, 36 часов на экзамен и 40 часов самостоятельной работы. Преподается «Теория операторов Нетёра» для магистров в девятом семестре. По этой специальности рассматриваются такие темы: Нормализация операторов, представимых в виде произведения нетерова и неограниченно обратимого операторов; Примеры нормализации операторов Теплица, операторов типа свертки и сингулярных интегральных операторов. На изучение дается 2 лекции (4 часа).

Дыбин В.Б. разработал рабочую программу «Сингулярные интегральные уравнения» для магистров, очного обучения. Изучение дисциплины составляет 72 часа. Из них 32 часов лекций и 40 часов самостоятельной работы. Встречаются разделы по дисциплине «Уравнения типа свертки»: Изометрия континуального оператора типа свертки на прямой и сингулярного интегрального оператора на прямой; Изометрия дискретного оператора типа свертки и сингулярного оператора на окружности; Редукция к дискретным уравнения типа свертки; Редукция к континуальным уравнениям типа свертки.

Учебно-методический комплекс «Дискретные свертки» в Южном федеральном университете был разработан Дыбиным В. Б. Предложена программа спецкурса и система индивидуальных заданий.

Следующая рабочая программа по дисциплине «Теория Нетера» изучается в Кубанском государственном университете. Барсукова В. Ю. разработала программу для магистров и изучение курса составляет 72 академических часа. Из них предусмотрены 16 часов практических занятий, а также 56 часов самостоятельной работы. Проходят такие темы: Основные определения оператора Нетера; Регуляризация операторов; Свойства операторов Нетера.

Рабочая учебная программа по дисциплине «Преобразование Фурье и уравнения типа свертки» конкретно изучает данную тему уравнений свертки. Данная дисциплина, написанная Барсуковой В. Ю. [6], читается на 6 курсе, 9 семестр. Встречаются темы: Интегральный оператор типа свертки; Линейные интегральные уравнения типа свертки на оси; Уравнение типа свертки с экспоненциально-степенным ядром. Время на изучение 36 часов.

Программа дисциплины «Обобщенные краевые задачи» составили Киясов С. Н. и Обносов Ю. В. для бакалавров 4 курса Казанского федерального университета. Общая трудоемкость дисциплины составляет 216 часов, 8 разделов. Похожие темы встречаются как, Операторы сингулярного интегрирования; Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши; Сингулярное интегральное уравнение со сдвигом Карлемана; Характеристические уравнения типа свертки; Полные уравнения типа свертки и т. д. Применены вопросы к зачету и экзамену.

Аблаева С.Г. является автором программы дисциплины «Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения» в Казанском федеральном университете. Читается спецкурс на 3 курсе, 5 семестр. Время на изучение 252 часов (21 раздел). Одни из тем являются: Сингулярные интегральные уравнения, содержащие комплексно сопряженные неизвестные; Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта; Сингулярные интегральные уравнения в случае кусочно-гладкой линии интегрирования. Предоставлены примерные вопросы к зачету и экзамену и учебно-методические обеспечение самостоятельной работы студентов.

Рабочая учебная программа «Уравнения типа свертки» составлена В. А. Лукьяненко для Таврического национального университета. Данная дисциплина читается для студентов 4 курса и выделяет всего 72 часа. Темы разделов: Преобразования Фурье и краевая задача Римана; ИУТС; ИУТС в классах функций показательного роста; Приближенное решение уравнений типа свертки; Приложения к задачам математического физики. Предоставлены индивидуальные работы для студентов и контрольные вопросы.

1.2 Классификация интегральных уравнений типа свертки В учебно-методическом пособии разбираются интегральные уравнения типа свертки для классических случаев класса, класса функций показательного роста и обобщенных функций.

В монографии Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского рассматривается интегральные уравнения типа свертки с одним и двумя ядрами, парные уравнения, одностороннее уравнения, сингулярные интегральные уравнения, которые принадлежат классу .

Уравнение с одним ядром имеет такой вид:

Приводится уравнение с двумя ядрами, принадлежащий классу :

Парное интегральное уравнение рассмотрено в учебном пособии

и одностороннее уравнение определено на положительной полуоси

.

Все уравнения вида рассмотрены и приведены для самостоятельного решения в учебно-методическом комплексе.

Определение 1.1. Классом называется искомая функция одновременно, удовлетворяющая условию Гельдера и принадлежит пространству. Чтобы решить интегральные уравнения типа свертки в классах функций показательного роста, нужно ссылаться на методичку, в которой даны основные определения.

Определение 1.2. Говорят, что функция принадлежит классу, если .

Определение 1.3. Говорят, что функция принадлежит классу, если .

из соотношений следует, что если, то также для любого, и если, то для .

Из «Обобщенных функций» Александрова В. А. наводятся следующие определения, доказательства и примеры, относящиеся к свертке обобщенных функций.

1.3 Методы решения интегральных уравнений типа свертки В учебно-методическом пособии предложены методы решения уравнений Винера-Хопфа, парных уравнений, уравнений с двумя ядрами, уравнений с одним ядром, уравнений плавного перехода и сингулярных интегральных уравнений на вещественной оси.

Методикой исследования является метод Винера-Хопфа, метод функционального анализа, численные методы, преобразование Фурье, преобразование Лапласа и другие.

Научной новизной в дипломной работе является приведенные обобщенные примеры во втором разделе: Краевые задачи Карлемана для полосы; Задача Карлемана с дробно-рациональным коэффициентом, с интегральным условием; Интегральные уравнения типа плавного перехода для двух функций.

1.4 Цели и задачи дисциплины Целями освоения дисциплины «Уравнения типа свертки» являются:

· Получить знания в области краевых задач, приводящихся к ним интегральных уравнений типа свертки;

· Развить способность применения общих методов анализа, теорий функций и теории операторов к конкретным прикладным задачам;

· Обладать теоретическими знаниями и иметь четкое представлениях о методах исследования и решения краевых задач со сдвигом и интегральных уравнений типа свертки;

· Научиться применять полученные знания к решению конкретных задач.

В результате освоения дисциплины формируется следующие компетенции:

В результате освоения дисциплины студент:

1. Должен знать: знать основные понятия теории краевые задачи, сингулярные интегральные уравнения со сдвигом и уравнения типа свертки, определения и свойства, формулировки утверждений, методы их доказательства, их приложений.

2. Должен уметь: уметь решать краевые задачи, сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки.

3. Должен владеть: владеть математическим аппаратом, методами решения задач и доказательства.

2. Обобщенные задачи

2.1 Краевые задачи типа Карлемана для полосы

Во втором пункте разобраны обобщенные примеры, которые не вошли в учебно-методический комплекс и являются новыми результатами.

Дана краевая задача типа Карлемана.

Задача по скачку. Требуется найти две функции

— аналитичную в полосе ,

— аналитичную в полосе

по краевому условию:

(2.1)

Применим к условиям (2.1) обратное преобразование Фурье

Получим

(2.2)

Определитель системы (2.2)

равен нулю только при

(2.3)

Используя формулы для преобразования Фурье-функции (в классе обобщенных функций)

получим интегральное представление для искомых функций (аналог формул Сохоцкого).

(2.4)

Задача Карлемана для двух функций :

(2.5)

Предполагая, что коэффициенты не равны нулю, положим

(2.6)

Задача факторизации коэффициентов краевой задачи (2.6)

(2.7)

Подставляя (2.7) в (6.6), получим

(2.8)

Обозначая

(2.9)

приходим к задаче

(2.10)

где

Из (2.10) получаем

(2.11)

Откуда

(2.12)

где функции, находятся в результате решения задачи факторизации (2.7):

При выводе (2.12) использованы следующие формулы

(2.13)

Решение задачи факторизации (2.7) в предположениях

сводится к задаче

или обозначая

приходим к задаче по скачку (2.1), а из (2.4) получаем

(2.14)

2.2. Задача Карлемана с дробно рациональным коэффициентом

Рассмотрим задачу

(2.15)

Обратное преобразование Фурье приводит к уравнению

(2.16)

Решение однородного уравнения (2.16)

(2.17)

Частное решение неоднородного

(2.18)

Рассмотрим поведение решения (2.17)-(2.18) в зависимости от индекса коэффициента задачи Карлемана (2.15)

Решение однородного уравнения (2.17):

Записать формулы для решения и с использованием функций

для

Факторизовать коэффициент задачи Карлемана

Для

.

2.3 Задача Карлемана с интегральным условием

Рассмотрим уравнение такого вида

(2.19)

.

Введем обозначения

(2.20)

Получаем задачу Карлемана

. (2.21)

Решая задачу Карлемана находим, т. е. и

а из (2.19) находим

. (2.22)

2.4 Интегральное уравнение типа плавного перехода для двух функций

Рассмотрим интегральные уравнения типа свертки

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Для уравнения (2.25)

Или

Где

Полученное уравнение является уравнением типа плавного перехода.

3. Сингулярные интегральные уравнения

Приведенные методы решения краевой задачи Римана оказываются полезными при исследовании сингулярных интегральных уравнений (с.и.у.) на замкнутом контуре

(3.1)

При исследовании с.и.у. вида (3.1), как правило, выделяют характеристический оператор и вполне непрерывный оператор Вначале исследуем разрешимость характеристического уравнения

(3.2)

Одним из методов решения характеристических уравнений является его сведение к краевой задаче Римана.

Введем кусочно-аналитическую функцию, заданную интегралом типа Коши, плотностью которого служит искомое решение характеристического уравнения Используя формулы Сохоцкого? Премеля, имеем:

(3.3)

Подставляя в уравнение (3.2) вместо и их значения по формуле (3.3), приходим к краевой задаче:

(3.4)

Где Так как решение уравнения (3.2) ищем в виде интеграла типа Коши, который на бесконечности равен нулю, то решение краевой задачи (3.4) ищем при дополнительном условии

(3.5)

Индекс коэффициента краевой задачи Римана (3.4) называется индексом сингулярного интегрального уравнения (3.2).

Нормальным случаем уравнения (3.2) называется случай, когда коэффициент соответствующей краевой задачи Римана не общается на контуре в нуль или бесконечность. Исключительным случаем сингулярного интегрального уравнения называется случай, когда соответствующий коэффициент обращается в нуль или бесконечность на контуре. Нетрудно видеть, что в нормальном случае на .

Теорема 3.1. Если, то однородное уравнение имеет линейно независимых решений. Если, то однородное уравнение имеет только тривиальное (нулевое) решение. Если, то неоднородное уравнение разрешимо при любой правой части и его общее решение зависит от произвольных постоянных. Если, то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условия Где Рассмотрим теперь общее с.и.у.

(3.6)

В настоящее время неизвестны методы решения полных сингулярных интегральных уравнений вида (3.6) в замкнутой форме. Результатом этого исследования являются теоремы Нетера.

Теорема I. Число решений сингулярного интегрального уравнения (3.6) конечно.

Теорема II. Необходимым и достаточным условием разрешимости с.и.у. (3.6) является выполнение равенства

где, ? полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения, где Теорема III. Разность числа линейно независимых решений особого уравнения и числа линейно независимых решений союзного уравнения зависит лишь от характеристической части оператора и равна ее индексу, т. е. .

3.1 Обзор приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений

Первой работой по приближенным методам решения с.и.у. была статья М. А. Лаврентьева, в которой были исследованы два приближенных метода решения с.и.у. первого рода

(3.7)

Уравнениями вида (3.7) описывается обтекание крыла конечного размаха воздушным потоком.

В работах Н. Винера и Е. Хопфа был предложен принципиально новый метод решения некоторых классов уравнений в свертках.

Выделенный ими класс уравнений в свертках называется сейчас уравнениями Винера-Хопфа.

Вслед за уравнением (3.7) были исследованы приближенные методы решения уравнений видов

(3.8)

(3.9)

Здесь единичная окружность с центром в начале координат, а коэффициенты и правые части уравнений принадлежит классу функций Гельдера.

В цикле работ И. В. Бойкова были исследованы приближенные методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, систем сингулярных интегральных уравнений и систем с.и.-д.у. Были рассмотрены с.и.-д.у.

(3.10)

При граничных условиях

(3.11)

и при данных Коши.

3.2 Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

Пример 3.1. Нелинейные уравнения с ядром Гильберта:

(3.12)

(3.13)

Имеют единственное решение в гильбертовом пространстве .

В 1977 году Г. М. Магомедов рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида

(3.14)

В пространствах Лебега .

В 1979 году вышла работа А. И. Гусейнова и Х. Ш. Мухтарова, в которой было доказано, что уравнение вида

(3.15)

Имеет решение в пространстве Лебега со степенным весом

В 1980 году, приводится в монографии лишь один результат, касающийся уравнения (3.13), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана для сведения уравнения вида (3.12) к уравнению вида (3.13) не привела к желаемым результатам.

В 1979;1981 годах были опубликованы статьи автора, в которых рассмотрены уравнения более общего вида (3.16), (3.18) и (3.20):

(3.16)

в пространстве, с тем же весом, где

и (3.17)

(3.18)

в пространстве с тем же весом, но при условии, что

и при и при; (3.19)

(3.20)

в пространстве, при условии (3.17).

Из результатов автора как прямое следствие вытекает, что можно брать и отрицательные и. Более того можно брать и условие коэрцитивности на нелинейность при этом является излишним.

Рассмотрены нелинейные сингулярные интегральные уравнения на действительной оси в комплексных пространствах с общим весом, т. е. есть любая неотрицательная почти всюду отличная от нуля на измеримая функция. В случае оси возникают дополнительные трудности связанные, по сути дела, с тем, что пространства не являются вложенными друг в друга. В связи с этим представляют интерес следующие две леммы.

Лемма 3.1. Пусть и. Тогда сингулярный оператор действует из в, непрерывен и положителен, причем

.

Лемма 3.2. Пусть, вес, и функция Тогда сингулярный оператор Действует из в, ограничен и положителен, причем:

Обозначим через множество всех комплексных числе. Введем в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции, порожденный комплекснозначной функцией, удовлетворяющей условиям Каратеодори:

1) существуют такие, что для почти всех и любого

2) для почти всех и всех выполняется неравенство: ;

3) существуют и такие, что для почти всех и любого ;

4) существуют и такие, что для почти всех и любого

5) для почти всех и всех выполняется неравенство:

6) существуют такие что для почти всех и всех

Следующие теоремы относятся к различным классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений исследование каждого из которых требует своего особого подхода.

Теорема 3.2. Пусть почти всюду отличная от нуля на функция. Если, а удовлетворяет условиям 1−3, то уравнение Имеет решение при любых таких, что кроме того, если в условии 3, то. Решение единственно, если выполнено условие 5 или .

Теорема 3.3. Пусть Если удовлетворяет условиям 1,3 и 5, то уравнение Имеет единственное решение. Если в условиях 1 и 3, то .

Теорема 3.4. Пусть Если удовлетворяет условиям 4−6, то уравнение Имеет единственное решение при любом. Кроме того, если, то

Заключение

В результате выполнения дипломной работы выполнены поставленные цели:

· Разработан учебно-методический комплекс дисциплины «Уравнений типа свертки» для студентов 4 курса;

· Получены углубленные знания в области краевых задач и приводящихся к ним интегральным уравнениям типа свертки;

· Исследованы методы решения различных классов уравнений свертки и применены полученные результаты к решению задач;

· Проведены сравнения между ВУЗами по дисциплинам «Уравнения типа свертки» .

В дипломной работе изложена методика решения уравнений типа свертки. Полученные результаты исследования интегральных уравнений типа свертки приводится с помощью сведения к краевым задачам теории аналитических функций, задаче Римана и Карлемана. Приведены теоремы Нетера.

Предложены методы решения уравнений Винера-Хопфа, парных уравнений, уравнений с одним и двумя ядрами, уравнений плавного перехода и сингулярных уравнений на вещественной оси.

Список использованных источников

1. Аблаева С. Г. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения типа свертки / С. Г. Аблаева — Казань, 2014. — 15 с. — (рабочая учебная программа).

2. Александров В. А. Обобщенные функции / В. А. Александров? Новосибирск, 2005.? 46 с.? (учебное пособие).

3. Аксентьева Е. П. Эффективное решение задачи Карлемана для некоторых групп расходящегося типа / Е. П. Аксентьева, Ф. Н. Гарифьянов? Казань, 2003.? 10 с.? Сибирский математический журнал? Том 46, № 4.

4. Арабаджян Л. Г. О разрешимости одного класса интегральных уравнений ассоциируемых с уравнением Винера — Хопфа / Л. Г. Арабаджян, С. А. Хачатрян? Армения: С. 23?26.

5. Асхабов С. Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью: дис. доктора физ.-мат. наук: 01.01.02 / Асхабов Султан Нажмудинович? Белгород, 2010.? 31 с.

6. Барсукова В. Ю. Преобразование Фурье и уравнения типа свертки / В. Ю. Барсукова? Краснодар, 2011.? 7 с.? (рабочая учебная программа). [Электронный ресурс]:

http://db.edu.kubannet.ru/infoneeds/file_export.do?fid=216 418

7. Барсукова В. Ю. Теория Нетера / В. Ю. Барсукова? Краснодар, 2011.? 7 с. — (рабочая учебная программа).

8. Батырев А. А. Методы сингулярных интегральных уравнений в математических моделях линейных систем: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук: спец. 01.05.02 «Математическое моделирование и вычислительные методы» / Батырев Алексей Аристидович.? Харьков, 2010. ?19 с.

9. Безродных С. И. Сингулярная задача Римана? Гильберта и ее приложение: автореф. дис. на соискание учеб. степени канд. физ.-мат. наук: спец. 01.01.03 «Математическая физика» / Безродных Сергей Игоревич.? Москва, 2006. ?22 с.

10. Белоцерковский С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов? М.: Наука, 1985.? 256 с.

11. Бойков И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков? Пенза, 2004.? 297 с.

12. Варданян Р. С. О решении одного класса интегральных уравнений типа свертки / Р. С. Варданян, Н. Б. Енгибарян? Ереван: журнал, 1989.? С. 1291? 1300.

13. Вахрамеева А. В. Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом: автореф. дис. на соискание учебной степени канд. ф.-м. н.: спец. 01.01.01 «Математический анализ» / Вахрамеева Анна Владимировна? Уфа, 2007.? 20 с.

14. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения. Методы. Алгоритмы. Программы. / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков — Киев: справочное пособие, 1986. — 544 с.

15. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов? М.: Наука, 1977.? 640 с.

16. Гахов Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский? М.: Наука, 1978.? 298 с.

17. Гохберг И. Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн — М.: Наука, 1967. — 508 с.

18. Гохберг И. Ц. Сингулярные интегральные операторы с кусочно-непрерывными коэффициентами и их символами / И. Ц. Гохберг, Н. Я. Крупник? К.: Кишиневский гос. университет, 1970.? С. 940? 964.

19. Гохберг И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман? М.: Наука, 1971. ?353 с.

20. Диткин В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников? М.: гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. — 524 с.

21. Дубровина О. В. Интегральные операторы по конечному промежутку, вейвлет-преобразования и их приложения: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук: спец. 01.01.01 «Математический анализ» / Дубровина Ольга Викторовна.? Гродно, 2007.? 20 с.

22. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики / Р. В. Дудучава? Тбилиси: Мецниереба, 1979.? 135 с.? (Труды Тбилисского математического института).

23. Дыбин В. Б. Дискретные свертки / В. Б. Дыбин? Ростов-на-Дону, 2012.? 7 с. (учебно-методический комплекс). [Электронный ресурс]: http://sfedu.ru/www/umr.umr_download?p_umr_id=90 932

24. Дыбин В. Б. Сингулярные интегральные уравнения / В. Б. Дыбин? Ростов-на-Дону, 2011.? 5 с. (рабочая программа). [Электронный ресурс]: http://sfedu.ru/www/umr.umr_download?p_umr_id=94 692

25. Дыбин В. Б. Теория операторов Нетера / В. Б. Дыбин? Ростов-на-Дону, 2011.? 5 с. (рабочая программа). [Электронный ресурс]:

http://sfedu.ru/www/umr.umr_download?p_umr_id=94 691

26. Захарова Ю. Ф. Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интервалов и решения сингулярных интегральных уравнений: спец. 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» / Захарова Юлия Фридриховна, 2004.? 34 с. [Электронный ресурс]: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. ф.-м.н.? http://www.dslib.net/mat-modelirovanie/optimalnye-metody-vychislenija-mnogomernyh-singuljarnyh-integralov-i-reshenija.html.

27. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитической функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях / Э. И. Зверович? М.: Успехи мат. наук, 1971.? вып. № 1? С. 114?179.

28. Зверович Э. И. Краевые задачи типа задачи Карлемана для многосвязной области / Э. И. Зверович? Растов-на-Дону: матем. сборник, 1964.? № 4 — С. 618?627.

29. Киясов С. Н. Обобщенные краевые задачи / С. Н. Киясов, Обносов Ю. В.? 2013.? 14 с. (рабочая программа) [Электронный ресурс]:

http://kpfu.ru/pdf/portal/oop/29 101.pdf

30. Климентов С. Б. Краевая задача Римана? Гильберта в классе ВМО для обобщенных аналитических функций / С. Б. Климентов? Ростов-на-Дону, Владикавказский математический журнал, Том 13, выпуск 1? 2009.? С. 13?20.

31. Ковалева Г. В. Теория разрешимости и приближенное решение сингулярных интегральных уравнений и их систем в исключительном случае: дис. кандидат физ.-мат. наук: 01.01.02 / Ковалева Галина Владимировна.? Одесса, 2003.? 16с.

32. Комарницкий А. Л. Решение интегральных уравнений типа свертки в некоторых пространствах функций / А. Л. Комарницкий // Изв. Вузов. Математика. 1997. ?№ 9.? С. 83?85.

33. Князев П. Н. Интегральные преобразования / П. Н. Князев? Минск: Вышэйшая школа, 1969.? 200 с.

34. Кулиев В. Д. Сингулярные краевые задачи / В. Д. Кулиев? М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.? 720 с.

35. Кучумов Е. В. Численное моделирование задач гравиразведки, представимых интегральными уравнениями в свертках, на искусственных нейронных сетях: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. ф.-м.н.: спец. 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» / Кучумов Евгений Владимирович, 2011.? 22 с.

36. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г. С. Литвинчук? М.: Наука, 1977.? 448 с.

37. Лифанов И. К. Особые интегральные уравнения и методы их численного решения / И. К. Лифанов? Москва, 2006.? 68 с.? (учебное пособие).

38. Лукьяненко В. А. Уравнение плавного перехода в семействе пространств обобщенных функций / Лукьяненко Владимир Андреевич // Динамические системы, № 2, 2005.? С. 110?125.

39. Манжиров А. В. Методы решения интегральных уравнений / А. В. Манжиров, А. Д. Полянин? М.: Факториал, 1999.? 272 с.

40. Миненкова А. Н. О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки / А. Н. Миненкова? Донецк: Ин-т прикл. математики и механики, 2008.? С. 152?155.? (Труды / Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины).

41. Мойко Н. В. Применение уравнений в свертках к решению обработанных задач гравиметрии и идентификации динамических систем: 05.13.18 / Мойко Наталья Валентиновна? Пенза, 2006.? 212 с. [Электронный ресурс]: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. ф.-м. н.? http://www.dslib.net/mat-modelirovanie/primenenie-uravnenij-v-svertkah-k-resheniju-obratnyh-zadach-gravimetrii-i.html.

42. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили? М.: Гос. изд-во ф.-м. лит-ры, 1962? 600 с.

43. Полищук Е. Б. Сингулярные интегральные уравнения с дополнительными условиями и методы их решения: дис. кандидат физ.- мат. наук: 01.01.02 / Полищук Елена Борисовна.? Киев, 1999.? 18 с.

44. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин? 2-е изд.? М.: Наука, 1979.? 284 с.

45. Урбанович Т. М. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши в исключительных случаях: 01.01.02 / Урбанович Татьяна Михайловна? Белгород, 2013.? 82 с. [Электронный ресурс]: дис. на соискание ученой степени канд. ф.-м.н.? http://www.dissercat.com/content/singulyarnye-integralnye-uravneniya-s-yadrom-koshi-v-isklyuchitelnykh-sluchayakh.

46. Фан Танг Да. Об одной задаче Газемана для полуплоскости и интегральных уравнениях типа свертки с аналитическими ядрами / Фан Танг Да? Одесса: 1973.? С. 73?82.? (Математика. Известия высших учебных заведений).

47. Хачатуров С. Ю. Многоэлементная задача Карлемана и ее применение к дифференциальным уравнениям: дис. кондидата физ.- мат. наук: 01.01.02 / Хачатуров Сергей Юрьевич? Одесса, 2001.? 19 с.

48. Хачатрян Х. А. К вопросу о разрешимости одного класса интегродифференциальных уравнений типа свертки на всей прямой / Х. А. Хачатрян, Э. А. Хачатрян? Армения, 2007.? С. 55? 72? Том 42, № 3.

49. Хрисанфов В. И. Краевые задачи типа гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в круге: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. ф.-м.н.: спец. 01.01.01 «Вещественный, комплексный и функциональный анализ» / Хрисанфов Василий Игоревич? Екатеринбург, 2012.? 21 с.

50. Яковлева О. Н. Сингулярные интегральные уравнения и новые классы дискретных систем типа Винера-Хопфа: дис. кандидат физ.-мат.наук: 01.01.02 / Яковлева Ольга Николаева.? Одесса, 2007.? 19 с.

51. Duduchava R, Singular integral equations in special weighted spaces / R. Duduchava, F.-O. Speck // Georgian Math. J.-V. 7, No.4? 2000.? P.633−642.

52. Duduchava R, Mellin convolution operators in Bessel potential spaces with admissible meromorphic kernels / Ronald Duduchava // Memoirs on Differential Eguations and Mathematical Physics, 2013.? P. 135?177.

53. Kokilashvili V., A survey of recent of Georgian mathematicians on boundary value problems for holomorphic functions. / Vakhtang Kokilashvili // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, 2001.? P. 85?138.

54. Kokilashvili V., The Riemann Boundary Value Problem for analytic functions in the frame of grand spaces. / Vakhtang Kokilashvili // Bulletin of the Georgian national academy of sciences, vol 4, no 1, 2010.? P. 5−7.

55. Karapetiants N.K., Singular integral equations on the real line with homogeneous kernels and the inversion shift / N.K. Karapetiants, S.G. Samko // Journal of national geometry, 2001. 17 p.

56. Karapetiants N.K., On multi-dimensional integral equations of convolution type with shift / N.K. Karapetiants, S.G. Samko // Integr. Eguat. Oper. Theory, 2001,? P. 305?328.

57. Gomaa El-Sayed, Nonlinear functional integral equations of convolution type / W. Gomaa El-Sayed // Portugaliae Mathematica, 1997.? P. 450?456.

Приложение 1

Экранные формы интернет-ресурса УМКД

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Диссертация Мойко Н.В.

Приложение 5

Рабочая программа разработана в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 10 100.68 Математика, утвержденным приказом Минобрнауки России от 14.01.2010 № 40, и примерной ООП.

Рецензент (-ы): К. А. Кирий, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики КубГТУ.

Составитель (-ли): канд. физ.-мат. наук, доцент В. Ю. Барсукова.

Рабочая программа рассмотрена и утверждена на заседании кафедры дифференциальных и интегральных уравнений «20» сентября 2011 г. протокол № 2

Заведующий кафедрой Цалюк З. Б., доктор физ.-мат.наук, профессор

Рабочая программа одобрена на заседании учебно-методической комиссии факультета математики и компьютерных наук «06» декабря 2011 г. протокол № 3.

Председатель УМК ФМ и КН канд.физ.-мат.н., доцент Титов Г. Н.