Начально — краевые задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси

В последнее время все больше внимания уделяется моделям, учитывающим эффекты неоднофазности (газированная нефть, насыщенный парами воздух и т. д.)([1]-[4]). Имеется очень много различных моделей для описания многокомпонентных и многофазных смесей. Все они являются весьма сложными как с теоретичекой точки зрения, так и в отношении использования для решения конкретных задач. При построении замкнутой системы уравнений, описывающих движение многокомпонентной смеси, занимающей объем 17 С Rn (ограниченный или неограниченный), используются (см. [1], [5], [6], [7]) уравнения неразрывности (баланса массы) д N VM — eilx [°'ГЬ * = з=i уравнения сохранения импульса В «N = v4fe + pS + P’ii> eOx [0,T], i = 1,., iV,.

3=1 уравнения сохранения энергии д E N з=i для составляющих смеси. Здесь = х = (жь^г^з) ~ декартова система координат в R3, V = щ) — оператор градиента, щ • V = vkVk = Y? k=ivi~&-ki v • г/i = Yfk=i ък и по повторяющемуся индексу используется «немое» суммирование- [О, Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, Pi (x, t) — приведенная плотность, Vi (x, t) -вектор скорости, Jji характеризует интенсивность перехода массы из j-й в г-ю составляющую (или наоборот, из г-й в ¿—ю, тогда 3^ < 0) в единице объема смеси и в единицу времени. Из закона сохранения массы при различных физико-химических превращений (формально полагая Зц = 0) имеем Зуъ — —ЗцАналогично, Р^ и — соответственно интенсивность обмена импульса и энергией между ^'-й и г-й составляющими. Из закона сохранения импульса и энергии следует Р^ = —Рц, Е^ = —Е^ (Рц = 0, и Ец = 0).

В уравнениях импульса сг (- тензор поверхностных сил, д — вектор внешних сил. В уравнениях для полной энергии Е{ = щ + ½| щ | введены обозначения: щ — удельные внутренние энергии составляющих смеси, сг — характеризует работу внешних поверхностных сил (в частном случае = сг^), ^ - приток тепла.

В гетерогенной смеси каждая компонента (в дальнейшем фаза) занимает лишь часть объема смеси {У + У^ +. + Уы = У). В связи с этим возникает необходимость введения величин а,.ам, характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой фазой сх сх2 +. + сх-ы = 1) 0, и, таким образом, помимо приведенных плотностей рг, определяются истинные плотности веществ фаз (масса г-й фазы в единице объема г-й фазы) Р°г =.

Кроме того, требуют конкретизации величины, описывающие внутрифазные (силовое <тг, энергетическое сг и и межфазные (массовое 3^, силовое —*.

Рэнергетическое Е^) взаимодействия.

Из формальных балансовых соотношений [1] интенсивность обмена импульсом представляется в виде Р^ = —Рц = Я^ + З^у^, (г, ^ = 1,., ./Vг ф ]). Здесь Й^ - межфазная сила (отнесенная к единице объема смеси) из-за сил трения, давления, сцепления между фазами и т. д. Обмен импульсом происходит и за счет фазовых превращений. Например, переход ] —> г приводит к тому, что из фазы в г-ю уходит импульс Зу,^^, где Ур характеризует скорость или импульс массы, претерпевающий превращение ] —>• г и находящейся в г-й фазе. Поскольку фазовые превращения происходят на межфазновой границе, то v3l можно рассматривать как скорость всщсства г-й фазы на границе с j-й фазой Учитывая, что для гетерогенных смесей с вязкими жидкостями характерно отсутствие заметных скачков скорости на межфазных границах, предполагается, что v3l = v%3.

Интенсивность обмена энергий между j-й и г-й фазами может быть представлена в виде.

Езг = -EtJ = W3i + Q3% + Jji (uzj + ½? vt3 |).

Здесь первые два слагаемых представляют приток энергии в г-ю фазу за счет работы Wjt межфазных сил (трения, давления, сцепления и т. п) и теплопередачи Q3l на границе между j-й и г-й фазами Третье слагаемое представляет перенос внутренней и кинетической энергии вместе с переносом массы из j-ft в г-ю фазу, где и3% - удельная внутренняя энергия массы, претерпевающая переход j —> i и находящейся в г-й фазе. Аналогично скорости v3l величина изг может рассматриваться как удельная внутренняя энергия г-й фазы на границе с j-й фазой. Но в отличие от скоростей v3l внутренняя энергия фаз на межфазной границе терпит разрыв, т. е. и3% ф игз.

При рассмотрении термодинамических уравнений фаз принимается гипотеза о локальном равновесии в пределах фазы. Кроме того, принимается гипотеза о том, что фазы представляют собой двухпараметрические среды, т. е. термодинамические функции каждой среды зависят только от двух термодинамических параметров состояния (например, от истинной плотности Рг и температуры Тг или давления рг и температуры Тг). Таким образом, иг = Тг), рг = рг (рЧ, Тг), Sz = Sl{p°t, Тг), (Д =? + Уг ' V) И ДЛЯ КЭЖДОЙ фазы справедливо соотношение Гиббса [1].

Тг Dtst = DtUi+ptDt (l/p4).

Одним из вариантов реологических соотношений в многоскоростной модели является следующая схема силового взаимодействия и совместного деф-формирования фаз [8].

T? = -atpt6kl + TF,(l/3oIk = -a.

7=1 .7=1.

Здесь а^Рг — шаровые составляющие в тензорах напряжений фаз- §-к1 — символ Кронекерар а^ - сила, возникающая из-за расширения трубки тока [8]- характеризует скоростную неравновестность между ^'-й и г-й фазами (^г увеличивается С увеличением У] — щ).

Данная работа посвящена разрешимости некоторых начально-краевых задач для уравнений одномерного движения двухфазной смеси.

Одна из первых моделей двухфазных смесей возникла в задачах вытеснения нефти из пласта с помощью закачивания воды или специальных растворов. Вопросам корректности таких моделей посвящены работы ([9] - [11] и многие другие).

После работы Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица по гидродинамике жидкого гелия активизировались работы по созданию моделей, точнее учитывающих неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов (в том числемоделей фильтрации, не использующих эмпирический закон Дарси).

В диссертации рассматривается модель неизотермического движения двухфазной смеси в отсутствие фазовых переходов и с учетом скачка давлений (Х.А. Рахматулин, Р. И. Нигматулин, В. Н. Николаевский [1], [2], [8], [12]), являющаяся обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей. Вопрос о корректности начально-краевых задач о движении для таких моделей двухфазных смесей жидкостей (газов) исследован в значительно меньшей степени по сравнению с моделью Маскета-Леверетта или моделью вязкого газа. Это связано с существенным усложнением объекта исследования (модель усложняется, в частности, введением концентрации фазы, связывающей истинную и приведенную плотности). Однако имеется ряд моделей многофазных сред, для которых установлены результаты о разрешимости. Это модели многокомпонентной баротропной смеси (аналог многокомпонентного вязкого газа, понятие концентрации фазы не используется). В работах A.B. Кажихова, А. Н. Петрова, Г. Г. Доронина, H.A. Ларькина, А. Н. Крайко для этой модели исследована разрешимость начально-краевых задач и задачи Коши. В работах О. В. Воинова В.В. Пухначева и А. Г. Петровой получены результаты о локальной разрешимости для уравнений движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 58 наименований. Нумерация формул, определений, лемм, теорем и констант обособленна внутри каждой из глав. Номер формул, определений, лемм, теорем и т. д. состоит из двух чисел: первое — номер главы, второе — порядковый номер внутри главы.

Введение

также содержит в себе список основных обозначений, используемых в работе.

Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Доказана локальная по времени разрешимость в пространствах С. Л. Соболева и Гельдера начально-краевой задачи для одномерных уравнений неизотермического движения двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей с неоднородными граничными условиями.

2. Установлена разрешимость «в целом» по времени для фильтрационного приближения (ускорение и коэффициент вязкости второй фазы пренебрежимо малы) и установлен факт стабилизации решения нестационарной задачи к решению стационарной задачи.

3. Обосновано существование «в малом» по времени обобщенного решения нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и сжимаемого газа (истинная плотность второй фазыфункция температуры и давления) с непостоянной вязкостью фаз.

4. Установлена разрешимость «в целом» по времени в классе сильных решений нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и несжимаемого газа с непостоянной вязкостью фаз, а также установлена сходимость при неограниченном росте времени решения нестационарной задачи с постоянной вязкостью к решению стационарной задачи.

Всего в работе имеется 8 определений, 7 теоремы, 13 лемм и 2 замечания.

Заключение

.