Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1

В партии из 20 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности:

.

Где n — общее число исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию. n — число вариантов взять наугад 4 изделия из 20 определяется по формуле:

Два дефектных изделия можно выбрать.

способами. Два годных изделия можно выбрать.

способами. По правилу произведения.

m =.

Находим искомую вероятность:

p = = 0,217.

Ответ: искомая вероятность равна 0,217.

Задача 2

В магазине выставлены для продажи 18 изделий, среди которых 6 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 3 изделий будут некачественными?

Решение:

Посчитаем n — всевозможое число исходов — число способов выбрать 3 изделия из 18 имеющихся определяется по формуле:

Посчитаем m — число исходов, благоприятных событию — количество способов выбрать 3 некачественых изделия из 6 имеющихся:

По классическому определению вероятности.

= = 0,025.

Ответ: искомая вероятность равна 0,025.

Задача 3

На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 40 с первого завода, 35 со второго, 25 c третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,9 на втором 0,7, на третьем 0,9. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Решение:

Данная задача на применение формулы полной вероятности.

Пусть событие, А — взятое случайным образом изделие будет качественным.

Н1 — взятое случайным образом изделие изготовлено на 1-м заводе, Н2 — взятое случайным образом изделие изготовлено на 2-м заводе, Н3 — взятое случайным образом изделие изготовлено на 3-м заводе.

Н₁, Н₂ и Н₃ — гипотезы; образуют полную группу событий.

Рассчитаем вероятности гипотез:

P (H₁)= 40/(40+35+25) = 0,4.

P (H₂)= 35/(40+35+25) = 0,35.

P (H₃)= 25/(40+35+25) = 0,25.

По данным задачи условные вероятности равны:

P_H1(A) = 0,9, P_H2(A) = 0,7, P_H3(A) = 0,9.

Найдем вероятность события, А по формуле полной вероятности:

Р (А) =.

P (A) = P (H₁) · P_H1(A) + P (H₂) · P_H2(A) + P (H₃) · P_H3(A) = 0,4 · 0,9 + 0,35 · 0,7 + 0,25 · 0,9 = 0,36 + 0,245 + 0,225 = 0,83.

Ответ: 0,83

Задача 4

Дано распределение дискретной случайной величины X.

Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Xi.	— 6.	— 2.
Pi.	0,1.	0,3.	0,4.	0,2.

Решение:

Найдем М (Х) по формуле.

М (Х) =

Ско находим по формуле:

Найдем D (Х) по формуле.

D (Х) = M (X²) — [M (X)]²

M (X²) = 360,1 + 40,3 + 160,4 + 40,2 = 8,4.

D (Х) = M (X²) — [M (X)]² = 8,4 — 0² = 8,4.

= 2,898.

Ответ: М (Х) = 0; ско = 2,898.

Задача 5

В городе имеются 3 оптовых базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах, одинакова и равна 0,1. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

Решение:

Обозначим через случайную величину Х — число баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

Случайная величина Х может принимать след. значения: 0; 1; 2; 3.

Наличие товара на той или иной базе — независимы один от другого события, вероятности отсутствия товара на каждой базе равны между собой, поэтому применима формула Бернулли.

Поскольку вероятность того, что товар на базе отсутствует, равна p=0.1, то вероятность того, что товар на базе есть q=1−0.1=0.9.

Найдем соответствующие вероятности:

= 0,729.

= 0,243.

= 0,027.

= 0,001.

Тогда закон распределения случайной величины Х в виде ряда распределения имеет вид:

X.
Pi.	0,729.	0,243.	0,027.	0,001.

Ответ: закон распределения

Задача 6

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно М (х) = 14, среднее квадратичное отклонение (ско) равно ско = 3. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение в интервале (10, 15).

Решение:

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б, в), равна:

Р (б < X < в) = ,.

Где а — математическое ожидание, у — среднее квадратическое отклонение.

По условию задачи а = 14, у = 3, б = 10, в = 15. Следовательно, Р (10 < X < 15) = = =.

Находим значения по таблицам значений функции Лапласа.

Тогда.

Р (10 < X < 15) = = 0,1293 + 0,4082 = 0,5375.

Ответ: Р (10 < X < 15) = 0,5375.

Задача 7

Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, где m — частота попадания в промежуток (x_i, x_i-1).

i.	xi < X < xi-1	mi
	7−9.
	9−11.
	11−13.
	13−15.
	15−17.

Решение:

Рассчитаем относительные частоты, как отношение частоты интервала к общему количеству вариантов.

Результаты занесем в таблицу:

i.	xi < X < xi-1	mi	wi
	7−9.		5/40= 0,125.
	9−11.		4/40 = 0,1.
	11−13.		8/40 = 0,2.
	13−15.		12/40 = 0,3.
	15−17.		11/40 = 0,275.
Итого.

Строим гистограмму.

Откладываем на горизонтальной оси (оси X) полученные интервалы. На них, как на основаниях, строим прямоугольники, высоты которых равны соответствующим относительным частотам интервалов. Полученная ступенчатая фигура и является искомой гистограммой.

Задача 8

Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.

X.	0,2.	0,3.	0,5.	0,6.
ni.

Решение:

Несмещенную выборочную дисперсию находим по формуле:

.

Где — выборочная дисперсия.

Найдем выборочную дисперсию по формуле:

D (Х) = M (X²) — [M (X)]² ,.

М (Х) =

M (X²) = = 8,81 / 50 = 0,176.

Теперь можно найти выборочную дисперсию:

D (Х) = M (X²) — [M (X)]² = 0,176 — 0,386² = 0,027.

Находим несмещенную выборочную дисперсию:

= 0,028.

Ответ: 0,028.

Задача 9

Решить задачу о замене оборудования, используя метод статистической игры без проведения эксперимента по критерию Байеса.

Оборудование после k лет может оказаться в одном из трех состояний: Q1 — оборудование вполне работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонта; Q2 — требуется серьезный капитальный ремонт; Q3 — дальнейшая эксплуатация оборудования невозможна. Вероятности этих состояний 0,2; 0,6; 0,2.

Q1.	Q2.	Q3.
А1.
А2.
А3.

Для предприятия возможны три стратегии: A1 — остановить оборудование в работе еще на год, проводя незначительный ремонт; A2 — провести капитальный ремонт; A3 — заменить оборудование. Потери, которые несет предприятие при различных стратегиях, даны в таблице.

Решение:

По критерию Байеса, оптимальной будет та стратегия А_i при которой минимизируется величина среднего риска (средних потерь).

Рассчитаем средний риск для каждой стратегии:

• 1?0,2 + 5?0,6 + 7?0,2 = 0,2 + 3 + 1,4 = 4,6
• 3?0,2 + 2?0,6 + 6?0,2 = 0,6 + 1,2 + 1,2 = 3
• 5?0,2 + 4?0,6 + 3?0,2 = 1 + 2,4 + 0,6 = 4

Среди найденных значений выбираем минимальное 3.

Следовательно, выбираем вторую стратегию А2.

Ответ: выбираем вторую стратегию А2 — провести капитальный ремонт.

Задача 10

Решить задачу выбора оптимального режима работы технологической линии по критерию Байеса.

На технологическую линию может поступать сырье с малым (Q1) и с большим (Q2) количеством примесей.

Априорные вероятности состоящий природы равны q1 = 0,4; q2 = 0,6. Для случаев использования различных видов сырья предусмотрены три режима работы технологической линии: А1, А2, А3. Потери, отражающие качество выпускаемой продукции и расходы сырья в зависимости от качества сырья и режима работы линии, приведены в таблице:

Q1.	Q2.
А1.
А2.
А3.

вероятность математический квадратический выборка.

Решение:

По критерию Байеса, оптимальной будет та стратегия А_i при которой минимизируется величина среднего риска (средних потерь).

Рассчитаем средний риск для каждого режима технологической линии:

• 0?0,4 + 5?0,6 = 0 + 3 = 3
• 1?0,4 + 3?0,6 = 0,4 + 1,8 = 2,2

3?0,4 + 2?0,6 = 1,2 +1,2 = 2,4.

Среди найденных значений выбираем минимальное — 2,2.

Следовательно, выбираем второй режим работы технологической линии А2.

Ответ: выбираем второй режим работы технологической линии А2.

• 1. Баврин И. И. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2005.
• 2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 2004.
• 3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов.- М.: Высшая школа, 2009.
• 4. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов.— М.: ЮНИТИ, 2006.