Аналитичность голоморфной функции

Здесь мы покажем, как из интегральной формулы Коши получается представление голоморфных функций в виде степенных рядов.

Напомним некоторые известные из анализа понятия, связанные с рядами. Представление функций действительного переменного в виде степенных рядов систематически применяли Ныотон и Лейбниц (17 век). Позже аналогичные представления функций комплексного переменного широко использовал Эйлер. Общую теорию степенных рядов построил Абель^[1], доказав, в частности, что областью сходимости ряда является некоторый круг.

Понятия ряда из комплексных чисел, его сходимости, суммы, абсолютной сходимости дословно переносятся из действительного анализа. Функ;

оо циональный ряд ]T/"(z), где функции f_n(z) определены на некотором мно;

п=О жестве МсС, называется равномерно сходящимся на А/, если он сходится в каждой точке данного множества и для любого ?>0 найдется номер х.

N = N (e) такой, что для всех п> N остатки этого ряда — суммы ^/*(z) ;

А=л+1.

удовлетворяют условию.

X.

Если ряд ^f"(z) мажорируется на А/ сходящимся числовым рядом,.

п=О то он сходится равномерно и абсолютно на М (признак Вейерштрасса). Без всяких изменений переносятся и доказательства того, что сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных на М функций непрерывна на этом множестве и что равномерно сходящийся на спрямляемой кривой ряд из непрерывных функций можно почленно интегрировать по этой кривой.

Рассмотрим одну из основных теорем в ТФКП.

Теорема 10.1. Пусть функция f (z) голоморфна в области D и а — произвольная точка в ней. Тогда в любом круге U = {z:z-a< R} a D эту функцию можно представить в виде суммы сходящегося степенного ряда.

Доказательство. Пусть ze. II — произвольная точка. Выберем число г так, чтобы z-a и обозначим через у (г) окружность с центром а радиуса г. По интегральной формуле Коши получим.

Разложим «ядро» этой формулы (дробь под интегралом) в геометрический ряд 1 + q + q² +… = —(|<7|<1):

1 -ч

Затем умножим обе части на —/(0 и почленно проинтегрируем по.

2т

/(г). Так как для всех tey® имеем (рис. 16а)): величина </ = -—- по моду;

tа

лю меньше 1, поэтому ряд в (10.2) сходится равномерно по I на у{г).

Рис. 16.

Равномерность сходимости не нарушится при умножении на непрерывную на у (г)_у и, следовательно, ограниченную функцию —/(/). Поэто;

2т

му указанное выше почленное интегрирование законно, и, выполнив его, получим.

где коэффициенты.

нс зависят от радиуса г окружности у (г).

Теорема 10.1 доказана. Она утверждает, что голоморфная в области функция в окрестности каждой точки области разлагается в степенной ряд. Функция с таким свойством называется аналитической в области. Таким образом, голоморфность влечет аналитичность. Далее мы покажем, что обратное также верно. Но пока отметим некоторые следствия теоремы 10.1. Заметим прежде всего, что радиус сходимости ряда (10.1) — это расстояние от точки а до границы области; смотрите предлагаемый далее рис. 17 а).

Неравенства Коши. Пусть функция f (z) голоморфна в замкнутом круге U :z-a<�г и на окружности y® = dU се модуль не превосходит постоянной М. Тогда коэффициенты (10.3) удовлетворяют неравенствам.

Теорема Лиувилля. Если функция f (z) голоморфгга во всей плоскости С и ограничена, то она постоянна.

Доказательство этого интересного факта нельзя не привести. По теореме 10.1 в любом замкнутом круге U = {z:|z|</?},/?

коэффициенты которого не зависят от R. Так как функция ограничена в С (пусть | f (z)<�М), то согласно неравенствам (10.4) имеем.

Здесь R можно брать сколь угодно большим, поэтому при п = 1,2,… правая часть стремится к нулю при R—". Но левая часть не зависит от R, поэтому с" = 0 для и = 1,2,… и f{z) = с₀.

Таким образом, два свойства функции — быть голоморфной во всей плоскости и быть ограниченной — могут сосуществовать лишь на тривиальных функциях (константах). Отметим важность теоремы Лиувилля — из нее вытекает основная теорема алгебры многочленов: любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Отсюда выводится разложение многочлена на линейные множители, а из него — разложение рациональной функции на простейшие дроби. Смотрите об этом, например, работу [2], стр.124−125.

Теорема 10.1 утверждает, что любую голоморфную в указанном там круге функцию можно представить как сумму сходящегося степенного ряда. Оказывается, что верно и обратное, сумма любого сходящегося степенного ряда является голоморфной функцией. Для этого напомним некоторые свойства степенных рядов, известных из курса действительного анализа и переносимых в комплексную область. Это, прежде всего, теорема Абеля. Приведем се формулировку.

Теорема 10.2. Если степенной ряд.

сходится в некоторой точке z₀ * а, то этот ряд абсолютно сходится в круге.

и на каждом компактном^[2] подмножестве К он сходится равномерно, (рис. 166)).

Как и в действительном анализе, для каждого ряда (10.5) реализуется одна из трех возможностей: 1) ряд сходится только в точке z-a 2) ряд сходится в каждой точке плоскости; 3) ряд сходится более чем в одной точке, но не всюду. Эти случаи реализуются, как показывают при а= 0 примеры рядов соответственно

В случае 3), применяя теорему Абеля, можно доказать (по той же схеме, что и в действительном анализе), что существует число /?е (0,+ оо) со свойством: в круге U (a, R) с центром а радиуса R ряд сходится, а в его внешности CU (a, R) ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости, а указанный круг — кругом сходимости, аналогом интервала сходимости из действительного анализа. В целях большей общности степенным рядам, сходящимся только в одной точке, и рядам, сходящимся всюду, принято приписывать радиус сходимости соответственно R = 0, R = оо. В первом случае говорят, что круг сходимости пустой, во втором — что он является всей плоскостью. Таким образом, понятия радиуса и круга сходимости вводятся для любого степенного ряда.

Разыскание радиуса сходимости ряда (10.5) может быть проведено применением к нему того или иного признака абсолютной сходимости, например, признака Даламбера. Но чаще всего применяют следующую теорему Коши-Адамара^[3].

Теорема 10.3. Пусть дан ряд (10.5) и.

где 0 < R < -ко (считается, что — = оо, — = 0). Тогда в любой точке z, в кото;

0 оо рой z-a ряд (10.5) сходится, а в любой точке z, в которой z-a > R, ряд расходится.

Здесь черта над знаком предела означает, что речь идет о верхнем пределе последовательности — наибольшем из всех се частичных пределов. Например, последовательность с общим членом х_п = 3 • (1 —) + 2 • (-1)" имеет.

п

два частичных предела, или две предельные точки: 1 (п = 2к-) и 5 (п = 2к (к € N)). Ясно, что верхний предел равен 5.

В действительном анализе доказательство теоремы можно найти, например, на стр. 300−301 пособия [14] или в работе [7], стр.41−43. В комплексный анализ оно переносится дословно. Равенство (10.6) называется формулой Коши-Адамара. Она установлена Коши (1821), но была забыта. Адамар переоткрыл ее (1892) и нашел важные приложения.

Обозначим через К множество сходимости ряда (10.5), т. е. совокупность всех точек, в которых ряд сходится. Тогда U (a, R) <= К Ясно, что множество сходимости представляет собой круг сходимости, дополненный некоторым множеством точек его 1раницы (быть может, пустым).

Пример 10.1. Описать множества сходимости следующих рядов:

Решение. Согласно формуле (10.6) получим, что радиус сходимости всех трех рядов равен 1 (учтено, что л/й—"1 при п—>). Следовательно, круг сходимости один и тот же — единичный | z |<1. Однако множества точек сходимости различны. Ряд а) расходится во всех точках окружности |z|=l,.

ибо на этой окружности его общий член не стремится к нулю (почему?). Ряд б) в некоторых точках окружности |z|=l сходится (например, при z = -1), а в некоторых расходится (например, в точке z = l). Ряд в) сходится во всех точках этой окружности, ибо для любого z, | z | = 1, он мажорируется сходя;

QC |.

щимся числовым рядом / —.

п= п

Для доказательства голоморфности суммы степенного ряда достаточно повторить рассуждения при выводе теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда в действительном анализе ([7], стр. 45 или [14], стр.447- 449), заменяя «интервал сходимости» на «круг сходимости».

Теорема 10.4. Сумма степенного ряда.

при радиусе сходимости R > 0 голоморфна в круге сходимости ряда. Доказательство. Напишем формально производный ряд.

Он сходится или расходится вместе с рядом.

= ^nc"(z-a)ⁿ. Так л=1.

как lim 'fn = 1, то согласно формуле Коши-Адамара радиус сходимости этого л-кс ряда также равен R. Такой же радиус сходимости и ряда (10.8). На компактных подмножествах круга U = {z-a< R) этот ряд сходится равномерно, а этого достаточно для дифференцируемости /(z) в этом круге.

Итак, степенной ряд (10.7) в круге его сходимости можно дифференцировать почленно: / (z) = (p (z). При этом ряд (10.8), полученный почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Поэтому теорема 10.4 открывает возможность последовательного многократного дифференцирования степенного ряда. Отметим некоторые следствия этой теоремы.

Теорема 10.5. Производная любой функции /(z), голоморфной в области D<=C, голоморфна в этой области.

Доказательство. Берем произвольно точку z₀ е D, построим круг U с центром в этой точке радиуса R> О, лежащий в данной области. По теореме 10.1 функция в этом круге представляется как сумма степенного ряда. По теореме 10.4 производная / (z) = (p{z) представляется рядом, сходящимся в том же круге. Поэтому к функции (p{z) можно снова применить теорему.

10.4. Значит, эта функция дифференцируема в U в смысле комплексного анализа. Что и требовалось доказать.

Из теоремы 10.5 повторным ее применением как следствие получается, что голоморфнаи в области функция имеет производные всех порядков, также голоморфными в области! Это есть специфическое свойство функций комплексного переменного, не имеющее себе аналога в действительном анализе. Функция действительного переменного, имеющая первую производную, может уже не иметь ни в одной точке производной второго порядка. Примером такой функции является «определенный интеграл с переменным верхним пределом».

где с функцией f (x) (в математическом фольклоре ее называют «пилой» ван-дер-Вардена) можно детально ознакомиться, например, в работе [14], стр. 480.

Следующая теорема утверждает единственность разложения функции в степенной ряд с данным центром.

Теорема 10.6. Если функция /(z) в круге сходимости представима как сумма степенного ряда (10.7), то коэффициенты этого ряда однозначно определяются по формулам.

Доказательство. Подставляя в (10.7) z = a, найдем f (a) = c₀. Дифференцируем ряд почленно:

и подставляем z = a: f (я) = с,. И т.д. Продифференцируем равенство (10.7) п раз:

(мы не выписываем выражений для коэффициентов), и снова подставим z-a получим пс_п = /^(л)(я). Таким образом получаются равенства (10.9).

Степенной ряд (10.7) с положительным радиусом сходимости и коэффициентами (10.9) в анализе назывался рядом Тейлора функции f (z). Теорему 10.5 иногда формулируют гак: всякий сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы. Формула (10.9) позволяет выписывать тейлоровские разложения многих элементарных функций. Например, если за определение комплексной экспоненты взять равенство е^: = е^х (cos y + i sin у) (z = x + yi), то из него при, а = 0 с помощью равенства W/ ч ди .dv

j (z) = — +1 — индукцией получим.

дх дх

и разложение справедливо всюду в С.

В заключение как следствия предыдущих теорем приведем небольшую сводку результатов об эквивалентности различных определений голоморфности функции в точке.

Теорема 10.7. Эквивалентны следующие утверждения:

• а) функция / является С — дифференцируемой в некоторой окрестности точки a g С;
• б) функция разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности этой точки.

Замечание. Мы убедились в том, что представление функции в круге U — {| z-a |< R) в виде суммы сходящегося степенного ряда является нсобхолимым и достаточным условием ее голоморфности в этом круге. Однако сходимость степенного ряда в точках границы круга сходимости не связана с голоморфностью суммы ряда в этих точках. Например, ряд а) в примере 10.1 сходится в единичном круге и расходится во всех точках единичной окружности (ибо там его общий член нс стремится к нулю). Однако сумма этого ряда, равная ——, голоморфна во всех точках окружности, кроме z = l. С I — z

другой стороны, ряд в) из того же примера на единичной окружности сходится везде, но его сумма f (z) не может быть голоморфной в точке z — 1,.

ибо производная / (z) = V —z" ^_l при стремлении к 1 по действительной оси л-1 ^п

неограниченно возрастает.

Основная практическая задача по рассмотренной теме состоит в представлении голоморфной функции в виде степенного ряда. Применение формулы (10.9) для нахождения коэффициентов ряда нс всегда является удобным, так как вычисление производных часто является весьма кропотливым процессом. Поэтому используют те же приемы, что и в действительном анализе. Это — готовые известные разложения (например, экспоненты), почленное дифференцирование или интегрирование степенного ряда, метод неопределенных коэффициентов. Приведем пример применения последнего метода.

Пример 10.2. Найти три первых отличных от нуля члена разложения функции tgz в ряд Тейлора с центром в точке z = 0.

Решение. Так как функция голоморфна в указанной точке, то ее можно разложить в степенной ряд:

Очевидно, с_о = 0. Из равенства sinz = cosz/gz получим.

Здесь правая часть приводится к виду.

Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях переменной в предыдущем равенстве дает.

Отсюда получаем, что.

1 2.

Ответ: tez = z + -z³ +— z⁵+… Так как ближайшей к точке 0 особой 3 15.

точкой функции является^, то ряд сходится в круге | z<~^ •.

Задачи к главе 10

10.1. Функция /(z) = —-— голоморфна во всей плоскости с выколотой.

z + 4.

точкой z = —4. Непосредственным разложением сс в степенной ряд с центром в точке а = -1 докажите аналитичность в этой точке.

• 10.2. Запишите разложение функции f (z) =—?—j в ряд Тейлора по
• (1-г)"

степеням z, укажите круг сходимости.

10.3. Найти круг сходимости ряда.

• [1] Нильс Хенрик Абель (1802−1829)-норвежский математик.
• [2] Напомним, что множество компактное, если оно замкнутое и ограниченное.
• [3] Жак Адамар (1865 — 1963) — французский математик. Известен его учебник по элементарной геометрии.