Математическая модель электроконвекции, вызванной действием силы электрического поля на пространственный заряд

Механизм возникновения электроконвекции в электромембранных системах является аналогичным «электрическому ветру» в газах и объясняется неоднородностью электрического поля, которая вызывает появление объемной электрической (кулоновской) силы вблизи поверхности мембраны с плотностью выражающей формулой:

. (1).

Эта электрическая сила воздействует на пространственный заряд, локализованный вблизи межфазной границы раствор/мембрана. Если при этом, т. е. потенциальное (безвихревое) векторное поле, то оно вызывает равномерное изменения давления, и, поэтому, вихревое движение в растворе не возникает. В этом можно убедиться, переходя в уравнениях Навье-Стокса к переменным «функция тока и вихрь». Поэтому предположим, что плотность электрической силы имеет ненулевой ротор, т. е. является непотенциальным (вихревым) векторным полем.

В результате воздействия вихревой электрической силы возникает неравномерное избыточное давление, выталкивающее раствор. При своем движении выдавленная часть раствора встречает инерционное сопротивление невозмущенных слоев электролита и поверхности мембраны, что вызывает изменение направления движения жидкости, а именно удаление ее от поверхности мембраны, вследствие чего образуются вихри. Эти вихри облегчают доставку ионов соли к межфазной границе и частично разрушают диффузионный слой, что приводит к уменьшению величины электрической силы.

электроконвекция математическая модель электродиализный Это, в свою очередь, вызывает уменьшение величины вихрей и, соответственно, влияния электроконвекции. Таким образом, нижняя граница возникновения электроконвекция по току из-за диссипации энергии должна быть больше предельного предельной плотности тока.

Исходя из этих рассуждений, получаем, что необходимым условием возникновения электроконвекции является:

• а) Непотенциальность силы электрического поля, т. е.. Это может быть обусловлено как неоднородной структурой распределения пространственного заряда, так неоднородной электропроводностью поверхности мембраны. Наши расчеты для системы двумерных уравнений Нернста-Планка и Пуассона показывают, что сила электрического поля имеет вихревой характер.
• б) Наличием пространственного заряда, локализованного на некотором расстоянии от межфазной границы. Наши расчеты для системы двумерных уравнений Нернста-Планка и Пуассона показывают наличие пространственного заряда, локализованного на некотором расстоянии от межфазной границы.
• в) Величина электрической силы должна быть достаточно большой, чтобы преодолеть вязкое сопротивление раствора. Наши расчеты для системы двумерных уравнений Нернста-Планка и Пуассона показывают, что величина электрической силы является достаточно большой.
• г) Можно ожидать, что электроконвекция вызывает уменьшение эффективной толщины диффузионного слоя, что в свою очередь приводит к уменьшению величины электрической силы и соответственно влияние электроконвекции. Очевидно, что в отсутствие вынужденной конвекции и замкнутом канале для невязкой жидкости этот процесс может завершиться полным перемешиванием раствора и уничтожением диффузионного слоя. Однако для вязкой жидкости, тем более, в условиях вынужденной конвекции, влияние электроконвекции на течение раствора практически прекратится, как только ротор электрической силы станет достаточно малым, еще до того как будет «размыт» диффузионный слой, из-за диссипации энергии за счет вязкости. Следовательно, имеется возможность некоторого равновесия между электрической силой и порождаемой ею электроконвекцией.

Для обоснования предложенного выше механизма возникновения электроконвекции, нами была разработана математическая модель нестационарного переноса бинарного электролита в камере обессоливания электродиализного аппарата, заключенной между гомогенными катионообменной и анионообменной мембранами.

Пусть и — ширина и длина камеры обессоливания, соответственно, — средняя скорость прокачивания раствора, соответствует условной межфазной границе катионообменная мембрана/раствор, соответствует условной межфазной границе анионообменная мембрана/раствор, — входу, а — выходу из камеры обессоливания.

Для моделирования электроконвекции в данных условиях будем использовать связанную систему электродиффузионных уравнений [2] и уравнений Навье-Стокса [3] в приближении Буссинеска, с учетом пространственной силы. Векторная запись этой системы для бинарного электролита, в случае отсутствия химических реакций, имеет вид:

(2).

(3).

(4).

(5).

(6).

. (7).

Здесь — градиент, — оператор Лапласа, — скорость течения раствора, — характерная плотность раствора, — давление, — концентрации катионов и анионов в растворе, соответственно, — зарядовые числа катионов и анионов, — коэффициенты диффузии катионов и анионов, соответственно, — потенциал электрического поля, — диэлектрическая проницаемость электролита, — постоянная Фарадея, — газовая постоянная, — абсолютная температура, — время, — коэффициенты кинематической вязкости — плотность силы электрического поля. В данной задаче — неизвестные функции, зависящие от времени и координат,. В системе (2) — (7) уравнения (2) — (5) описывают поля концентраций и потенциала, а уравнения Навье-Стокса (6), (7)? поле скоростей, формируемое под действием вынужденного течения и пространственной электрической силы в приближении Буссинеска.

В этой работе мы будем рассматривать потенциостатический режим, которому соответствует условие:

(8).

означающее, что величина падения потенциала в камере обессоливания постоянна.

После ряда преобразований уравнения (2) — (7) запишутся в виде.

(9).

(10).

(11).

(12).

. (13).

Наряду с условием (8) будем использовать следующие граничные условия:

1) На поверхности катионобменной мембраны будем считать граничную концентрацию катионов равной фиксированному заряду внутри мембраны:

(14).

Кроме того, предположим катионообменную мембрану идеально селективной, т. е. непроницаемой для анионов:

(15).

Для скорости используем условие прилипания:

(16).

2) На поверхности анионобменной мембраны будем считать граничную концентрацию анионов равной фиксированному заряду внутри мембраны:

(17).

Кроме того, предположим анионообменную мембрану идеально селективной, то есть непроницаемой для катионов:

(18).

Для скорости используем условие прилипания:

(19).

3) На входе в рассматриваемую область будем считать, что скорость течения раствора имеет форму параболы Пуазейля:

(20).

Для потенциала используется и альтернативное условие .

4) На выходе из рассматриваемой области будем использовать «мягкие» условия на концентрации и потенциал:

(21).

5) Начальные условия при примем согласованными, по возможности, с остальными граничными условиями:

(22).

Для потенциала в качестве начального условия берется либо постоянная, либо условие.

. (23).

Для решения задачи (9) — (23) применяется метод конечных элементов.

Нами были проведены численные эксперименты для раствора NaCl в широком спектре таких параметров, как начальная концентрация, скорость вынужденного течения раствора, межмембранное расстояние, длина канала, скачок электрического потенциала, и определены основные закономерности распределения электрохимических (концентрация, напряженность и потенциал электрического поля, и т. д.) и гидродинамических полей. Ниже представлены некоторые результаты численных экспериментов при следующих входных параметрах: ширина канала обессоливания мм, длина канала мм, средняя скорость вынужденного течения раствора а) м/с, б) м/с, в) м/с, г) м/с, д) м/с, начальная концентрация раствора моль/м3, температура раствора K, начальная плотность раствора кг/м3, коэффициент кинематической вязкости м2/с, коэффициент диффузии катиона и аниона, соответственно, м2/с и м2/с, падение электрического потенциала в диффузионном слое: а) В, б) В, в) В.