Вычисление объема бюджетного множества

Задача № 1. В пространстве трех товаров рассмотреть бюджетное множество при векторе цен и доходе. Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразить бюджетное множество и его границу графически. Вычислите объем бюджетного множества.

Решение. Описание бюджетного множества и его границы с помощью обычных неравенств:

Описание бюджетного множества и его границы с помощью векторных неравенств:

Графическое изображение. Бюджетное множество есть тетраэдр ABCO. Треугольник АВС является его гранью:

точка А имеет координату (Q/P1; 0; 0) = (120/5; 0; 0) = (24; 0; 0).

точка B имеет координату (0; Q/P2; 0) = (0; 120/8; 0) = (0; 15; 0).

точка C имеет координату (0; 0; Q/P3) = (0; 0; 120/4) = (0; 0; 30).

Найдем объем бюджетного множества:

Задача № 2. Даны вектор, непроизводственного потребления и матрица, межотраслевого баланса. Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.

.

Решение. Известно, что Х = (Е — А)-1С. Следовательно, надо найти матрицу, обратную к (Е — А):

Для этого можно воспользуемся методом Жордана-Гаусса:

Получаем.

и, значит,.

Ответ. Вектор валового выпуска.

.

Задача № 3. Решить графическим методом задачи с двумя переменными. Данные, соответствующие вашему варианту брать в таблице:

Решение. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F =. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x1 + 4x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора — точка (0; 0), конец — точка (2; 4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области.

Прямая F(X) = const пересекает область в точке пересечения прямых:

Решив систему уравнений, получим:

x1 = 6,75, x2 = 1,25.

Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

F(X) = 2*6,75 + 3*1,25 = 17,25.

Ответ. Fmax (6,75; 1,25) = 17,25.

Задача № 4. На двух базах находится однородный товар в количестве тонн соответственно. Товар требуется развести по трем магазинам. Потребность каждого магазина в товаре составляет тонн соответственно. Затраты на перевозку товара сй базы вй магазин заданы матрицей тарифов. Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:

• ?a = 250 + 300 = 550
• ?b = 150 + 50 + 350 = 550

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj. Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку, и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 3. Для этого элемента запасы равны 250, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.

x12 = min (250,50) = 50.

Искомый элемент равен 3. Для этого элемента запасы равны 300, потребности 150. Поскольку минимальным является 150, то вычитаем его.

x21 = min (300,150) = 150.

Искомый элемент равен 9. Для этого элемента запасы равны 200, потребности 350. Поскольку минимальным является 200, то вычитаем его.

x13 = min (200,350) = 200.

Искомый элемент равен 12. Для этого элемента запасы равны 150, потребности 150. Поскольку минимальным является 150, то вычитаем его.

x23 = min (150,150) = 150.

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. векторный неравенство стоимость доставка.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 4, а должно быть m + n — 1 = 4. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 3*50 + 9*200 + 3*150 + 12*150 = 4200.

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых.

ui + vj = cij,.

полагая, что u1 = 0.

u1 + v2 = 3; 0 + v2 = 3; v2 = 3.

u1 + v3 = 9; 0 + v3 = 9; v3 = 9.

u2 + v3 = 12; 9 + u2 = 12; u2 = 3.

u2 + v1 = 3; 3 + v1 = 3; v1 = 0.

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию.

ui + vj? cij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 3*50 + 9*200 + 3*150 + 12*150 = 4200.

Ответ.

Из 1-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (50), в 3-й магазин (200).

Из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (150), в 3-й магазин (150).