Ковариация, дисперсия и корреляция

Ковариация, дисперсия и корреляция

Ковариация — средняя величина произведения отклонений переменных от их средних величин.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными (х и у) и при наличии n наблюдений рассчитывается по формуле:

(смещенная);(1).

(несмещенная). (2).

Мы определяем также ковариацию генеральной совокупности. Для различия этих двух ковариаций мы используем обозначение Cov (х, у) применительно к выборочной ковариации и рор.соv (х, у) — для ковариаций между х и у в генеральной совокупности. Аналогичные обозначения мы используем и для дисперсии: Var (x) — применительно к выборочной дисперсии и рор.var (х) — к дисперсии для генеральной совокупности (теоретической).

Существует несколько основных правил, которые вытекают непосредственно из определения ковариации.

Правило 1.

Если y = v + w, то Cov (х, у) = Cov (х, v) + Cov (x, w).

Правило 2.

Если у = аz, где а — константа, то Cov (x, y) = a Cov (x, z).

Правило 3.

Если у = а, где а — константа, то Cov (x, y) = 0.

Дисперсия — средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины.

Для выборки из n наблюдений выборочная дисперсия определяется как среднеквадратическое отклонение в выборке:

(смещенная);(3).

(несмещенная). (4).

Существует несколько простых и очень полезных правил для расчета дисперсии, являющихся аналогами правил для ковариации. Эти правила в равной степени можно использовать как для выборочной, так и для теоретической дисперсии.

Правило 1.

Если у = v + w, то Var (y) = Var (v) + Var (w) + 2 Cov (v, w).

Правило 2.

Если у = аz, где а является постоянной, то Var (y) = a² Var (z).

Правило 3.

Если у = а, где а является постоянной, то Var (y) = 0.

Правило 4.

Если у = v + a, где а является постоянной, то Var (y) = Var (v).

Более точной мерой зависимости является тесно связанный с ковариацией коэффициент корреляции, который также имеет две формы — теоретическую и выборочную.

Теоретический коэффициент корреляции определяется следующим образом: ковариация дисперсия корреляция.

(5).

Если х и у независимы, то р равно нулю, так как равна нулю теоретическая ковариация. Если между переменными существует положительная зависимость, то рор.cov (х, у), а следовательно, и р_{х, у} будут положительными. Если существует строгая положительная линейная зависимость, то р_{х, у} примет максимальное значение, равное 1. Аналогичным образом при отрицательной зависимости р_{х, у} будет отрицательным с минимальным значением -1.

Выборочный коэффициент корреляции определяется путем замены теоретических дисперсий и ковариации в формуле (5) на их несмещенные оценки. Такие оценки могут быть получены умножением выборочных дисперсий и ковариации на n/(n-1). Следовательно,.

(6).

Множители n/(n-1) сокращается, поэтому можно определить выборочную корреляцию как:

Подобно величине р, r имеет максимальное значение, равное единице, которое получается при строгой линейной положительной зависимости между выборочными значениями х и у (когда на диаграмме рассеяния все точки находятся точно на восходящей прямой линии). Аналогичным образом r принимает минимальное значение -1, когда существует линейная отрицательная зависимость (точки лежат точно на нисходящей прямой линии). Величина r=0 показывает, что зависимость между наблюдениями х и у в выборке отсутствует. Разумеется, тот факт, что r=0, необязательно означает, что р=0, и наоборот.

Необходимо рассчитать величину ковариации между объемом потребления и располагаемым доходом, рассчитать коэффициент корреляции, сделать вывод.

Решение.

1. Для определения ковариации и коэффициента корреляции необходимо заполнить таблицу:

Расчетная таблица для определения ковариации и коэффициента корреляции:

2. Рассчитаем ковариацию по формуле:

=* 201 969,6 = 6732,321.

3. = * 192 828,55 = 6427,618.

= * 254 066,42 = 8468,88.

4. = = =0,9125.

Вывод: коэффициент корреляции равный 0,9125 свидетельствует о том, что между объемом потребления и располагаемым доходом связь высокой степени.