Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля — это просто бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но, сколько в этом таится чудес.

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника — как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две — итого три — к двум можно приладить еще три — итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника, получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66…, что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 — совершенные числа, 36 — квадратное число, 8 и 21 — числа Фибоначчи.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа — один шар мы можем положить на три — итого четыре, под три подложим шесть — итого десять, и так далее.

А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,…) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве — один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти… В нашем мире и нашем измерении это невозможно, возможно только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии — сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц — это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве — сколько бы шаров мы не взяли — больше одного расположить не сможем, ибо просто негде — нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Даже беглого взгляда, брошенного на треугольник Паскаля, достаточно, чтобы отметить следующие любопытные факты: 10 ядер можно сложить и в виде тетраэдра и в виде плоского треугольника. А 56 гиперядер, образующих тетраэдр в пятимерном пространстве, можно уложить в обычный привычный трехмерный тетраэдр, однако, если бы мы попытались выложить из 56 ядер треугольник, то одно ядро осталось бы лишним.

А вот еще два интересных свойства треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще — ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. «Спустившись» по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 — тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную последовательность Фибоначчи.

Числа Фибоначчи часто встречаются в комбинаторных задачах. Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4,… число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8,…, то есть совпадает с числами Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, — это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y)ⁿ по степеням x и y. Например, (x+y)²=x²+2xy+y² и (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³. Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 — в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y)ⁿ, достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений.

В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой.

где n≠1*2*3*4*…*n так называемый факториал числа n. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле.

причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням.

Технический музей Вены Треугольник Паскаля двумерный, лежит в плоскости. Непроизвольно появляется мысль — а нельзя ли его закономерности распространить на трехмерный (и четырех -…) аналог? Оказывается можно! Существует трехмерный аналог треугольника — пирамида Паскаля, ее связь с триномиальными коэффициентами. Пирамиду Паскаля можно строить в форме тетраэдра, а также пирамиды с различными значениями двухгранных углов, один из которых прямой.

По трем внешним ребрам пирамиды стоят единицы. Каждая из трех боковых граней представляет собой треугольник Паскаля. Любой внутренний элемент пирамиды Паскаля, стоящий в n-м сечении, равен сумме трех элементов, расположенных в углах элементарного треугольника (n-1)-го сечения пирамиды. Сечение получается из треугольника Паскаля, основанием которого служит n-я строка Паскаля, умножением элементов его строк почленно на элементы основания, повернутого против часовой стрелки на угол /2.

Если сечение пирамиды Паскаля является правильным треугольником, то при любом n оно имеет три оси симметрии. На рисунке указаны оси симметрии сечения при n = 4.