Методические особенности изучения тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе

Московский Городской Педагогический Университет Кафедра математического анализа и методики его преподавания Дипломная работа По теме

«Методические особенности изучения тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе»

Студентки 5 курса математического факультета дневного отделения Уткиной О.В.

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор Мордкович А.Г.

МОСКВА, 2011 г.

Введение

Тригонометрии в школе традиционно уделяется много внимания — сначала в курсе геометрии, затем в курсе алгебры и начал анализа. На выпускных экзаменах в школе, на вступительных экзаменах в вузы тригонометрический материал представлен очень широко. Более того, на математических олимпиадах в старших классах в тригонометрическом материале представлены именно тригонометрические уравнения.

Спросите у учителя математики в старших классах, какова основная проблема при изучении тригонометрических уравнений в 10 классе? В ответ вы услышите: «Учащиеся не знают формул». Именно поэтому в современных общеобразовательных школах учителя математики не жалеют ни времени, ни сил на то, что по их мнению особенно важно учащимся — на отработку формул. В результате мы приходим к простейшему заключению: решение тригонометрических уравнений сводится к преобразованию тригонометрических выражений и к банальному заучиванию основных формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

По мнению вузовских преподавателей, выпускники школ тригонометрию знают плохо. Большинство учащихся школы отождествляют тригонометрию с набором огромного числа жутких формул, которые ни один нормальный человек запомнить не в состоянии. Такое представление о тригонометрии складывалось у нас в школе десятилетиями.

Сегодня, когда стали понимать, что основная задача учителя математики — развитие умственных способностей ребенка, а не заполнение ячеек его памяти формулами (в реальной жизни подавляющее большинство школьных формул людям не нужно), настало время пересмотреть тригонометрические методические традиции. В связи с этим А. Г. Мордкович в своей статье «Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе» выделяет три основных тезиса, которыми следует руководствоваться при изучении тригонометрии.

1) Основное внимание в начале изучения раздела надо уделить модели «числовая окружность на координатной плоскости».

2) Собственно тригонометрические уравнения в школе практически не изучаются — вместо них идет постоянная возня с тригонометрическими преобразованиями.

3) Тригонометрическими формулами следует заняться после того, как учащийся овладеет двумя «китами», на которых базируется курс тригонометрии: числовой окружностью и простейшими уравнениями.

Если посмотреть на эти три тезиса, то возникает вопрос: как же можно изучать тригонометрические уравнения, не зная тригонометрических формул? Собственно именно такой вопрос и задают учителя, когда слышат о том, что тригонометрическими формулами следует заняться после того, как учащийся узнает, что такое числовая окружность и простейшие тригонометрические уравнения.

Предположим, что на этот вопрос мы ответили и учителя согласились с такой структурой изложения материала, тогда перед нами встает другой вопрос: каким образом осуществить знакомство учащихся с простейшими тригонометрическими уравнениями и как вывести формулы для решения таких уравнений. При выводе формул для решения простейших тригонометрических уравнений мы сталкиваемся с рядом трудностей (рассмотрим данные трудности на примере уравнения):

1) неизвестно откуда взялся ;

2) в формуле для решения тригонометрического уравнения появляется множитель вида ;

3) тригонометрические уравнения имеют не конечное число корней, как привыкли учащиеся, а бесконечное число корней.

Таким образом, при изложении темы «Решение тригонометрических уравнений» мы должны учитывать все вышеизложенные трудности. Перейдем теперь к содержанию дипломной работы.

Цель дипломной работы — изучение методических особенностей обучения решению тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе.

Можно выделить следующие задачи, позволяющие реализовать цель:

изучить психолого-педагогическую, методическую, математическую литературу с целью выявления объема математического материала и принципов обучения.

анализ литературы с целью выявления лучшего подхода к изучению материала, представленного в данном курсе, и изучения различных концепций, представленных в учебниках по данной теме;

определить объем изучаемого материала и разработать систему требований к уровню подготовки учащихся;

разработать систему упражнений с целью сформировать умение решать тригонометрические уравнения и провести апробацию разработанной системы упражнений на уроках в 10 классе в школе.

Дипломная работа состоит из введения, теоретической части (глава I), содержащей основные психолого-педагогические принципы, которые следует учитывать при изложении темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», а также анализ учебников по представленной теме, практической части (глава II), в которой представлена система упражнений по данной теме и система требований к учащимся, заключения и списка литературы.

В первом параграфе главы I представлены основные педагогические принципы, на которые следует опираться при изучении тригонометрии в целом, и при изложении темы «Тригонометрические уравнения и неравенства» в частности.

Во втором параграфе главы I представлены психологические закономерности, которые следует учитывать при изложении курса тригонометрии.

В третьем параграфе главы I приведен анализ школьных учебников, на предмет изложения темы «Тригонометрические уравнения и неравенства».

Во второй главе приведена система упражнений по теме «Тригонометрические уравнения». Вторая глава состоит из двух параграфов: «простейшие тригонометрические уравнения» и «Формулы тригонометрии и тригонометрические уравнения».

В содержании обоих параграфов предложена система упражнений, к каждому уроку по теме «Тригонометрические уравнения» и методические рекомендации к данным упражнениям.

Глава I. Психолого-педагогические основы изучения тригонометрического материала в школе

1. Педагогические принципы

При организации учебной деятельности учащихся, факультативных занятий и внеурочной деятельности следует руководствоваться объективными законами, отражающими существенные и необходимые связи между явлениями и факторами обучения. Эти законы дают учителям понимание общей картины объективного развития дидактических процессов. Однако они не содержат непосредственно указаний для практической деятельности, а являются лишь теоретической основой для разработки и совершенствования ее технологии. Практические указания по осуществлению обучения закреплены преимущественно в принципах и правилах их реализации, носящих название дидактических принципов.

Дидактические принципы — это основные положения, определяющие содержание, организационные формы и методы учебного процесса в соответствии с его общими целями и закономерностями. В принципах обучения выражаются нормативные основы обучения, взятого в его конкретно-историческом виде (М.А. Данилов). Выступая как категории дидактики, принципы обучения характеризуют способы использования законов и закономерностей в соответствии с намеченными целями.

Правило — это основанное на общих принципах описание педагогической деятельности в определенных условиях для достижения определенной цели. В правилах обычно предусматривается типичный способ действия учителей в типичных ситуациях обучения.

До недавнего времени в дидактике не существовало четкого разграничения понятий закона, закономерности, принципа и правила. Однако в ходе дискуссии было доказано, что принципы обучения определяются целями воспитания и имеют исторический характер, некоторые принципы утрачивают свое значение и сходят с педагогической сцены (например, природосообразность, самодеятельность, индивидуальность). Происходит перестройка содержания принципов, сохранивших свое значение в новых условиях, и появляются новые принципы, в которых отражаются новые требования к обучению.

В современной дидактике устоялось положение, что принципы обучения исторически конкретны и отражают насущные общественные потребности. Современные принципы обусловливают требования ко всем компонентам учебного процесса — логике, целям и задачам, формированию содержания, выбору форм и методов, стимулированию, планированию и анализу достигнутых результатов.

Принципы обучения выступают в органическом единстве, образуя некоторую концепцию дидактического процесса, которую можно представить как систему, компонентами которой они являются.

В качестве основополагающих, общепризнанных дидактических принципов в современной дидактике выделяют следующие принципы обучения:

сознательности и активности;

наглядности;

систематичности и последовательности;

прочности;

научности;

доступности;

связи теории с практикой.

При изложении темы «Тригонометрические уравнения и неравенства» следует обратить внимание, в первую очередь, на принципы наглядности, доступности, научности, сознательности и активности, систематичности и последовательности.

Принцип наглядности обучения — один из самых понятных принципов обучения, использующийся с древнейших времен. Закономерное обоснование данного принципа получено сравнительно недавно. В основе его лежат следующие строго зафиксированные закономерности: органы чувств человека обладают разной чувствительностью к внешним раздражителям, у подавляющего большинства людей наибольшей чувствительностью обладают органы зрения. Органы зрения «пропускают» в мозг почти в 5 раз больше информации, чем органы слуха, и почти в 13 раз больше, чем тактильные органы; информация, поступающая в мозг из органов зрения (по оптическому каналу), не требует значительного перекодирования, она запечатлевается в памяти человека легко, быстро и прочно.

Изучение тригонометрии предполагает большое количество «наглядной» информации, которая связана с основной моделью — числовой окружностью, а также с исследованием и построением графиков различных функций, которым необходима зрительная интерпретация. Поэтому при организации уроков необходимо учесть правила, которые раскрывают принцип наглядности.

Запоминание ряда предметов, представленных в натуре (на картинках или моделях), происходит лучше, легче и быстрее, чем запоминание того же ряда, представленного в письменной форме. Иными словами, можно говорить о важности моделирования при изучении данного курса.

Следует использовать наглядность не только для иллюстрации, но и в качестве самостоятельного источника знаний для создания проблемных ситуаций. Современная наглядность позволяет организовать эффективную поисковую и исследовательскую работу учащихся.

Наглядные пособия способствуют образованию наиболее отчетливых и правильных представлений об изучаемых предметах и явлениях.

При чрезмерном увлечении наглядностью она становится препятствием на пути глубокого овладения знаниями, тормозом развития абстрактного мышления, понимания сущности общих и всеобщих закономерностей.

Следующим принципом, играющим важнейшую роль в обучении, является принцип систематичности и последовательности, суть которого состоит в следующем:

процесс обучения, состоящий из отдельных шагов, протекает тем успешнее и приносит тем большие результаты, чем меньше в нем перерывов, нарушений последовательности, неуправляемых моментов; если систематически не упражнять навыки, то они утрачиваются; если не приучать учащихся к логическому мышлению, то они постоянно будут испытывать затруднения в своей мыслительной деятельности; если не соблюдать системы и последовательности в обучении, то процесс развития учащихся замедляется.

Обратимся теперь к принципу доступности, который непосредственно вытекает, с одной стороны, из закономерностей возрастного развития учащихся, с другой стороны — из организации и осуществления дидактического процесса в соответствии с уровнем развития учащихся.

В основе принципа доступности лежат следующие закономерности:

— доступность обучения определяется возрастными особенностями школьников и зависит от их индивидуальных способностей;

доступность обучения зависит от организации учебного процесса, применяемых методов обучения и связана с условиями протекания процесса обучения.

Принцип научности обучения требует, чтобы учащимся на каждом шагу их обучения предлагались для усвоения подлинные, прочно установленные наукой знания и при этом использовались методы обучения, по своему характеру приближающиеся к методам изучаемой науки. В основе принципа научности лежат следующие закономерности:

мир познаваем, и человеческие знания, проверенные практикой, дают объективно верную картину развития мира;

наука в жизни человека играет все более важную роль, поэтому школьное образование направлено на усвоение научных знаний;

научность обучения обеспечивается, прежде всего, содержанием школьного образования, строгим соблюдением принципов его формирования;

научность обучения зависит от реализации учителями принятого содержания;

научность обучения, действенность приобретенных знаний зависят от соответствия учебных планов и программ уровню социального и научно-технического прогресса, подкрепления приобретенных знаний практикой, от межпредметных связей.

При организации уроков по предложенной теме данный принцип реализуется в установлении межпредметных связей между тригонометрией и другими науками, в том числе математическим анализом, геометрией, физикой, астрономией, информатикой и прочее. Кроме того, данный принцип реализуется в установлении связи между исследованием функции и решением уравнения, содержащего конкретную функцию и, тем самым является мощным стимулом для дальнейшего изучения элементов математического анализа, как аппарата, помогающего при решении тригонометрических уравнений.

Для процесса обучения является закономерным единство преподавания и учения. Тогда и только тогда, когда эти процессы взаимосвязаны, процесс обучения достигает желаемого результата. Нельзя рассчитывать только на то, что учитель активно преподает, а ученик не участвует в процессе усвоения знаний и умений. В этом случае затруднена обратная связь, т. е. как бы активно ни преподавал учитель свой предмет, если ученик не участвует в процессе усвоения знаний, то на выходе мы будем иметь ученика, который не сможет применить свои знания на практике, или не будет иметь даже минимальных теоретических знаний. Можно также сказать, что сознательное усвоение знаний учащимися зависит от ряда условий и факторов: мотивы обучения, уровень и характер познавательной активности, познавательная активность школьника и др. Суть данного принципа сознательности и активности отражают следующие правила:

ясное понимание целей и задач предстоящей работы. Действительно, когда человек не в состоянии определить цель той работы, которую ему предстоит выполнить, он не может поставить себе соответствующие задачи, характерные для данной работы, а, следовательно, результат работы будет сведен к нулю;

обучайте так, чтобы учащийся понимал, что, почему и как нужно делать, и никогда механически не выполнял учебных действий. От преподавателей можно часто слышать, что ученик не в состоянии выполнить определенного задания. Пример — механическое заучивание тригонометрических тождеств никогда не приведет нас к осознанию того, с какой целью мы изучаем тригонометрию. Почему? Да потому, что ученик, механически заучивая всем известные тождества, не понял, для чего ему необходимы эти тождества, он не поставил перед собой конечной цели и не определил задачи данной работы;

используйте все виды формы познавательной деятельности, объединять анализ и синтез, сопоставление с противопоставлением, применять аналогию;

обеспечивайте понимание смысла каждого слова, предложения, понятия. Действительно, непонимание даже одного слова может привести к непониманию смысла всей темы;

воспитывайте активность. Активный ученик скорее задаст вопрос относительно того, чего он не понял, малоактивный может промолчать, такое молчание приведет к непониманию между учителем и учеником, что в дальнейшем может перерасти в конфликтную ситуацию;

неизвестное логически связывайте с известным;

каждое правило сопровождайте примерами;

учите разделять главное и второстепенное. Память человека не в состоянии вместить в себя весь объем информации, который ученик получает в школе. Важно разделение всей информации на главную и второстепенную, следует объяснить ученику, что основная информация — это минимум, который мы в состоянии усвоить, а второстепенную информацию можно найти в справочниках, словарях и т. д.

Однако при изучении тригонометрии следует принять к сведению и психологические особенности учащихся: особенности внимания, памяти, восприятия, мышления (определить какие виды мышления преобладают), возрастные особенности. Это мы рассмотрим в следующем параграфе.

2 Психологические основы

При разработке уроков следует обратить внимание на основные психические процессы человека, потому, как и общедидактические принципы обучения, и основные методы обучения основываются на психических процессах человека.

Различают следующие психические процессы:

— ощущение;

— восприятие;

— внимание;

— память;

— мышление;

— воображение.

Наиболее значимыми при организации уроков по тригонометрии являются, на мой взгляд, следующие процессы: восприятие, внимание, память и мышление. Именно на них следует делать основной акцент. Почему? Ответ прост, достаточно посмотреть определение этих процессов.

Ощущение — процесс, отражающий основные внешние признаки предметов и явлений, состояние внутренних органов.

Восприятие — психический процесс, связанный с приемом и преобразованием информации, обеспечивающий отражение объективной реальности и ориентировку в окружающем мире.

Внимание — избирательная направленность сознания человека на определенные предметы.

Память — процесс сохранения, запечатления, воспроизведения и забывания того, что человек отражал, делал или переживал;

— это запечатление в сознании, сохранение и последующее воспроизведение прошлого умственного или практического опыта.

Воображение — психический познавательный процесс создания новых представлений на основе имеющегося опыта.

Мышление — это процесс обобщенного отражения действительности;

— это процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности;

— психический познавательный процесс, отражение существенных связей и отношения предметов и явлений объективного мира.

Рассмотрим эти психические процессы подробнее.

Мышление безгранично расширяет возможности учебного познания, позволяя человеку выйти за пределы непосредственного опыта и судить о том, чего непосредственно он не воспринимает органами чувств. Умение научно мыслить дает возможность предвидеть ход изменения и развития явления, предсказать его возможный исход, прогнозировать заранее и планировать заблаговременно свои действия, поступки, поведение и деятельность с расчетом на определенный результат. Мышление обеспечивает опосредованный характер познания. Мышлению доступно отражение скрытых от непосредственного наблюдения (от восприятия, от представления) внутренних связей и отношений, их опосредованное познание и последующее обобщение по существенным признакам.

Мышление в процессе обучения не всегда функционирует достаточно интенсивно, чтобы обеспечивалось гарантированно высокое усвоение учебного материала. Как раз из-за того, что многое приходится обучаемым запоминать, «работать» только памятью, общий уровень усвоения знаний оставляет желать лучшего. Чтобы поднять качество усвоения, необходимо стимулировать работу мышления. Одним из средств стимулирования мышления является мыслительная задача, создающая проблемную ситуацию при изучении предмета. В проблемной ситуации возникает мышление, которое по природе своей всегда порождается не иначе, как в результате потребности в новых знаниях при любом виде деятельности.

Итак, для организации функционирования мышления субъекта учебной деятельности нужна мыслительная задача, на которую в памяти субъекта нет готового ответа, который можно было бы вспомнить. Нет этого ответа и в книге, чтобы можно было его вычитать.

Выделим теперь основные мыслительные операции. К таковым относят:

— анализ,

— синтез,

— сравнение,

— обобщение,

— конкретизация,

— абстрагирование,

— дедукция.

Словом, все мыслительные операции имеют прямое отношение к изучению свойств функций, а, следовательно, и к изучению свойств тригонометрических функций, к решению тригонометрических уравнений.

Виды мышления можно классифицировать следующим образом:

по форме мышления:

наглядно-действенное (мышление, которое решает задачу по физическому преобразованию ситуации; например, собирание мозаичной картинки или работа с моделями, в частности, со стереометрическим ящиком на уроках геометрии в старшей школе);

наглядно-образное (мышление, меняющее образы реальных ситуаций; например, работа с табличными данными на уроке);

абстрактно-логическое (формально-логическое) (мышление, использующее логические конструкции языковых средств, анализ, противоречия и логический вывод);

по характеру решаемых задач:

теоретическое мышление (мышление, способное отражать внутренние связи и отношения объектов и законы их движения);

практическое (эмпирическое) мышление (тип мышления, отражающий объекты со стороны их внешних связей и проявлений, доступных непосредственному восприятию);

по степени развернутости:

дискурсивное (мышление, характеризующееся рассудочностью, понятностью, логичностью и опосредованностью);

интуитивное («быстрое» мышление; мышление, характеризующееся минимумом осознанности, чувственностью, непосредственностью, созерцательностью);

по степени новизны и оригинальности;

репродуктивное мышление (мышление, с помощью которого человек легко и просто решает задачи на известные ему правила, то есть задачи определенного (знакомого) типа; репродуктивное мышление не создает нового продукта деятельности);

продуктивное (творческое) мышление (мышление, которое сопровождается открытием существенно нового знания для познающего индивида; имеет своим результатом создание субъективно нового продукта деятельности).

При решении, тригонометрических уравнений изменяется вид мышления учащихся: от мышления наглядно-образного к мышлению формально-логическому. Это выражается в том, что при работе с тригонометрическими уравнениями учащимся приходится работать как с большим количеством наглядных образов на числовой окружности, так и с элементами, требующими умения анализировать, сравнивать и сопоставлять известные данные. Это дает возможность учащимся в ходе обучения перейти от операций с табличными данными и наглядными образами к операциям, носящим логический характер.

Следующим процессом, который следует учитывать при организации занятий, является процесс восприятия. Для правильной организации этого процесса выделим следующие особенности восприятия:

Свойства восприятия:

избирательность;

предметность;

осмысленность;

константность;

целостность;

физические характеристики:

восприятие пространства, формы, объемности, величины, удаленности;

линейная перспектива, воздушная перспектива;

иллюзия восприятия.

Основываясь на этих свойствах восприятия, можно говорить о необходимости наглядной интерпретации излагаемого материала при изложении учебного материала.

Кроме восприятия, важна роль памяти и внимания. Остановимся подробно на этих процессах.

Память — это процесс сохранения, запечатления, воспроизведения и забывания того, что человек отражал, делал или переживал.

Выделим основные процессы памяти:

запоминание — запечатление в сознании необходимой информации;

сохранение — удержание информации в памяти;

воспроизведение — активизация закрепленного ранее содержания;

узнавание — сопровождающее процессы памяти психическое явление, позволяющее более эффективно функционировать.

Виды памяти:

наглядно-образная (на основе зрительных, слуховых и кожных ощущений);

словесно-логическая (на основе смысла, улавливаемого в изложении);

двигательная (на основе движения);

эмоциональная (на основе эмоциональных переживаний);

механическая (текст запоминается без осмысливания, «зубрежка»);

логическая.

Физиологической основой памяти являются следы бывших ранее нервных процессов, сохранившиеся в коре головного мозга (ассоциативные связи).

Здесь, однако, следует иметь в виду, что перегружать память учащихся лишними данными (тригонометрическими формулами) не следует. При организации уроков основную работу памяти следует направить на запоминание основных зрительных образов, с которыми учащимся предстоит работать в дальнейшем. Кроме того, важно также учитывать особенности запоминания при выводе основных тригонометрических формул (имеется в виду формулы для решения простейших тригонометрических уравнений).

Выделим теперь основные свойства внимания.

Концентрация (способность человека сосредотачиваться на главном, отвлекаясь от всего того, что находится за пределами решаемой в данный момент задачи).

Избирательность (сосредоточение на наиболее важном предмете).

Распределение (способность человека иметь в сознании одновременно несколько различных объектов или же выполнять сложную деятельность, состоящую из множества одновременных действий).

Объем внимания (количество объектов, которые могут быть одновременно восприняты с одинаковой ясностью).

Устойчивость (способность задерживаться на восприятии конкретного объекта).

Отвлекаемость (следствие отсутствия интереса).

Выделим виды внимания:

непроизвольное (возникает в силу действия сильного раздражителя или вызывающее эмоциональный отклик раздражителя; для непроизвольного внимания характерна легкость возникновения и переключения);

произвольное (возникает в результате постановки определенной задачи; для произвольного внимания характерна направленность внимания в зависимости от задачи; данный вид внимания не требует волевых усилий, но быстро утомляет);

послепроизвольное (возникает в результате вхождения в деятельность и возникающих в связи с этим интересов; здесь сохраняется целенаправленность внимания и снимается напряжение).

Таким образом, при организации урока следует строить процесс изложения материала таким образом, чтобы внимание постепенно изменялось от непроизвольного вида к послепроизвольному.

Встает вопрос, как все вышеизложенные факты применяются при обучении решению тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе? Ответ на этот вопрос достаточно простой. Если посмотреть структуру изложения курса тригонометрии в школе, то можно увидеть раздел, который предполагает изучение тригонометрических функций, их свойств и графиков. График функции сам по себе представляет какую-либо наглядность, т.к. в большинстве случаев не обладая наглядным восприятием и не владея аппаратом для исследования функций, достаточно проблематичным становится вопрос о том, чтобы изобразить график данной функции. Кроме того, при введении понятия синус, косинус, тангенс и котангенс, при изучении простейших тригонометрических уравнений, при решении простейших тригонометрических уравнений и при выводе формул корней простейших тригонометрических уравнений учащиеся сталкиваются с новым для них понятием числовой окружности. Окружность — наглядный образ. На окружности достаточно простым становится изображение тех точек, которых на числовой прямой, в силу ограниченности бумажного листа, мы изобразить не можем. Например, точки вида и т. д. Таким образом, становится понятным, для чего нам важно учитывать на уроках тригонометрии различные виды восприятия, в данном случае — наглядное восприятие, а наглядное восприятие, в свою очередь тесно связано с принципом наглядности (см. 1).

При изложении данного курса вниманию учащихся предлагается большой теоретический материал, который подразумевает то, что учащиеся в состоянии запомнить все предлагаемые им теоретические факты, т. е. идет большая нагрузка на память учащихся. Здесь имеется в виду конечно не механическое запоминание (зазубривание), а наглядно-образное и словесно-логическая, двигательная и, конечно, логическая память. Причем нас интересует, чтобы все основные процессы памяти были затронуты при изложении курса. Как я уже сказала, большой объем теоретических фактов говорит о значительной нагрузке на память. Как нам обеспечить «работу» наглядно-образной, словесно-логической, двигательной и логической памяти, и как нам постараться избежать зазубривания в нашем курсе, как избежать перегрузки человеческой памяти? С этой проблемой нам помогает справиться знание основных дидактических принципов, в частности принципа научности, систематичности и последовательности, принципа наглядности, принципа сознательности и принципа прочности и знание основных методов обучения.

Будем учитывать также, что при решении тригонометрических уравнений учащийся сталкивается с новыми абстрактными понятиями такими, как арксинус, арккосинус и арктангенс числа. Эти понятия являются для них новыми и непонятными, и прежде чем использовать их при выводе формул корней тригонометрических уравнений, учащийся должен «прочувствовать», «попробовать» эти понятия. Также при изучении тригонометрических уравнений учащийся сталкивается с непривычным множителем (-1)ⁿ. Даже студенты вузов при изучении темы «Знакопеременные ряды», запоминают (-1)ⁿ, как таблицу умножения, т. е. зазубривают, а мы хотим от учеников 10 класса соответствующего понимания. Учителя математики требуют от учеников простого зазубривания формул, что перегружает память учащихся и делает ученика неспособным для восприятия дальнейшей информации.

§ 3. Анализ школьных учебников и программ по теме «Решение тригонометрических уравнений»

При рассмотрении этого параграфа мы будем использовать материал следующих учебников по алгебре и началам анализа: А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10−11», Ю. М. Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10 кл.», А. Н. Колмогоров и др. «Алгебра и начала анализа 10−11 кл.», М. И. Башмаков «Алгебра и начала анализа 10−11 кл.», Ш. А. Алимов «Алгебра и начала анализа 10−11 кл». Анализ учебников будет осуществляться по следующим параметрам:

1. Количество часов, отводимых на изложение темы.

2. Содержание материала.

3. Соответствие обязательному минимуму обучения, зафиксированному в программе по математике.

4. Соответствие материала возрасту учащихся (доступность материала).

5. Понятность излагаемого материла.

I. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд «Алгебра и начала анализа 10−11 класс».

На изложение темы «Тригонометрические уравнения» здесь отводится 14 часов. Рассмотрим содержание материала.

Арксинус, арккосинус и арктангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений, систем уравнений.

Основная цель — сформировать у учащихся умение решать простейшие тригонометрические уравнения и ознакомить с основными приемами решения тригонометрических уравнений.

Введению понятий арксинуса, арккосинуса и арктангенса предшествует рассмотрение теоремы о корне. Основное внимание здесь нужно уделить разъяснению смысла указанных выше понятий, а также формированию умения находить табличные значения, что необходимо для безошибочного решения тригонометрических уравнений.

Вывод формул корней простейших тригонометрических уравнений основывается на изученных свойствах соответствующих функций.

Материал, представленный в учебнике, соответствует обязательному минимуму обучения, однако для учащихся 10 класса материал, представленный в учебнике, является достаточно трудным для понимания, т.к. здесь мы имеем чересчур сжатое изложение.

Более того, в данном учебнике мы сталкиваемся с достаточно известной схемой изложения материала по тригонометрии — сначала в головы учеников пытаются «вбить» все известные формулы курса тригонометрии, а потом научить решать тригонометрические уравнения. В результате мы получаем достаточно банальную ситуацию: тригонометрические уравнения и преобразования тригонометрических выражений так и остаются в голове учащихся на разных берегах реки. Получается, что, пользуясь схемой изложения материала, предложенной в данном учебнике, мы изучаем с учащимися формулы ради формул. Мы получаем обучение без развития. Для ученика 10 класса так и остаются невыясненными (после изучения материала по данному учебнику) следующие факты:

1. Что же все-таки это такое — арксинус, арккосинус и арктангенс числа?

2. Почему раньше при решении уравнения мы получали конечное число корней, а теперь — бесконечное?

3. Откуда в записи корней тригонометрического уравнения появился «хвост» или. Распространенная ошибка учащихся при записи корней уравнения — ошибка следующего вида:, что вполне очевидно, ведь — функция периодическая и период этой функции равен .

4. Что такое в записи корней уравнения и почему его нет при записи корней уравнения, а вместо этой «страшной» конструкции при решении уравнения получаем

5. Здесь, кстати, мы сталкиваемся с ошибкой такого рода:

6. Наконец, возникают ситуации, когда при решении тригонометрического уравнения нам необходимо осуществить отбор корней, а вот эти ситуации не рассматриваются в предложенном учебнике.

II. С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин «Алгебра и начала анализа 10 класс»

На изучение темы «Тригонометрические уравнения» отводится 7 часов.

Простейшие тригонометрические уравнения (2 часа). Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного (2 часа), Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений (1час), Однородные уравнения (1 час).

Невооруженным глазом можно видеть, что на изучение тригонометрических уравнений отводится недостаточное количество времени, более того, простейшим тригонометрическим уравнениям не уделяется должного внимания, хотя основой для решения любого тригонометрического уравнения служит умение решать именно простейшие тригонометрические уравнения.

Отметим также, что в данном учебнике совсем не рассматриваются задачи, в которых требуется осуществить отбор корней.

Большое внимание уделяется понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, но, к сожалению, авторы не поясняют учащимся с какой целью они вводят данные понятия.

III. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин «Алгебра и начала анализа 10−11 класс».

На изучение темы отводится 18 часов.

Уравнение,. Уравнение. Решение тригонометрических уравнений. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.

Основная цель — сформировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения, познакомить учащихся с некоторыми приемами решения тригонометрических уравнений.

Изучение темы начинается с рассмотрения конкретных простейших уравнений, решение которых иллюстрируется на единичной окружности, что хорошо подготовлено материалом главы «Тригонометрические формулы».

Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса вводятся до знакомства с обратными тригонометрическими функциями (тригонометрические функции изучаются в 11 классе) и иллюстрируются также на единичной окружности. В дальнейшем не следует уделять много внимания упражнениям на нахождение значений и использование свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса: все это будет закрепляться в ходе решения уравнений. При решении уравнений полезно иллюстрировать нахождение корней на единичной окружности: это позволит осознанно применять формулы корней.

Решение более сложных тригонометрических уравнений рассматривается на примерах уравнений, сводящихся к квадратным, уравнений вида, уравнений, решаемых разложением левой части на множители.

Материал в учебнике соответствует обязательному минимуму обучения, весьма доступен для учащихся 10 класса. Можно даже заметить, что авторы при решении уравнений предлагают иллюстрировать нахождение корней на единичной окружности, в дальнейшем это позволит избежать вопросов о количестве корней тригонометрического уравнения и частично ликвидирует трудность в восприятии учащимися таких элементов, как и. Однако у ученика 10 класса так и остаются невыясненными вопросы, связанные с понятием арксинуса, арккосинуса и арктангенса, с появлением периода в записи ответа к тригонометрическому уравнению, с появлением множителя и, наконец, проблема отбора корней так и остается открытой.

Т.е. мы видим, что в учебнике Ш. А. Алимова и др. решенным является вопрос учеников о количестве корней тригонометрического уравнения, но при изложении материала по тригонометрии мы снова сталкиваемся с известной схемой изложения материала «функция — преобразования — уравнения». Т. е. снова формулы выведены на первое место, а простейшим уравнениям внимания уделено недостаточно.

IV. Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. Ю. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин «Алгебра и начала анализа 10 класс».

Количество часов, отведенных на тему «Тригонометрические уравнения», совпадает с количеством часов, отведенных на данную тему в учебнике Ш. А. Алимова и др. Рассмотрим содержание учебного материала.

Уравнения,. Уравнения,. Решение тригонометрических уравнений. Различные приемы решения тригонометрических уравнений. Уравнения, содержащие корни и модули. Системы тригонометрических уравнений. Появление посторонних корней и потеря корней тригонометрических уравнений.

Структура изложения материала по теме «Тригонометрические уравнения» в данном учебнике во многом совпадает с учебником Ш. А. Алимова, поэтому подробно останавливаться на анализе этого учебника мы не будем. Отметим только то, что в данном учебнике частично есть ответ на вопрос учащихся об отборе корней. Также здесь до понимания учащихся доведен тот момент, что корни уравнения находятся по формуле

Значит, у нас остаются невыясненными только те моменты, которые связаны с множителем и с добавлением периода при записи корней тригонометрического уравнения.

V. М. И. Башмаков «Алгебра и начала анализа 10−11 класс»

Отметим, что в этом учебнике тема «Тригонометрические уравнения» отдельно не выделена и тригонометрические уравнения изучаются в контексте темы «Тригонометрические функции и тригонометрические уравнения». Поэтому здесь мы будем рассматривать содержание учебного материала по теме «Тригонометрические функции и тригонометрические уравнения».

На изучение всей темы здесь отводится 40 часов.

Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс; их свойства и графики. Периодичность функций. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений.

Основная цель: — изучить свойства и графики тригонометрических функций, научиться решать простейшие тригонометрические уравнения и познакомить учащихся с некоторыми приемами решения тригонометрических уравнений.

Таким образом, мы снова видим схему «функция — преобразования — уравнения». Более того, в этом учебнике не решается проблема осуществления отбора корней уравнения, но зато до понимания учащихся доводится смысл записи .

Кроме всего прочего, в данном учебнике представлен незначительный объем задач по теме «Тригонометрические уравнения» и нет возможности осуществления дифференцированного подхода к учащимся.

Таким образом, мы видим, что ни один из представленных учебников в полной мере не решает основных трудностей, возникающих при изучении темы «Тригонометрические уравнения». Почему? Может быть потому, что при изложении материала в этих учебниках не реализован один из основных дидактических принципов — «от простого к сложному». Рассмотрим еще один учебник, в котором этом принцип, на мой взгляд, реализуется в полной мере.

Для учебника, который будет представлен, характерна следующая схема построения материала — «функция — уравнения — преобразования». При изучении тригонометрии эта схема вызывает у учителей множество возражений, одно из которых заключается в том, что изучать тригонометрические уравнения, если учащиеся не знают формул тригонометрии, невозможно. А. Г. Мордкович отвечая на это возражение, говорит, что целесообразнее сначала изучить «простые модели» (таковыми в математике являются основные элементарные функции), а уж потом переходить к изучению «сложных моделей» (таковыми в математике являются сложные выражения, которые надо упрощать, используя формульный аппарат). А как обстоит дело в тригонометрических уравнениях? Примерно так же: сначала надо разобраться с «элементарными моделями», т. е. с простейшими тригонометрическими уравнениями и уравнениями, которые сводятся к простейшим с помощью алгебраических приемов, и только потом переходить к «сложным моделям», т. е. уравнениям, которые надо сначала долго и упорно «раскручивать», используя рутинный аппарат формул. Обычная методическая ошибка в изучении тригонометрии в школе в последние годы заключается в следующем: школьникам не дают возможности разобраться со спецификой собственно тригонометрических уравнений — простейших уравнений типа

А ведь в этих уравнениях заложено много новых дидактических компонентов, каждый из которых требует внимания, уважения, а значит, и времени. Перечислим эти компоненты.

1. До сих пор при решении уравнений школьникам встречался лишь случай конечного множества корней. Теперь же уравнение имеет бесконечно много корней. Надо это пережить, прочувствовать? Безусловно.

2. Странный (для школьников) «хвост» в записи корней: то, то; более того, само наличие параметра n уже должно насторожить и учителя, и ученика.

3. Требуют специального внимания входящие в состав формул корней обратные тригонометрические функции. Это тоже отдельный дидактический компонент.

4. Привыкнуть надо и к записи — это для учащихся далеко не просто.

5. Научив школьников решать уравнения вида, надо учесть, как тяжело даются им уравнения типа

Этим тоже надо специально заниматься и формулы тригонометрии тут ни причем.

6. Весьма трудным в методическом плане является вопрос об отборе корней тригонометрических уравнений. Самый простой выход из положения — не предлагать учащимся подобные примеры. Но это ослабит развивающую линию курса, заложенную в специфике тригонометрических уравнений. Иногда учителя говорят: мы учим отбору корней, но только в конце изучения раздела, посвященного тригонометрическим уравнениям. Это, на наш взгляд, методическая ошибка. Учить отбору корней надо именно на простейших уравнениях, заложив соответствующие сюжеты в систему упражнений. Ведь необходимо осознать структуру формулы корней, понять роль параметра в формуле корней. При этом полезно показать школьникам оба известных приема: перебор по параметру и решение двойного неравенства.

Ко всему этому надо привыкнуть. В большинстве учебников школьникам не дают такой возможности: уравнения практически сразу усложнены обилием тригонометрических формул и необходимостью выполнения соответствующих преобразований

Итак, как было уже сказано ранее, учебник А. Г. Мордковича предлагает нам иную схему построения материала. Попробуем проанализировать и этот учебник.

VI. А. Г. Мордкович Алгебра и начала анализа ч.1 учебник, А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа, ч.2. Задачник.

На изучение темы «Тригонометрические уравнения» отводится 10 часов и 16 часов — на тему «Преобразование тригонометрических выражений». Будем рассматривать методические особенности учебника в контексте этих двух тем, т.к. обучение решению тригонометрических уравнений имеет место и в теме «преобразования тригонометрических выражений».

Рассмотрим содержание учебного материала, предлагаемого в учебнике.

Тема «Тригонометрические уравнения». Первые представления о решении простейших тригонометрических уравнений. Арккосинус и решение уравнения. Арксинус и решение уравнения. Арктангенс и решение уравнения, арккотангенс и решение уравнения. Тригонометрические уравнения (два основных метода решения тригонометрических уравнений: разложение на множители и введение новой переменной, решение однородных уравнений)

Тема «Преобразование тригонометрических выражений». Синус и косинус суммы аргументов. Синус и косинус разности аргументов. Тангенс суммы и разности аргументов. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. Преобразование выражения вида к виду .

При изучении темы «Тригонометрические уравнения» автор учебника дает возможность школьнику прочувствовать специфику тригонометрических уравнений. Перечень основных уравнений здесь составляют уравнения простейшие, уравнения, при решении которых применяется метод введения новой переменной: однородные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным с помощью основного тригонометрического тождества. Также перед тем, как выводить формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, автор напоминает учащимся, что они уже знают, как решать уравнения с помощью числовой окружности, и только после этого вводит их в проблемную ситуацию, связанную с решением уравнений типа .

Только после того, как ввел учащихся в проблемную ситуацию, он вводит новые для них понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Тем самым, при такой схеме изложения выделяются два обстоятельства.

1. При такой схеме изложения реализуется метод проблемного изложения материала. Учащийся попадает в нештатную ситуацию, для описания которой недостаточно тех средств, которые имеются в его математическом языке. Становится очевидна необходимость введения нового термина, нового понятия, новой математической модели и нового обозначения.

2. При изложении материала не употребляется термин «обратные функции». Тем самым реализуется принцип доступности изложения учебного материала.

Кроме того, отличительной особенностью именно этого учебника является то, что для решения простейших тригонометрических уравнений (как и для решения однородных уравнений) в учебнике фактически используется алгоритм:

1) составить общую формулу;

2) вычислить значение арксинуса (арккосинуса и т. д.);

3) подставить найденное значение в общую формулу.

При изучении темы «тригонометрические уравнения» рассматриваются также примеры на отбор корней в тригонометрических уравнениях, причем, весь этот материал изучается до введения преобразований тригонометрических выражений.

После темы «Тригонометрические уравнения» изучается тема «Преобразования тригонометрических выражений», где приводятся уже специальные методы решения тригонометрических уравнений.

Можно отметить также, что в задачнике представлен широкий набор задач разного уровня сложности по теме «Тригонометрические уравнения», что позволяет проводить дифференцированную работу с учащимися на уроке.

Главное отличие учебника А. Г. Мордковича от остальных рассмотренных здесь учебников, как было уже сказано выше, состоит в новой схеме изложения материала: «функция — уравнения — преобразования». Данная схема построения материала позволяет в соответствии с уровнем развития учащихся, не перегружая его память большим количеством формул, научить ученика решать тригонометрические уравнения, причем, делать это вполне осознанно, т. е. с пониманием всей сути того, что он делает.

Из всего вышеизложенного можно сделать вывод, о том, что в представленном учебнике решаются все поставленные нами ранее вопросы.

1. Что же все-таки это такое — арксинус, арккосинус и арктангенс числа?

2. Почему раньше при решении уравнения мы получали конечное число корней, а теперь — бесконечное?

3. Откуда в записи корней тригонометрического уравнения появился «хвост» или ?

4. Что такое в записи корней уравнения?

5. Как осуществить отбор корней?

Перейдем теперь к практической части нашей работы, которая заключается в разработке системы упражнений по теме «Тригонометрические уравнения».

Глава II Система упражнений по теме «Тригонометрические уравнения»

При разработке системы упражнений мы, главным образом, будем опираться на структуру изложения материала, представленную в учебнике А. Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа 10 — 11 класс». На изучение темы «Простейшие тригонометрические уравнения» мы условимся отводить, 12 учебных часов и 15 часов отведем на изучение темы «Формулы тригонометрии и тригонометрические уравнения».

§1. Тема «Простейшие тригонометрические уравнения»

Урок № 1

Тема урока: «Первые представления о решении простейших тригонометрических уравнений».

№ 1. Решите уравнения

а); в) ;

б); г) .

№ 2. Решите уравнения

а); в) ;

б); г) .

№ 3. Решите уравнения:

а); в) ;

б); г) .

№ 4. Решите уравнения:

а); в) ;

б); г) .

№ 5. Решите уравнения:

а); в) ;

б); г) .

№ 6. Решите уравнения:

а); в) ;

б) г)

№ 7. Решите уравнения:

а); в) ;

б) г)

№ 8. Решите уравнения:

а); в) ;

б) г) .

№ 9. Решите уравнения:

а); б) .

№ 10. Решите уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Методические рекомендации по решению задач.

Задачи, представленные под номерами 1 — 5, являются задачами обязательного уровня, т. е. ученик, претендующий на оценку «3», должен уметь решать такие уравнения без использования формул для нахождения корней простейших тригонометрических уравнений. Задания, представленные под номерами 6 — 10, рассчитаны на более сильных учащихся, поэтому они могут быть использованы для дифференцированной работы с учащимися на уроке.

На уроке целесообразно решить те уравнения, которые представлены в заданиях под пунктами а) и б), а пункты в) и г) следует задать учащимся качестве домашнего задания.

Задания под номером 9 и 10 рассчитаны на учащихся, претендующих на отличную оценку.

Нетрудно видеть, что в заданиях, представленных в № 1 — № 4 требуется найти те значения t, которым соответствуют табличные значения синуса, косинуса или тангенса. Кроме того, данные задания не требуют выполнения дополнительного преобразования выражения, стоящего в правой части записи заданных уравнений. В задании № 3 приведены примеры, которые требуют от учащихся четкого понимания ограниченности функций синус и косинус.

Задания, представленные под номером, предполагают знание учащимися формул приведения и умение применять эти формулы при решении конкретной задачи.

Нетрудно видеть, что далее приведены задания, в которых учащиеся должны уметь применять основные преобразования выражений, изученные ими в курсе 7 — 9 класса.

Урок № 2

Тема урока: «Арккосинус и решение уравнения «

№ 1. Вычислите:

а); в) ;

б); г) .

№ 2. Вычислите:

а); в) ;

б); г) .