Показатели значений центра и размахов вариаций статистического распределения

Показатели значений центра и размахов вариаций статистического распределения

Цель работы: приобретение навыков обработки и обобщения индивидуальных значений одного и того же признака у различных единиц совокупности.

Задание: Определить среднюю арифметическую интервального вариационного ряда; медиану; моду; медиану и моду графически по известной кумуляте и гистограмме ряда распределения; размах вариации; среднее линейное отклонение; дисперсию; среднее квадратическое отклонение; квартильное отклонение; первую, вторую и третью квартили; относительные показатели вариации (коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации, относительный показатель квартильной вариации); показатель фондовой и децильной дифференциации.

Условие: В качестве условия используется сгруппированный вариационный ряд предшествующей лабораторной работы № 1 (см. рис. 1) и отраженный в таблице 4.

Рисунок № 9 — Ранжированный ряд.

Таблица № 4 — Группы банков с доходами от 50 до 100 млн $

Выполнение задания: Изучение средних величин первичной статистической информации имеет важное значение для анализа изучаемого признака в исследуемой совокупности разрозненных данных. Средняя величина является обобщающей характеристикой представленного ряда величин, отражает его типичный уровень в конкретных условиях определенного времени и места.

1. Средняя арифметическая дискретного ряда рассчитывается по формуле:

(4).

Необходимо сложить значения сгруппированного вариационного ряда и поделить на количество банков.

.

В интервальном вариационном ряду средняя арифметическая определяется по другой формуле: вариация дифференциация медиана мода.

(5).

где — середина соответствующего интервала варианта значений признака;

— частота повторений данного варианта; j — номер варианты.

Сумма произведений серединного интервала значений и количества банков (частота), деленная на сумму банков.

.

В таблице № 5 приведены значения середин соответствующих интервалов ряда вариант.

Таблица № 5

2. Медиана соответствует варианте, стоящей в середине ранжированного ряда. Ее положение в ряду определяется номером:

(6).

где N — число единиц совокупности. В данном примере N = 16 и =8,5. Для определения величины медианы интервального вариационного ряда (см. табл. 4) используется формула:

(7).

где — нижняя граница медианного интервала; h — величина интервала; - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; - частота медианного интервала.

Рисунок № 10 — Кумулята ряда распределения.

По накопленной частоте Si (см. табл.№ 2 в лаб. раб.№ 1) определяем, что медиана находится в интервале 1,33−1,56 и вспомогательные параметры соответственно равны: = 1,33;

h =0,222; = 6; = 4.

=1,33+0,222*(8,5−6)/4=1.47.

Полученное значение медианы представлено графически как абсцисса середины промежутка ординат накопленных частот в пределах от 0 до 16 кумуляты ряда распределения.

Практически это означает, что 50% банков с доходами от 50 до 100 млн $ имеют рентабельность активов менее 1,47, остальные — более 1,47.

3. Мода — наиболее часто встречающееся значение признака совокупности.

Рисунок № 11 — Гистограмма частот.

Её величину определяют по формуле:

(8).

где — нижняя граница модального интервала; - частота, соответствующая модальному интервалу; - предмодальная частота; - послемодальная частота.

Для приведенного вариационного ряда для определения Мо используем формулу (5), тогда:

=1,33+0,222*((4−2)/((4−3)+(4−2)))=1,47.

Мода, как и медиана, может быть определена графически по известной гистограмме. Для этого правая вершина модального прямоугольника соединяется с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левая вершина модального прямоугольника — с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых является модой ряда распределения.

Таким образом, в данной совокупности наиболее часто встречается рентабельность активов, равная 1,47 для банков с доходами от 50 до 100 млн $.

Замечание 1. Различаются моды дискретного и вариационного интервального рядов. Первые устанавливаются непосредственно по определению, вторые применением формулы 7.

Замечание 2. В симметричных рядах все перечисленные средние показатели одинаковы X=Me=Mo. Поэтому для общей характеристики ряда достаточно вычислить среднюю арифметическую величину.

Замечание 3. Для асимметричных рядов распределения медиана является наиболее предпочтительной характеристикой центра распределения, потому что находится между средней арифметической и модой.

4. Размахом вариации называется разность между максимальным и минимальным значениями признака совокупности.

R = x_max? x_min, R = 2−0,89 = 1,11 (9).

5. Используя данные лабораторной работы № 1, рассчитать среднее линейное отклонение d по следующим формулам:

для сгруппированных данных (cм. таб. № 2).

(10).

где K — число групп совокупности, наибольшее значение варианты;

для несгруппированных данных (см. рис. № 1).

(11).

Тогда, применяя формулы (10) и (11) в среде Excel (рис 10, рис. 11), получаем:

.

Рисунок 12 — Расчет среднего линейного отклонения d

Рисунок 13 — Дисперсия.

6. Дисперсия — это средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии. Различают дисперсию для сгруппированных данных:

(12).

где K — число групп совокупности, наибольшее значение варианты.

Для несгруппированных данных:

(13).

Дисперсия несгруппированных данных:

Среднее квадратическое отклонение: у = 0,308 655.

Дисперсия сгруппированных данных:

Среднее квадратическое отклонение у= 0,313 906.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретного ряда представлены на рисунке 12.

7. Квартили — значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные специальным образом. Четверть единиц должна быть меньше по величине, чем Q1; другая четверть единиц заключена между значениями Q1 и Q2; третья четверть единиц — между значениями Q2 и Q3; остальные — превосходят Q3.

Рисунок 14 — Среднеквадрическое отклонение дискретного ряда.

Значения Q_i вычисляются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы:

(14).

где — нижняя граница интервала, в котором находится первая квартиль; - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится первая квартиль; - частота интервала, в котором находится первая квартиль. Таким же образом определяются Q2 и Q3.

(15).

(16).

Вычислим первую, вторую и третью квартили по формулам (14) — (16):

Q₁=(1,11+0,222*((((16+1)/4)-2)/4)= 1,23 487.

Q₂=(1,33+0,222*((((16+1)/2)-6)/4)=1,46 875.

Q₃=(1,56+0,222*(((3*(16+1)/4)-10)/3)= 1,7635.

Рисунок 15 — Расчет квартилей в EXCEL.

Сравним вычисленные величины квартилей с величинами, полученными применением статистических функций «Квартиль» порядка 1, 2 и 3 к дискретному ранжированному ряду (см. рис. 13) в программной среде Excel.

Замечание 5. Вторая квартиль Q₂ должна совпадать с медианой, определенной из формулы (4) для интервального вариационного ряда.

Квартильное отклонение Q можно использовать для обобщения характеристики вариаций признаков в рассматриваемой совокупности, если по каким-либо причинам невозможно определение крайних значений рядов распределения с открытыми границами, то:

(17).

Для симметричных или малоасимметричных распределений:

Q=(1,7635−1,23 487)/2=0,264 312/3*0,31 391=0,20 927.

8. Относительные показатели вариации используются для сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

Коэффициент осцилляции:

(18).

Относительное линейное отклонение:

(19).

Коэффициент вариации:

(20).

Относительный показатель квартильной вариации:

(21).

= 1,11/1,4725*100%=75,38%.

=0,26/1,4725*100%=17,53%.

=0,31 391/1,4725*100=21,32%.

=0,26 431/1,469*100=18%.

Совокупность является однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Поскольку v = 21,32%<33%, то по размеру рентабельности и прибыли совокупность банков является однородной.

9. Показатель фондовой дифференциации рассчитывается по первичным данным и характеризует отношение средней величины из 10% наибольших значений совокупности к средней величине из 10% наименьших значений совокупности:

(22).

Два коммерческих банка, что составляет 10% от общего количества банков, имеют наибольший уровень рентабельности 1,92 и 2, поэтому =(1,92+2)/2=1,96. И два коммерческих банка имеют наименьший уровень рентабельности 0,89 и 1,01, поэтому =(0,89+1,01)/2=0,95. Следовательно, коэффициент фондовой дифференциации будет таким:= 1,96/0,95 =2,06.

Это означает, что размер рентабельности у 10% банков с наивысшими доходами в 2,06 раза превышает размер прибыли 10% коммерческих банков с наименьшими доходами.

Для определения децильной дифференциации используются формулы расчета квартилей.

Сначала находится номер первой децили:

затем девятой ;

=1,7, =15,3.

=1,11+0,222*((1,7−2)/2)=1,0767.

=2+0,222*((15,3−15)/2)=2,0333.

Коэффициент децильной дифференциации устанавливается из соотношения:

(23).

= 2,0333/1,0767= 1,89.

Это означает, что отношение децили наиболее рентабельных банков в совокупности к децили наименее рентабельных банков составляет 1,89.

Вывод

Достижение навыков обработки и обобщения индивидуальных значений одного и того же признаков у различных единиц совокупности. Для начала были произведены расчеты среднего арифметического дискретного и интервально вариационного рядов; по формулам были высчитаны медиана и мода. В симметрических рядах все перечисленные показатели одинаковы X=Me=Mo=1,47. Поэтому для общей характеристики ряда достаточно вычислить среднюю арифметическую величину. Затем были произведены расчеты среднего линейного отклонения для сгруппированных и несгруппированных данных, результаты имеют незначительное различие — D1=0,26; D2=0,253. Дисперсия также рассчитывается для двух типов данных, значение практически равное. Аналогично, что среднее квадратическое отклонение соответственно равно 0,31. Далее квартили вычисляются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы. Вторая квартиль Q2 должна совпадать с медианой для интервального вариационного ряда. Относительные показатели вариации такие как, коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации, относительный показатель квартильной вариации. Более того, совокупность является однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Поскольку v = 21,32%<33%, то по размеру рентабельности и прибыли совокупность банков является однородной.

В итоге коэффициент фондовой дифференциации демонстрирует, что размер рентабельности у 10% банков с наивысшими доходами в 2,06 раза превышает размер прибыли 10% коммерческих банков с наименьшими доходами. Коэффициент децильной дифференциации устанавливает, что отношение децили наиболее рентабельных банков в совокупности к децили наименее рентабельных банков составляет 1,89. Таким образом, уровень рентабельности наиболее прибыльных банков в 1,89 раз выше уровня наименее прибыльных банков.

• 1. Теория вероятностей и математическая статистика: Метод. указ. Ч. 2 / Сост. Т. В. Авдеенко, Т. С. Зайцева. — Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2007. — 100 с.
• 2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. шк., 1997.
• 3. Калинина В. Н., Панкин В. Ф. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1994.