Другие характеристики вариационного ряда

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда. Укажем главные из них.

Модой М" называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Например, для ряда варианта…1 4 7 9.

частота…5 1 20 6.

мода равна 7.

Медианой т,. называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т. е. п = 2k + 1, то т_е = х_к+{, при четном n = 2k медиана.

Например, для ряда 2 3 5 6 7 медиана равна 5; для ряда 2 3 5 6 7 9 медиана равна (5 + 6)/2 = 5,5.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

Например, для ряда 13 4 5 610 размах равен 10−1 = 9.

Размах является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.

Средним абсолютным отклонением 0 называют среднее арифметическое абсолютных отклонений:

Например, для ряда имеем^[1][2][3][4]

Убедиться, что сумма произведений отклонений на соответствующие частоты равна нулю.

4. Дано распределение статистической совокупности:

х. 4 7 10 15.

п. 10 15 20 5.

Найти дисперсию совокупности: а) исходя из определения дисперсии; б) пользуясь формулой D = х — [.г].

Отв. D = 9,84.

5. Найти внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии совокупности, состоящей из трех групп:

первая группа х 12 8.

я. ЗЙ 15 5.

вторая группа х. 1 0.

я' 10 15.

третья группа х. 3 8.

п. 20 5.

Отв. D = 4,6;D = 1; D , =5,6.

Biirp ^{7 7} межгр ⁷ общ ⁷

6. Найти внутригрупповую, межгруииовую и общую дисперсии совокупности, состоящей из двух групп:

первая группа х. 2 7.

п. 6 4.

вторая группа х. 2 7.

и. 2 8.

Отв. D =5;D =1 , D, =6.

внгр ⁷ межгр ⁷ общ.

7. Найти выборочную и исправленную дисперсии вариационного ряда, составленного по данным выборкам:

варианта … 1…2 5 8 9.

частота …3…4 6 4 3.

Отв. о =8,4;, v = 8,84.

В задачах 8—9 даны среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем выборки нормально распределенного признака. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью.

8.0 = 2, х_в = 5,40, я=10,у = 0,95.

Отв. 4,16 <�а< 6,64.

9.0 = 3, х_в =20,12, я = 25, у =0,99.

Отв. 18,57 <�а< 21,67.

10. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней будет равна 0,2, если среднее квадратическое отклонение равно 2.

Указание. См. замечание 2, § 15.

Отв. я = 385.

В задачах 11—12 даны «исправленное» среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем малой выборки нормально распределенного признака. Найти, пользуясь распределением Стыодента, довери;

тельные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью.

ll.s=l_f5, х_и = 16,8, п= 12, у = 0,95. Отв. 15,85 < ж 17,75.

12.5=2,4, *_в=14,2, п = 9, у = 0,99.

Отв. 11,512 <�а< 16,888.

13. По данным 16 независимых равноточных измерений физической величины найдены х_в = 23,161 и 5=0,400. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины и точность измерений, а с надежностью 0,95.

Отв. 22,948 < а < 23,374; 0,224 < а < 0,576.

14. Найти доверительный интервал для оценки неизвестной вероятности р биномиального распределения с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие появилось 18 раз.

Отв. 0,200.

15. Найти методом моментов точечную оценку эксцесса E_k = mj& - 3 теорети ч ес ко го рас 11 редел е н ия.

Отв. е_к=т₄/о*-3.

16. Найти методом моментов точечные оценки параметров, а и Р гаммараспределения.

/(х) =-: —х^ае~^х^ (а>-1, р> 0, х>0).

Р^а+ Г (а + 1) _п

Указание. Сделать подстановку у=х/5 и, используя гамма-функцию.

Г (п) = J xⁿ~^]e~^xcbc, найти сначала М (Х) = (а + 1) р, D (X) = (а + 1) р², а за- о тем приравнять М (Х) = х_в, D (X) = D_a.

Отв. а* = х] /D_u -1; Р* = Djx_B.

17. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x_t, x₂, …, х_п точечную оценку неизвестного параметра р гамма-распределения, если параметр, а известен.

Указание. Использовать плотность гамма-распределения, приведенную в задаче 16.

Отв. р* = *_в/(а + 1).

• [1] Среднее абсолютное отклонениеслужит для характеристики рассеяния вариационного ряда. Коэффициентом вариации V называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклоненияк выборочной средней: Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеянияпо отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочнойсредней, у которого коэффициент вариации больше. Коэффициентвариации — безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеютразличную размерность, например если варианты одного ряда выражены в сантиметрах, а другого — в граммах. Замечани е. Выше предполагалось, что вариационный ряд составлен по данным выборки, поэтому все описанные характеристики называютвыборочными; если вариационный ряд составлен поданным генеральнойсовокупности, то характеристики называют генеральными. Задачи
• [2] Найти групповые средние совокупности, состоящей из двух групп: первая группа… х. 0,1 0,4 0,6 я. 3 2 5 вторая группа х…0,1 0,3 0,4 я' 10 4 6 Отв. х, = 0,41; х2 = 0,23.
• [3] Найти общую среднюю по данным задачи 1 двумя способами: а) объединить обе группы в одну совокупность; б) использовать найденные в задаче 1 групповые средние. Отв. х = 0,29.
• [4] Дано распределение статистической совокупности: х. 1 4 5 я' 6 113