Основы теории вероятностей

Задача 1.

Стрелок стреляет по мишени. Вероятность падания в мишень при одном выстреле р = 0,7. Какова вероятность того, что при пяти выстрелах в мишени будут ровно два попадания?

Решение. Поскольку от выстрела к выстрелу вероятность попадания не меняется, а события попадания в мишень события независимые, то применима теорема Бернулли:

вероятность теорема бернулли лаплас Рm, n = Cnm pm qn — m,.

где Рm, n — вероятность того, что в n испытаниях интересующее нас событие реализуется ровно m раз;

Cnm — число сочетаний из n элементов по m элементам;

q = 1- р.

Имеем.

Р2,5 = • 0,72 • 0,33 = • 0,49 • 0,027 = • 0,49 • 0,027= • 0,49 • 0,027=0.1323.

Ответ: 0.1323.

Задача 2.

Вероятность пассажиру «маршрутки» попасть в аварию в дождливую погоду равна 0,05; в сухую погоду — 0,01. По прогнозу погоды ожидается, что предстоящий день будет дождливым с вероятностью 0,8. Какова вероятность попасть в аварию, если добираться до места проведения занятий на «маршрутке» ?

Решение. Задача на применение формулы полной вероятности.

Р (A) = P (Hi) • P (A/Hi),.

где Р (A) — вероятность интересующего нас события А;

P (Hi) — вероятность реализации i-й гипотезы;

P (A/Hi) — условная вероятность реализации события А, при реализации i-й гипотезы;

n — общее число гипотез.

При этом должно выполняться условие Р (Hi) = 1.

Применительно к нашей задаче имеем Р (H1) = 0,8 — вероятность дождливой погоды. Р (H2) = 1 — P (H2) = 1 -0,8 = 0,2 — вероятность сухой погоды. Тогда вероятность попасть в аварию P (A) = 0,8 • 0,05 + 0,2 • 0,01 = 0.04 + 0,002 = 0,042.

Ответ: 0,042.

Задача 3.

Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попасть в мишень у первого стрелка Р1 = 0,4, у второго Р2 = 0,7. Какова вероятность поразить мишень? Какова вероятность того, что в мишень будет поражена только одним стрелком?

Решение. Задача на сложение и умножение вероятностей.

Для того чтобы мишень была поражена, достаточно, чтобы при двух выстрелах, произведенных двумя стрелками, в мишени было хотя бы одно попадание.

Это событие противоположно событию не поражения мишени. Тогда сначала вычисляем вероятность не поражения мишени.

Это произойдет тогда, когда и первый, и второй стрелок промахнутся.

Р (не А) = (1 — 0,4)•(1 — 0,7) = 0,18.

Р (А) = 1 — Р (не А) = 1 — 0,18 = 0,82.

В мишени будет одно попадание, если первый стрелок попадет в мишень, а второй — совершит промах, или первый стрелок совершит промах, а второй — попадет в цель. События «попадание в мишень» и «промах» независимые, а события, в результате которых в мишени только одно попадание, не совместны. Поэтому можем вычислить искомую вероятность того, что в мишени окажется только одно попадание по схеме:

Р1 = 0,4 • (1 — 0,7) + (1 — 0,4) • 0,7 = 0,12 + 0,42 = 0,54.

Ответ: а) 0,82; б) 0,54.

Задача 4.

Пусть требуется организовать работу по озеленению территории города. Для этого требуется завезти на территорию чернозем. Но количество чернозема, взятого с поля, зависит от погодных условий. Поэтому количество тонн чернозема, взятого за один день с поля, является случайной величиной с рядом распределения.

Сколько тонн чернозема необходимо подготовить на поле, чтобы его хватило для вывоза с поля в течение квартала (90 дней) с вероятностью 0,9545?

Решение. Задача на применение центральной предельной теоремы. Ее целесообразно решать в следующей последовательности.

• 1) Определяем математическое ожидание количества тонн чернозема, вывезенного с поля за один день. М1 = 0 • 0.1+ 20 • 0.7 + 40 •0.2= 22 т.
• 2) Определяем дисперсию количества вывезенного за день чернозема:

D1 = M1[X2} - M12 = 0 • 0.1 + 202 • 0.7 + 402 •0.2 — 222 = 116 т2.

• 3) Считаем, что количество взятого с поля за один из каждых 90 дней чернозема — независимые одинаково распределенные случайные величины. Тогда в соответствии с центральной предельной теоремой закон распределения суммы таких случайных величин приближенно нормальный с параметрами М90 = 90М1 и D90 = 90D1. При этом известно, что вероятность отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания в любую сторону менее, чем на «одну сигму» равна 0,6827, на «две сигмы» — 0, 9545, на «три сигмы» — 0,9973, где «сигма» — среднее квадратическое отклонение.
• 4) Определяем математическое ожидание тонн чернозема, взятого с поля за 90 дней: М90 = 90 • 22 = 1980 т
• 5) Определяем дисперсию и среднее квадратическое отклонение тонн чернозема, взятое с поля за 90 дней: D90 = 90 • 116 = 10 440 т2.
• ?90 = = 102.176 т.
• 6) Для того, чтобы с вероятностью 0,9545 хватило чернозема для вывоза в течение квартала, его на поле должно быть на «две сигмы» больше математического ожидания.

Т.е. количество тонн = М90 + 2?90 = 1980 + 2 • 102.176 = 2184.352 т.

Ответ: 2184.352 т.

Задача 5.

Пусть задана матрица значений доходов, которые может получить фирма при принятии решений в определенных ситуациях.

Принять оптимальное решение, руководствуясь «правилом Лапласа» .

Решение. Данная задача относится к классу задач принятия решения в условиях полной неопределенности. Матрица последствий Q отражает величину доходов qij, которые может получить фирма, когда лицо, принимающее решения, примет i-е решение, а ситуация будет развиваться по jу варианту. Здесь i — номер строки матрицы, j — номер столбца матрицы Q. Таким образом, лицо, принимающее решения, вольно в выборе номера строк, но номер столбца после выбора номера строки реализуется случайным образом, причем никаких предпочтений у лица, принимающего решения, насчет номера столбца нет. Критерий Лапласа. Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т. е.:

q1 = q2 = … = qn = 1/n. qi = ¼.

Выбираем из (5.5; 7.25; 6.5; 5.5) максимальный элемент max=7.25 Условию максимума среднего ожидаемого дохода соответствует решение № 2, выбираем стратегию N=2. Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A2.

Ответ: Правило Лапласа рекомендует принять второе решение.