ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися прямыми

Серединная плоскость скрещивающихся прямых. Найдем геометрическое место середин отрезков, концы каждого из которых принадлежат двум данным скрещивающимся прямым a и b.

Решение 1. Пусть M — произвольная точка искомого множества, т. е. середина некоторого отрезка AB, A? a, B? b (рис. 5). Построим пару параллельных плоскостей a и b, содержащих соответственно прямые a и b. Проведем через точку M плоскость g, параллельную этим плоскостям. В плоскости г лежат середины всех отрезков с концами на a и b, в частности, и середины всех отрезков с концами на прямых a и b. Плоскость г называется серединной плоскостью скрещивающихся прямых.

Рис. 5.

Обратно, пусть точка M — произвольная точка серединной плоскости г. Прямая l пересечения плоскостей (M, a) и (M, b) пересекает каждую из прямых a и b. Следовательно, точка M принадлежит искомому ГМТ.

Итак, геометрическим местом середин отрезков, концы каждого из которых принадлежат двум скрещивающимся прямым, является серединная плоскость г этих прямых.

Решение 2 (методом преобразований). Фиксируем точку A прямой a. Гомотетия с центром A и коэффициентом ½ отображает прямую b на прямую b0 b (рис. 6), на которой лежат середины отрезков AB для любой точки B прямой b. Аналогично фиксируем точку B. Гомотетия с центром B и коэффициентом ½ отображает прямую a на прямую а0. Если перемещать одновременно точку A по прямой a, а точку B по прямой b, то объединение всех прямых a0 и b0 — образов прямых a и b при указанных гомотетиях есть серединная плоскость г, содержащая середины всех отрезков AB.