Развитие функциональных чисел

Мариупольский математик С. Ф. Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа — это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.

История зарождения и развития функциональных чисел чрезвычайно длительна и богата. Их совершенствовали уже ученые Древнего Востока (Х в. до н. э.), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога; античные греки (III в. до н.э.), исследуя конические сечения; Галилей (1638 г.), проверяя опытом свои формулы движения тел. Впервые ясно и отчетливо функциональные числа были представлены Лагранжем (1797 г.) в теории функций действительного переменного и ее приложении к разнообразным задачам алгебры и геометрии. Однако в наши дни функциональные числа продолжают совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт: весь математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами и максимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением, уравнениями и методами их решения.

Но еще более значительными были успехи математики при добавлении способности моделировать функциональную зависимость комплексным числам (Даламбер, 1746 г.). Так возникли комплексно-функциональные числа (9-ый уровень обобщения) в форме функций комплексного переменного, с помощью которых были построены многие полезные математические модели сложных процессов, упрощенно доказательство многих теорем, выполнено описание двухмерных векторов, скалярных и векторных полей, отображение одной плоскости на другую и т. д.

Благодаря соединению способности моделировать функциональную зависимость с векторными числами (Гамильтон, 1853 г.), возникли векторно-функциональные числа (10-ый уровень обобщения). А это — векторный анализ, векторные функции, моделирование переменных полей в сплошных средах и многие достижения теоретической физики.

Добавление матричным числам способности моделировать функциональную зависимость (Клебш, 1861 г.) создало матрично-функциональные числа (11-ый уровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление линейных векторных пространств и линейных преобразователей, много новых математических моделей, тензорный анализ пространств с кривизной. теорию поля в физике и т. д. [1].

Если добавить трансфинитным числам Кантора способность моделировать функциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-функциональные числа (12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного переменного, которые, благодаря максимальному на сегодняшний день обобщению, позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач.