Парадоксы и развитие математики

Здесь приведено большое количество парадоксов, связанных с теорией множеств, и это не удивительно, так как с ними связаны недавние события в истории математики. Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 году и постепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов [5]. Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в анализе и геометрии. Но в тот самый момент, когда смелое видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда его результаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся с первым из таких парадоксов. Это произошло в 1895 г. Кантор не был способен в то время предложить разрешение этого парадокса, ситуация не казалась слишком серьезной: этот первый парадокс возникал в довольно специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и, вероятно, была надежда, что легкий пересмотр доказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как это не раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах.

Этому оптимизму был, однако, нанесен решительный удар. В 1902 г. Бертран Рассел поразил философов и математиков, указав на парадокс, относящийся к самым началам теории множеств и показывавший, что в основаниях этой дисциплины что-то неблагополучно. Но парадокс Рассела потряс основы не только теории множеств: в опасности оказалась и сама логика. Требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести парадокс Рассела в противоречие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основных логических понятий. Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарном уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых «точных» наук — логики и математики.

Парадокс Рассела явился истинным потрясением для тех немногих мыслителей, которые занимались проблемами обоснования на рубеже прошлого и нынешнего столетий. Дедекинд в своих глубоких исследованиях о природе и назначении чисел положил в основу арифметики отношение принадлежности — его метод «цепей» может даже быть взят за основу в теории вполне упорядоченных множеств — и использовал понятие множества в его полном канторовском смысле для доказательства существования бесконечных множеств. Вследствие удара, нанесенного ему парадоксом Рассела, Дедекинд на некоторое время приостановил публикацию своих исследований, основу которых он счел расшатанной [5]. Еще более трагичной была судьба Фреге [6]. Он считал, что основным вопросом, на который нужно ответить при обосновании арифметики, является вопрос о том, благодаря чему мы имеем право считать числа определенными, конкретными предметами. Ведь «численность» множества — это свойство, а не предмет, и тем не менее мы оцениваем численность с помощью натурального числа, воспринимаемого нами именно как предмет. Происходит опредмечивание: свойство превращается в предмет. Значит, заключает Фреге, без оператора опредмечивания не обойтись. И Фреге формулирует «Основной закон»: «Каждой функции f соответствует ее график Гf». Таким образом, в предметную область кроме исходных, первоначальных предметов, обозначаемых «Истина» (И) и «Ложь» (Л), попадают и новые предметы — графики функций. Фреге хотел сконструировать универсальную предметную область, в которой все предметы были бы абсолютно «равноправны». Но именно это и привело к смешению иерархий. Ведь предметы из некоторого множества и функции, определенные на этом множестве, — это разные вещи, относящиеся к совершенно разным иерархическим уровням. В предисловии к своей фундаментальной работе «Основные Законы арифметики» написал следующее: «Насколько я вижу, спорным может оказаться только Основной закон… Во всяком случае, я указываю на это место, как на место, от которого зависит окончательное решение». В первой же фразе послесловия Фреге отмечает, что фундамент его здания поколеблен Расселом.

Нет ничего удивительного в том, что многие математики, только-только начавшие воспринимать теорию множеств как полноправного члена сообщества математических наук, изменили свою позицию. Типичный пример этой перемены — Пуанкаре, один из ведущих математиков того времени, до этого сам содействовавший пропаганде и распространению идей теории множеств. В течение ряда лет после 1902 г. его отношение к мерам, предлагавшимся Расселом для реабилитации теории множеств, было неизменно насмешливым [7]. Надо сказать, что сам Кантор ни на минуту не терял веры в свою теорию в ее полном «наивном» объеме, хотя и оказался не в состоянии ответить на вызов, брошенный ему парадоксом Рассела. Другие ученые заявляли, что нечего особенно волноваться по поводу этого и других парадоксов, и предостерегали против приписывания «искусственно построенным» парадоксам сколько-нибудь решающего значения. Трудно, однако, отстаивать эту позицию. Ведь это не может избавить серьезного мыслителя от обязанности критической проверки теорем, использующих общее понятие порядкового числа; презрительная же ссылка на «искусственный» характер многих парадоксов не более убедительна, чем, скажем, утверждение о том, что каждая непрерывная функция дифференцируема, поскольку непрерывную недифференцируемую функцию можно считать «искусственной». С другой стороны, хорошо известно, что во всей математике — и в других науках — изучение самых общих, во всей их неограниченной общности, понятий часто оказывалось чрезвычайно ценным для развития науки. Наивно думать, что трудности можно преодолеть, просто избегая рассмотрения общего случая. Наконец, резко разграничивать математику (которая сама по себе, конечно, хороша!) и логику (которой каждый здравомыслящий математик должен ради блага своей души избегать) по меньшей мере, бесполезно: математика постоянно использует логику, хотя это использование зачастую замаскировано и явно не учитывается; если же кто-либо хочет ограничить это применение, то такие ограничения следовало бы не затемнять, а явно и четко формулировать.

Верно, что область собственно математических рассуждений, как в анализе, так и в геометрии не затрагивается непосредственно действием парадоксов. Парадоксы возникают главным образом в области крайних обобщений, за пределами фактического применения понятий геометрии и анализа. Принять меры к тому, чтобы избежать этой опасной области, в общем нетрудно. Это и есть главная причина того, что многие математики так быстро оправились после первого шока, вызванного открытием парадоксов. Тот факт, что многие предпочитали говорить не о противоречиях, а о парадоксах свидетельствует о том, что в глубине души большинство современных математиков не хотели быть изгнанными из рая, в который их ввели открытия Кантора.

Двадцатое столетие — не первый период, в течение которого математика испытывала кризис основ. Чтобы получить более полное представление о влиянии парадоксов на развитие математики, стоит хотя бы в общих чертах рассмотреть прежние кризисы.

В пятом веке до нашей эры, вскоре после одного из самих блестящих достижений в истории человечества, а именно превращения геометрии в точную дедуктивную науку, были сделаны два крайне парадоксальных открытия. Первым открытием явилось то, что не все геометрические сущности одного и того же рода соизмеримы друг с другом, так что, например, диагональ квадрата не может быть измерена посредством никакой кратной части его стороны (в современной терминологии — что квадратный корень из 2 не есть рациональное число). Вторым открытием явились парадоксы школы элеатов (Зенон и его круг), развивавших с многими вариациями тему о невозможности построения конечных величин из бесконечно малых частей. Результатами этого потрясшего греческих математиков кризиса явились два еще более блестящих достижения. Первое из них — теория пропорций, содержащаяся в 5-й и 10-й книгах Начал Евклида; второе — изобретенный Архимедом метод исчерпания, явившийся не чем иным, как строгим, хотя и недостаточно общим, провозвестником современных теорий интегрирования. Теория пропорций могла бы дать грекам возможность определить понятие иррационального числа и развить, таким образом, арифметическую теорию континуума, однако они этого почему-то не сделали.

Теория пропорций греков была скоро забыта, причем настолько основательно, что когда во второй половине XIX века были построены строгие арифметические теории иррациональных чисел, то сразу даже не пришло в голову, что новые методы не слишком принципиально отличались от тех, которыми уже за две тысячи лет до этого владели греческие математики. В XVII и XVIII веках под впечатлением мощи и плодотворности новоизобретенного исчисления бесконечно малых большинство математиков лихорадочно применяли его методы, не задумываясь достаточно внимательно над тем, насколько прочна его основа. Но в начале XIX века уяснение шаткости этой основы привело ко второму кризису оснований математики.

Стремясь преодолеть этот кризис, Коши (в 30-х годах прошлого века) показал, как безответственное употребление бесконечно малых может быть заменено корректным использованием пределов, а Вейерштрасс и другие (в 60-х—70-х годах) продемонстрировали возможность полной «арифметизации» анализа и теории функций. Это упрочение основ было настолько успешным, что Пуанкаре в 1900 г. в выступлении на Втором международном математическом конгрессе, посвященном роли интуиции и логики в математике, смог гордо заявить, что математика уже обрела совершенно прочный и надежный фундамент. По его словам, «теперь в математике остаются только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел… Математика… полностью арифметизирована… Мы можем сказать сегодня, что достигнута абсолютная строгость» .

Но по иронии судьбы, в то самое время, к которому относится гордое заявление Пуанкаре, уже выяснилось, что теория «бесконечных систем целых чисел» — т. е. попросту часть теории множеств — весьма далека от абсолютной надежности своих основ. И не столько возникновение парадоксов в основаниях теории множеств само по себе, сколько тот факт, что различные попытки преодолеть эти парадоксы выявили далеко идущие и неожиданные расхождения мнений и точек зрения по поводу самых основных математических понятий (начиная уже с понятий множества и числа), что вынуждает говорить о третьем кризисе основ, который математика возможно переживает и до сих пор.