Парадоксы как петли

Выше было показано, что игнорирование иерархических различий приводит к противоречиям и парадоксам. Проводимые при этом рассуждения имеют иногда вид странных петель: исходя из некоторого утверждения, относящегося к определенному иерархическому уровню, мы по ходу рассуждения попадаем на другой иерархический уровень и уже на этом новом уровне каким-то странным образом приходим к первоначальному утверждению.

Петля рассуждения замыкается невозможным образом: на новом уровне мы обнаруживаем то утверждение, которое на самом деле относится к первоначальному иерархическому уровню. Так получилось и с парадоксом лжеца.

Приведем еще несколько примеров странных петель.

Парадокс Рассела (О парикмахере).

Рассмотрим парадокс парикмахера, найденный Бертраном Расселом (1872−1970). Допустим, что в некотором поселке нет бородатых людей и все мужчины бреются либо сами, либо у местного парикмахера. Допустим также, что в этом поселке принято правило, согласно которому парикмахер бреет тех и только тех, кто не бреется сам. Спрашивается: бреет ли парикмахер самого себя? Оказывается, что ни «да», ни «нет» ответить нельзя. Если парикмахер бреет самого себя, то он относится к категории тех, кто бреется сам, а людей этой категории, согласно принятому правилу, он не должен брить. Значит, он не должен себя брить. Если же парикмахер не будет брить самого себя, то он относится к категории тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз и должен брить. Значит, он должен бриться сам.

Получается странная, невозможная петля: если парикмахер бреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он, напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущее рассуждение. Получается странная, бесконечная заколдованная петля, из которой нет выхода. Объяснение же парадокса состоит в том, что при формулировке правила, которым должен руководствоваться парикмахер, не были учтены иерархические различия. Правило должно относиться ко всем жителям поселка, кроме парикмахера, так как парикмахер в данном случае относится к другой иерархической категории.

Если же не учитывать иерархических различий и не уточнять правило, которым должен руководствоваться парикмахер, то парадокс говорит только о том, что такого парикмахера быть не может.

Парадокс Маннури (О мэре).

Похожим на предыдущий парадокс является парадокс «О мэре» голландского математика Геррита Маннури (1867−1956). В этом парадоксе речь идет о стране, состоящей из отдельных областей. Каждая из которых имеет мэра, который, однако, не обязательно должен жить в той же области, которой он управляет. На основании этой оговорки всех мэров можно разделить на две категории. К одной из них относятся те мэры, которые живут в той же области, которой они управляют, — их мы назовем «хорошими»; к другой относятся все те, которые не живут в той области, которой они управляют, — этих мы назовем «плохими» .

Известно также, что президент страны выделил для плохих мэров отдельную область и издал приказ, обязывающий всех плохих мэров переселиться именно в эту новую область. Кроме того в приказе было сказано, что в новой области никто кроме плохих мэров проживать не может. Очевидно, новая область должна была иметь и своего мэра. В связи с этим спрашивается: каким будет этот мэр — хорошим или плохим?

Если он хороший, то он должен жить в той области, которой он управляет, но там он жить не может, так как эта область создана только для плохих мэров, а он, по предположению, хороший.

Если же он плохой, то с одной стороны из определения понятия «плохой» следует, что он не должен жить в той области, которой он управляет, а с другой стороны он должен жить именно в этой области, так как она специально создана для плохих мэров.

Таким образом, возникает та же самая неразрешимая ситуация: мэр особой области не может быть ни хорошим, ни плохим; и не может жить ни в самой этой области, ни вне ее. В чем же дело?

Причина парадокса в том, что иерархические уровни опять оказались спутанными. В данном случае все жители рассматриваемого государства распадаются на три категории: обыкновенные граждане, мэры обычных областей, и мэр той особой области, в которой живут все плохие мэры.

Мэр особой области существенно отличается от остальных мэров: обычные мэры управляют гражданами, а мэр особой области управляет мэрами — это новый, более высокий иерархический уровень. Свойства «быть плохим мэром» и «быть хорошим мэром» пригодны только для характеристики обычных мэров, а мэр особой области относится к другой категории, — его характеризуют другие свойства, и поэтому бессмысленно спрашивать, хороший он, или плохой. Выявленное противоречие как раз и показывает, что он не может быть ни тем, ни другим.

Принципиальное различие в свойствах элементов различных иерархических уровней на практике обычно сразу же бросается в глаза. Например, все яблоки, лежащие на столе, могут быть желтыми — это их общее свойство. Но множество этих яблок желтым быть не может, так как множество яблок — это абстрактный, идеальный предмет, относящийся к совершенно другому иерархическому уровню.

Элементы определенного иерархического уровня либо обладают некоторым, естественным для них свойством, либо нет. Ничего другого быть не может. Третьего не дано! Поэтому, когда обнаруживается элемент, который не может обладать; этим свойством и в то же время не может не обладать им, а третьего не дано, то это противоречие кажется неразрешимым. Но это только кажущееся противоречие. Третье все же дано! Рассматриваемый элемент на самом деле относится к другой категории и обладает другими свойствами.

Свойства элементов различных иерархических уровней совершенно различны — они не сводимы друг к другу. Свойства элементов более высокого уровня нельзя определить, нельзя объяснить, нельзя свести к свойствам элементов какого-либо другого уровня. Таким образом, можно сказать, что рассмотренные парадоксы возникают вследствие игнорирования иерархических различий.

Следует заметить, что в каждом из рассмотренных парадоксов имеется неосознанное и к тому же неправомерное предположение. Именно оно и приводит к противоречию. Поэтому парадокс на самом деле следует рассматривать как доказательство ошибочности принятого предположения. Здесь, по существу, имеет место доказательство «от противного» .

Следует отметить, что в основном все эти парадоксы семантический характер. Язык играет существенную роль. Возникновение странных петель и обнаружение иерархических различий так или иначе всегда связано с языком.

Но кроме естественного языка, используемого при речевом общении, существуют и другие языки: язык изобразительного искусства и язык музыки. В этих языках тоже есть различные иерархические уровни. Поэтому и здесь спутанность иерархий по необходимости приводит к возможности образования странных, парадоксальных петель. Но сконструировать такую петлю — дело не легкое, оно требует большой изобретательности и большого мастерства.

Можно привести примеры некоторых графических парадоксов. Возможно такие же парадоксы встречаются и в музыке, которые вероятно связаны с переходами в тональности.

Плоские и пространственные предметы, очевидно, относятся к различным иерархическим уровням, но необходимость плоского изображения объектов трехмерного пространства приводит к смешению восприятий двумерного и трехмерного пространств. Талантливое же использование этого смешения может привести к парадоксальным картинам — к удивительным петлям. Именно такие картины и создал знаменитый художник — график Мориц Корнелиус Эшер (1898−1971).

На этих картинах мы видим изображение нереальных, невозможных конструкций, которые, тем не менее, весьма похожи на реальные. Секрет в том, что эти конструкции — эти так называемые «невозможные фигуры» — составлены из отдельных вполне реальных частей. Нереально только соединение этих частей в одно целое. С этими «невозможными фигурами» можно познакомиться на сайте, посвященном М. К. Эшеру. Здесь же приводятся авторитетные заключения о его произведениях.

Следует отметить, что конструированием невозможных фигур занимались и другие люди: шведский художник Оскар Рутерсвард (р. 1917) известен своими «бесконечными лестницами», профессор математики Оксфордского университета Роджер Пенроуз известен своим «трехбалочником» — пространственным треугольником с тремя прямыми углами.

Из работ же М. К. Эшера хотелось бы отметить две его литографии. Одна из его литографий называется «Восхождение и спуск». На этой литографии изображен монастырь, на крыше которого находится круговая галерея, представляющая собою бесконечную лестницу. Видно, как монахи совершают ежедневный бессмысленный ритуал — нескончаемую прогулку по бесконечной лестнице-галерее. При этом, те, кто идет по невозможной лестнице по внешнему ряду, все время взбираются вверх, а те, кто шествует по внутреннему ряду, столь же неуклонно спускаются вниз. И те и другие — поднимаясь или опускаясь — к концу каждого кругового обхода удивительным образом оказываются в исходной точке. Возникает странная, невозможная петля.

Такую же странную петлю можно наблюдать и на другой литографии Эшера, которая называется «Водопад». На этой литографии изображен канал, по которому течет вода. Этот канал имеет форму пятизвенной ломанной линии и изображен таким образом, что создается впечатление, что уровень воды в канале все время остается одним и тем же. Тем не менее, мы с удивлением замечаем, что в конце канала уровень воды оказывается гораздо выше, чем в начале. Поэтому шестое звено странной петли — это водопад, замыкающий петлю.