Математическая вселенная Евклида

По сравнению с Платоном и его современниками, следующему поколению математиков пришлось жить в ином мире. В 338 году до н.э. царь Филипп Македонский разгромил ополчение греческих полисов; кончилась эпоха демократии, началась имперская эпоха. Поэтому в новых греческих столицах на Востоке сразу появились общедоступные библиотеки, а при них — первые «научно-исследовательские институты». Самым известным учреждением этого рода стал Музей («храм всех муз») в Александрии Египетской. Здесь собрались сильнейшие ученые грекоязычного мира, и начался новый расцвет науки. Самое заметное различие в положении науки «при царях» и «при демократии» — в том, что достижения ученых перестали волновать столичную толпу. Наука (как и политика) сделалась «спортом для избранных», хотя школьников продолжали учить геометрии и арифметике.

Если бы Евклид захотел только создать хороший школьный учебник — он легко достиг бы этой цели. Но через сто лет его имя забылось бы, заслоненное именами новых авторов. Мы знаем, что получилось иначе: книга Евклида прожила 20 веков, прежде чем у нее появились достойные соперницы. Дело в том, что Евклид сумел навести порядок во всем мире идеальных математических объектов — подобно тому, как Пифагор наводил порядок в реальном мире с помощью идеальных понятий. И пока «зоопарк» этих понятий не расширился более чем вдвое по сравнению с эпохой Евклида — не было нужды в иных книгах на ту же тему. Только в конце 18 века Эйлер добавил к «Началам» Евклида свои «Основы» — первую энциклопедию новой алгебры и математического анализа [6].

Евклид родился в Афинах, учился в Академии. В начале 3 века до н.э. переехал в Александрию и там работал в Музее. Наверняка у него было много учеников. Но никто не оставил об учителе таких сочных рассказов, какие сохранились о Платоне или Аристотеле. Известно лишь, что на вопрос царя Птолемея: нельзя ли попроще объяснить содержание геометрии тем, кто не силен в этой науке? — Евклид резко ответил: «В геометрии нет царской дороги!» [4].

Рискованно делать глубокие выводы из одной фразы; но ясно, что Аристотель никогда не говорил таких слов царю Филиппу Македонскому. Возможно, Евклид был демократ по убеждению и не одобрял того факта, что геометрия стала «придворной» наукой? Может быть, не случайно он употребил слова «царская дорога»? Так называли систему отличных дорог, проложенных в Персидской империи. Двигаясь по ним, небольшая армия македонцев за 4 года покорила весь Ближний Восток. Покорила — но не освоила; науку же нужно осваивать, а не покорять! Таков, видимо, был смысл выговора, сделанного греческим ученым египетскому царю.

Евклид ввел ПОСТУЛАТЫ: это утверждения о свойствах основных геометрических конструкций. Например: «Через две точки проходит лишь одна прямая», или «Через точку вне прямой на плоскости проходит лишь одна прямая, не пересекающая эту прямую». Это последнее утверждение называют пятым постулатом Евклида [8].

Конечно, представить всю геометрию в виде идеального здания из определений, аксиом, постулатов и теорем Евклид не сумел. Ведь каждое необходимое утверждение кому-то покажется скучной мелочью, а каждое интересное утверждение у кого-нибудь вызовет возражение. И это хорошо: в науке важнее всего те утверждения, которые сами интересны и не очевидны, и их отрицания обладают тем же свойством. Таков оказался пятый постулат Евклида о параллельных прямых на плоскости.

Он имеет два возможных отрицания. Во-первых, можно предположить, что через точку вне прямой не проходит НИ ОДНА прямая, не пересекающая данную прямую; то есть, что параллельных прямых на плоскости вовсе нет! Во-вторых, можно предположить, что таких прямых через одну точку проходит НЕСКОЛЬКО; может быть, их бесконечно много. Евклид не рассматривал такие возможности. Он старался сжато и полно описать единственно возможный («плоский») геометрический мир. Только в 19 веке другие математики — Гаусс и Лобачевский, Больяи и Риман — задумались о возможном существовании многих разных геометрических миров. Тогда выяснилось, что новые миры отличаются от старого евклидова мира всего одной-двумя аксиомами. Достаточно заменить пятый постулат Евклида одним из его возможных отрицаний — и мы попадаем в иной мир, носящий имя Лобачевского или Римана [12].

Евклида больше беспокоило другое. Какие факты геометрии нужно вкючить в создаваемую энциклопедию, а какими придется пренебречь, поскольку они не совсем ясны? Например, в «Началах» используются всего две разные линии — прямая и окружность. Но в эпоху Евклида уже были известны эллипс, парабола и гипербола. Сам Евклид изучал эти кривые, даже написал о них особую книгу (которая не сохранилась — но послужила основой для сходной книги Аполлонии.

В арифметике Евклид сделал три значительных открытия. Во-первых, он сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком. Во-вторых, он придумал «алгоритм Евклида» — быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если они соизмеримы). Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел — и доказал, что их множество бесконечно. Но правда ли, что любое целое число разлагается в произведение простых чисел единственным способом? Доказать это Евклид не сумел — хотя располагал всеми необходимыми для этого средствами. Только через 5 веков после Евклида александриец Диофант заполнил этот пробел строгим рассуждением. Он уже владел понятием отрицательного числа и «играл в арифметику» так же уверенно, как семью веками раньше Пифагор «играл в геометрию», работая с плоскими фигурами. Но создать богатую теорию чисел и уравнений эллины не успели вплоть до гибели Римской империи и гибели античной цивилизации в бурях 4−5 веков.