Методы Адамса. 
Методы Адамса для решения задачи Коши

Методы Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона

В настоящее время методы Адамса являются одними из перспективных численных методов интегрирования для решения задачи Коши. Доказано, что при применении многошаговых численных методов Адамса для решения задачи Коши до 12 порядка область устойчивости уменьшается. При дальнейшем увеличении порядка область устойчивости, а также точность метода возрастает. Кроме того, при одинаковой точности для многошаговых методов на одном шаге интегрирования требуется меньше вычислений правых частей дифференциальных уравнений, чем в методах Рунге-Кутты. К достоинствам методов Адамса относится и то обстоятельство, что в них легко меняется шаг интегрирования и порядок метода.

На практике широко используются два типа методов Адамса — явные и неявные. Явные методы известны как методы Адамса-Бэшфорта, неявные — как методы Адамса-Мултона.

Рассмотрим применение численных методов для решения задачи Коши При решении задачи (2. 1) с помощью одношаговых методов значение yn+1 зависит только от информации в предыдущей точке xn. Можно предположить, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках xn, xn-1… xn-k. На этой идее основаны многошаговые методы.

Большинство многошаговых методов возникает на основе следующего подхода. Если подставить в уравнение (2. 1) точное решение y (x) и проинтегрировать уравнение на отрезке [xn, xn+1], то получим:

Заменяя в формуле (2. 2) функцию f (x, y (x)) интерполяционным полиномом P (x), получим приближенный метод Для того, чтобы построить полином P (x), предположим, что yn, yn-1… yn-k — приближения к решению в точках xn, xn-1… xn-k. Полагаем, что узлы xi расположены равномерно с шагом h. Тогда fi=f (xi, yi), (i=n, n-1. n-k) — есть приближения к f (x, y (x)) в точках xn, xn-1… xn-k.

В качестве P (x) возьмем интерполяционный полином степени, k удовлетворяющий условиям Если проинтегрировать этот полином явно, то получим следующий метод:

При k=0 полином P (x) — есть константа, равная fn, и формула (2. 4) превращается в обычный метод Эйлера.

При k=1 полином P (x) является линейной функцией, проходящей через точки (xn-1, fn-1) и (xn, fn), т. е.

Интегрируя этот полином от xn до xn+1, получим двухшаговый метод который использует информацию в двух точках xn и xn+1.

Если k=2, то P (x) представляет собой квадратичный полином, интерполирующий данные (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) и (xn, fn). Можно показать, что соответствующий метод имеет вид Если k=3, то соответствующий метод определяется формулой При k=4 имеем Отметим, что метод (2. 7) является трехшаговым, (2. 8) — четырехшаговым и (2. 9) — пятишаговым. Формулы (2. 6) — (2. 9) известны как методы Адамса-Бэшфорта. Метод (2. 6) имеет второй порядок точности, поэтому его называют методом Адамса-Бэшфорта второго порядка. Аналогично, методы (2. 7), (2. 8) и (2. 9) называются соответственно методами Адамса-Бэшфорта третьего, четвертого и пятого порядков.

Продолжая этот процесс, используя все большее число предыдущих точек, а также интерполяционный полином более высокой степени, получим методы Адамса-Бэшфорта сколь угодно высокого порядка.

Многошаговые методы порождают трудности, которых не возникает при использовании одношаговых методов. Эти трудности становятся понятными, если, например, обратиться к методам Адамса-Бэшфорта пятого порядка (2. 9).

В задаче (2. 1) задано начальное значение y0 но при n=0 для счета по формуле (2. 9) необходима информация в точках x-1, x-2, x-3, x-4, которая естественно отсутствует. Обычный выход из данной ситуации заключается в использовании какого-либо одношагового метода того же порядка точности, например метода Рунге-Кутты, до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода. Или же можно на первом шаге использовать одношаговый метод, на втором — двухшаговый и так далее, пока не будут получены все стартовые значения. При этом существенно, чтобы эти стартовые значения были вычислены с той же степенью точности, с какой будет работать окончательный метод. Поскольку стартовые методы имеют более низкий порядок точности, вначале приходится считать с меньшим шагом и использовать больше промежуточных точек.

Вывод методов (2. 6) — (2. 9) основан на замене функции f (x, y) интерполяционным полиномом P (x). Известно, что имеет место теорема, доказывающая существование и единственность интерполяцион ного полинома. Если узлы x0, x1… xn различны, то для любых f0, f1… fn существует единственный полином P (x) степени не выше n такой, что P (xi) =fi, i=0, 1,. n.

Хотя интерполяционный полином является единственным, имеется несколько способов представления этого полинома. Чаще всего используются полиномы Лагранжа, но и они оказываются неудобными, если к набору данных нужно добавить (или удалить из него) какой-либо узел. В этом случае имеется другое представление интерполяционного полинома. Это представление Ньютона Полином Pn+1 (x) можно записать в виде Представление интерполяционного полинома в виде (2. 11) в ряде случаев бывает особенно полезным для практики.

Методы Адамса-Бэшфорта используют уже известные значения в точках xn, xn-1… xn-k. При построении интерполяционного полинома можно использовать и точки xn, xn, xn-1… xn-k. При этом возникает класс неявных mшаговых методов, известных как методы Адамса-Мултона.

Если k=0, то P (x) — линейная функция, проходящая через точки (xn, fn) и (xn+1, fn+1), и соответствующий метод является методом Адамса-Мултона второго порядка.

При k=1, 2, 3 получаем соответствующие методы третьего, четвертого и пятого порядков аппроксимации. Соотношения (2. 12) — (2. 15) содержат искомые значения yn+1 неявно, поэтому для их реализации необходимо применять итерационные методы.

На практике обычно не решают непосредственно уравнений (2. 12) — (2. 15), а используют совместно явную и неявную формы, что приводит к методу прогноза и коррекции.

Например, для метода Адамса второго порядка, используя обозначения, где г — номер итерации, имеем для г=1 следующую схему вычислений:

Этот процесс называют методом PECE (P означает применение предсказывающей формулы, С — применение исправляющей формулы, Е — вычисление функции f). Можно сократить процесс вычисления, отбросив последнюю формулу. Это приводит к так называемому методу PEC.

Рассмотрим второй метод решения уравнений (2. 12) — (2. 15). Формулы (2. 12) — (2. 15) можно переписать в виде где gn содержит известные величины. Доказано, что если, где L — константа Липшица, то существует единственное решение уравнения (2. 17), которое можно получить с помощью итерационного процесса где — произвольно.

Итерации в выражении (2. 18) продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута сходимость. При этом число вычислений функции f меняется от точки к точке и может быть достаточно велико.

С другой стороны, если уменьшить величину h, то сходимость может быть достигнута за фиксированное число итераций. Этот метод называется исправлением до сходимости.

На первый взгляд может показаться, что явный многошаговый метод является самым простым методом с точки зрения вычислений. Однако на практике явные методы используются очень редко. Неявный метод Адамса-Мултона является более точным, чем явный метод Адамса-Бэшфорта. Например, вычислительная схема для метода Адамса-Мултона 5-го порядка имеет следующий вид:

Методы Адамса до пятого порядка включительно могут быть использованы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, не требующих высокой степени точности.

Как и в случае с методом Адамса-Бэшфорта, при использовании метода Адамса-Мултона важным вопросом является вопрос выбора оптимального соотношения шага интегрирования и порядка метода. Следует отметить, что при создании эффективных алгоритмов и программ увеличение порядка метода является более предпочтительным по сравнению с уменьшением шага интегрирования.

Для решения более сложных задач необходимо применять методы Адамса более высокого порядка. В таблице 2. 1 приведены значения коэффициентов для методов Адамса. В первой строке указан порядок метода; во второй — значения коэффициентов Ck для соответствующего порядка k; в последующих строках — пары коэффициентов Bkj и Mkj для методов Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона соответственно. Тогда, с учетом данных таблицы 2. 14, коэффициенты вj в выражении для метода Адамса-Бэшфорта k-гo порядка могут быть найдены из cоотношения, а для метода Адамса-Мултона k-гo порядка по аналогичной формуле Формулы для предикторно-корректорных методов Адамса с 6-го по по 14-ый порядок имеют следующий вид:

• 6 порядок:
• 7 порядок:
• 8 порядок:
• 9 порядок:
• 10 порядок:
• 11 порядок:
• 12 порядок:
• 13 порядок:
• 14 порядок:
• 15 порядок:
• 16 порядок:

Формулы, приведенные выше, предпочтительнее использовать для практического применения решения обыкновенных дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений первого порядка с постоянным шагом интегрирования. Если в процессе решения уравнения шаг интегрирования переменный, то для методов Адамса существуют специальные приемы для закладки новых начальных данных при смене шага интегрирования.