Бесконечно малая функция и их свойства

(БМ)

Функция б=б (х) называется БМ при х > а или х>?, если.

Примеры .

1) Ф-ия б (х)=(х-3)² есть БМ при х>3 т.к.

2) Ф-ия.

3)б (x)=0 — это единственная постоянная функция, являющаяся БМ Принимая во внимание понятие предела функции, определение БМ можно также сформулировать следующим образом.

Функция ??=??(х) называется бесконечно малой при х>а, если, задав любое число ??>0,можно указать такое b, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-a|<�е.

Свойство бесконечно малых

Теорема 1.(связь между функцией, ее пределом и БМ) Если функция y=y (x) предел b при х>a, то

y (x)=b+б (x), y=b+б (7)

где б=б (х) — БМ при х > а

Обратно: (7) >

Доказательство.

Если, то по определению? е>0? b>0, что |y-b|<�е при 0<|x-a|<�е, если 0<|x-a|х>а.

Обратно, если y=b+б, где б-БМ при х>а, то при |б|<�е, когда 0<|x-a|<�е при 0<|x-a|

Отметим, что равенство (7) часто используется при нахождении предела переменной.

Теорема 2.

Алгебраическая сумма конечного числа БМ при при х>а

Доказательство.

Пусть u (x)=б (x)+в (x)+г (x), где б (x), в (x), г (x) — БМ при х>а. Следовательно.

• ? е>0? b₁, что |б (x)| <, если |x-a|1
• ? b₂, |x-a|2 , => |в (x)| <
• ? b₃, |x-a|3 => |г (x)| <

Пусть b=min{b₁, b₂, b₃}. Тогда при |x-a|<, |u (x)|<�е. Итак, u (x) — БМ при х>а.

Замечание. Если число слагаемых увеличивается, то утверждение теоремы может оказаться неверным, сумма х слагаемых не является БМ.

Где х =1,2,3,…

Хотя каждый из слагаемых при х>? есть БМ функция.

Функция f (x), определённа я на D, называется ограниченной, если существует такое число М, что? x? D выполняется неравенство: |f (x)|?M => -M?f (x)?M, x? D. График ограниченной функции расположим в полосе между двумя прямыми у=-М, у=М, параллельными оси Ох.

Примером ограниченной функции является синус: |sin x|?1.

Теорема 3.

Произведения БМ на ограниченную функцию есть БМ.

Доказательство.

Пусть б=б (х)-БМ при х>а, а z=z (x) — функция, ограниченная в некоторой окрестности точки х=а, т. е. для некоторого числа с>0 найдется окрестность этой точки, в которой |z (x)|0 сложно указать окрестность точки x=a, в которой выполняется неравенство:

В наименьше из этих двух окрестностей будет выполнено неравенство:

Следствие 1.

Произведение двух БМ есть БМ.

Следствие 2.

Произведение БМ на постоянную есть БМ. (БМ и постоянная — ограниченные функции)

Бесконечно большие функции (ББ)

Функция y=f (x) называется ББ при x>a, если ? N>0, ? b>0, что для всех значений х, отличных от а и удовлетворяющих условию 0<|x-a| выполняется нер-во

|f (x)|>N (8)

ББ ф-я предела не имеет при х>а, но иногда условно говорят, что ее предел равен бесконечности:

Если f (x) стремится к бесконечности при х>а, принимая только положительные или только отрицательные значения, то пишут.

Если ф-я f (x) стремится к бесконечности при x>?, то пишут.

Пример 1.

1) при х>0 ББ ф-я. В самом деле, при любом N>0 нер-во будет выполнено, если. Эта ф-я принимает положительные значения при x>0 () и отрицательные при x<0 ().

2) — ББ ф-я при х>2. Действительно,? N>0 нер-во >N будет выполнено, если или. Данная ф-я принимает только положительные значения .

Теорема 4. (связь БМ с ББ).

Если ф-я б=б (х) стремится к нулю при х>а (х>?) и не обращается в нуль, то ф-я стремится к бесконечности.

Доказательство. При любом, сколь угодно большом числе N>0 нер-во будет выполнено, если. Последнее нер-во выполняется для всех значений б (х), начиная с некоторого, т.к. б (х)>0.