Моделирование распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственного предприятия

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Методы моделирования»

Моделирование распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственного предприятия

Введение

Раздел 1. Эконометрические регрессионные модели и прогнозирование на их основе

1.1 Эконометрика. Основные понятия и определения

1.2 Основные задачи эконометрических исследований

1.3 Модель множественной линейной регрессии

1.3.1 Построение модели множественной линейной регрессии с использованием метода наименьших квадратов (МНК)

1.3.2 Свойства оценок, полученных методом наименьших квадратов (МНК)

1.3.3 Анализ вариации зависимой переменной. Качество оценивания в модели множественной линейной регрессии

1.3.4 Прогнозирование с помощью регрессионных уравнений Раздел 2. Расчетная часть

2.1 Постановка задачи распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственного предприятия

2.2 Разработка экономико-математической модели

2.2.1 Система переменных экономико-математической модели

2.2.2 Система ограничений экономико-математической модели

2.2.3 Условия не отрицательности переменных экономико-математической модели

2.2.4 Целевая функция экономико-математической модели

2.3 Подготовка исходной информации

2.4 Решение экономико-математической задачи распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственной организации по полям севооборотов и кормовым угодьям

2.5 Формирование отчетов по результатам решения

2.6 Анализ результатов решения Заключение Список использованной литературы

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству экономической жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства.

Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение в экономических исследованиях и планировании. Этому способствует развитие таких разделов математики, как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен достаточный опыт постановки и решения экономических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального планирования, которые и составляют сущность математического программирования.

Одной из основных становится задача создания единой системы оптимального планирования и управления народным хозяйством на базе широкого применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике.

Основной целью написания теоретической части курсовой работы является изучение эконометрических регрессионных моделей и прогнозирование на их основе.

Раздел 1. Эконометрические регрессионные модели и прогнозирование на их основе

1.1 Эконометрика. Основные понятия и определения

Эконометрика — это наука, изучающая методами математической статистики количественные закономерности и связи в экономике, выражаемые в виде математических моделей.

Целевое назначение эконометрики — эмпирический вывод экономических закономерностей.

Основные задачи эконометрики состоят в построении моделей, выражающей выводимые закономерности, оценка их параметров и проверка гипотез о закономерностях изменения и связях экономических показателей.

Процессы эконометрического анализа могут характеризоваться двумя типами обрабатываемых данных: пространственными данными и временными рядами.

Пространственные данные — это относящиеся к одному и тому же моменту времени данные о каком-либо экономическом показателе, характеризующем однотипные объекты.

Временные ряды — это данные о каких-либо показателях, характеризующих одни и те же объекты в различные моменты времени. К такому типу данных относятся ежемесячные статистические данные за ряд лет по стране в целом или по отдельным регионам.

Наиболее распространены три основных класса эконометрических моделей: регрессионные модели с одним уравнением, системы одновременных уравнений и модели временных рядов.

Регрессионная модель — это уравнение, в котором объясняемая переменная представляется в виде функции от объясняющих переменных (например, модель спроса на некоторый товар в зависимости от его цены и дохода покупателей). По виду функции различают линейные и нелинейные регрессионные модели. Наиболее детально изучены и потому наиболее часто встречается в эконометрическом анализе методы оценки и анализа линейных регрессионных моделей.

Системы одновременных уравнений представляют собой системы уравнений, состоящие из регрессионных уравнений и тождеств, в каждом из которых помимо объясняющих — независимых — переменных содержатся объясняемые переменные из других уравнений системы.

К простейшим моделям временных рядов относятся модели тренда и модели сезонности. Тренд представляет собой устойчивое изменение уровня показателя в течение длительного времени. Сезонность характеризует устойчивые внутригодовые колебания уровня показателя. К более сложным моделям временных рядов относятся, например, модель адаптивного прогноза и авторегрессионая модель. Основная особенность моделей этого класса состоит в том, что они объясняют поведение временного ряда исходя из его предыдущих значений.

1.2 Основные задачи эконометрических исследований

Эконометрическая модель, как правило, основана на теоретическом предположении о круге взаимосвязанных переменных и характере связи между ними. При всем стремлении к «наилучшему» описанию связей приоритет отдается качественному анализу. Поэтому в качестве этапов эконометрического исследования можно указать:

— постановку проблемы;

— получение данных, анализ их качества;

— спецификацию модели;

— оценку параметров;

— интерпретацию результатов.

На начальном этапе решения любой эконометрической задачи необходимо сформулировать эконометрическую модель, т. е. представить модель в виде уравнений, характеризующих связи между экономическими показателями.

При решении любой задачи эконометрики необходима проверка соответствия полученной модели реальным экономическим данным. Если модель соответствует реальным данным, то возникает задача определения (оценки) параметров модели. Различают два уровня анализа: теоретический и эмпирический.

На теоретическом уровне предполагается, что известны все возможные реализации экономических показателей (т.е. имеется вся генеральная совокупность в целом). Теоретически параметры модели можно оценить, если известны (или предполагаются заданными) статистические свойства генеральной совокупности. Как правило, все возможные исходы (т.е. возможные значения показателей) заранее неизвестны; на практике можно наблюдать только выбранные значения интересующих показателей, т. е. выборочную совокупность.

На эмпирическом уровне на основе выборочной совокупности нельзя точно определить значения параметров модели, можно лишь получить их оценки, являющиеся случайными величинами. Таким образом, цель оценивания параметров состоит в получении как можно более точных значений неизвестных параметров модели, которые характерны для всей генеральной совокупности.

Одной из основных задач экономических исследований является анализ зависимости между переменными (показателями), которая может быть функциональной (встречается очень редко) или статистической (в экономике, как правило, является преобладающей).

Функциональная зависимость (иначе ее называют детерминированной) задается в виде формулы, которая каждому значению одной переменной ставит в соответствие строго определенное значение другой переменной, при этом воздействием случайных факторов пренебрегают.

Статистическая зависимость — это связь переменных, на которую накладывается воздействие случайных факторов, при этом изменение одной переменной приводит к изменению математического ожидания (т.е. наиболее вероятного ожидаемого значения) другой переменной. Наиболее распространенной формулой статистической связи между переменными является уравнение регрессии. Если эта формула линейная (нелинейная), то регрессию называют линейной (нелинейной). Многие нелинейные модели можно преобразовать в линейные.

1.3 Модель множественной линейной регрессии

1.3.1 Построение модели множественной линейной регрессии с использованием метода наименьших квадратов (МНК)

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.

Простая регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняющей) переменной рассматривается как функция одной независимой (объясняющей) переменной, т. е. это модель вида

.

Множественная регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняющей) переменной рассматривается как функция нескольких независимых (объясняющих) переменных, т. е. это модель вида

.

Любой эконометрическое исследование начинается со спецификации модели, т. е. с формулировки вида модели исходя из соответствующей теории связи между явлениями.

В первую очередь из всего круга вопросов, влияющих на результативный признак, необходимо выделить наиболее существенно влияющие факторы. Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.

Наибольшую опасность в практическом использовании методов регрессии представляют ошибки измерения. Если ошибки спецификации можно уменьшить, изменяя форму модели (вид математической формулы), а ошибки выборки Ї увеличивая объем исходных данных, то ошибки измерения практически могут свести на нет все усилия по количественной оценке связи между признаками. Особенно велика роль ошибок измерения при исследовании на макроуровне.

Для построения модели множественной линейной регрессии с объясняющими переменными зависимость между ними в генеральной совокупности представляется в виде:

где:

объясняемая — зависимая переменная;

объясняющие — независимые переменные;

параметры модели;

случайное слагаемое.

Обычно при построении модели множественной линейной регрессии предполагается отсутствие корреляций всех объясняющих переменных друг с другом.

На основе наблюдений получают выборочное уравнение регрессии:

где оценки параметров .

Для оценки параметров уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК). Основные идеи МНК рассмотрим на примере частного случая модели множественной линейной регрессии при (т.е. модели линейной парной регрессии):

.

При применении МНК неизвестные оценки и параметров уравнения регрессии определяют путем минимизации суммы квадратов остатков:

где количество пар переменных, используемых для анализа.

Необходимое условие минимума обеспечивается приравниванием нулю частных производных суммы квадратов остатков по величинам и :

,

где значок дифференциала.

Из этих условий вытекают два уравнения для определения величин и :

.

Решая систему из двух уравнений, получим:

,

где и выборочные средние значения переменных и .

Коэффициент, представляющий собой угловой коэффициент регрессии, показывает скорость приращения переменной при изменении независимой переменной и связан с коэффициентом корреляции величин и соотношением:

где и среднеквадратические отклонения переменных и .

1.3.2 Свойства оценок, полученных методом наименьших квадратов (МНК)

Зависимая переменная в теоретической модели регрессии имеет две составляющие: неслучайную составляющую и случайную составляющую. Получаемые с помощью МНК оценки коэффициентов регрессии также можно представить в виде двух составляющих — неслучайной и случайной.

Неслучайные составляющие оценок равны параметрам, тогда как случайные составляющие этих оценок зависят от случайной составляющей теоретической модели регрессии .

На практике разложить коэффициенты регрессии на составляющие довольно затруднительно, так как значения и неизвестны.

Регрессионный анализ, основанный на применении метода наименьших квадратов (МНК), дает наилучшие из всех возможных результаты, если выполняются следующие условия (называемые условиями Гаусса-Маркова):

1. Математическое ожидание случайного слагаемого в любом м наблюдении должно быть равно нулю — .

2. Дисперсия случайного слагаемого должна быть постоянной для всех наблюдений —, где теоретическое значение среднеквадратической ошибки.

3. Случайные слагаемые должны быть статистически независимы, т. е. должно выполняться свойство некоррелированности их между собой.

4. Объясняющие переменные должны быть величинами неслучайными.

При выполнении условий Гаусса-Маркова модель называется классической нормальной линейной регрессионной моделью.

Если условия Гаусса-Маркова не выполнены, то можно найти другие оценки параметров уравнения регрессии, которые будут более эффективными по сравнению с оценками, найденными методом МНК.

1.3.3 Анализ вариации зависимой переменной. Качество оценивания в модели множественной линейной регрессии

Пусть в уравнении регрессии содержится объясняющих переменных. Дисперсию зависимой переменной можно представить в виде суммы объясненной и необъясненной составляющих:

где:

остаток в м варианте реализации событий;

значение зависимой переменной в м варианте реализации событий;

среднее значение зависимой переменной;

расчетное значение зависимой переменной в м варианте реализации событий, определяемое уравнением регрессии;

число реализации событий, в каждом из которых при сочетании значений независимых переменных было получено значение зависимой переменной.

Каждая сумма в этом разложении имеет собственное название:

Ї общий разброс зависимой переменной (обозначается);

Ї разброс, объясненный регрессией (обозначается);

Ї разброс, не объясненный регрессией (обозначается).

Используя введенные обозначения, разложение дисперсии зависимой переменной можно записать в виде суммы:

.

Мерой объясняющего качества уравнения регрессии по сравнению с оценкой в виде среднего значения является коэффициент детерминации, который измеряет долю дисперсии, совместно объясненной всеми независимыми переменными:

.

В случае коррелированности независимых переменных объясняющие способности этих переменных могут перекрываться. Для компенсации такого увеличения вводится приведенный (скорректированный) коэффициент детерминации с поправкой на число независимых переменных, которым можно варьировать (называемое иначе числом степеней свободы):

.

Если при добавлении новой переменной (при этом уменьшается на 1 число степеней свободы) увеличение доли объясненной регрессии мало, то скорректированный коэффициент детерминации может уменьшаться, следовательно, добавлять новую переменную не следует.

Качество оценок для модели множественной линейной регрессии предполагает определение статистической значимости полученных коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценивается с помощью критерия :

где стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

Величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, где:

число пар данных в выборке, использованных для получения уравнения регрессии;

количество коэффициентов в уравнении регрессии.

Алгоритм оценки значимости для коэффициентов уравнения регрессии состоит в следующем:

1) вычисляется наблюдаемое значение критерия ;

2) по таблице распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находится критическое значение ;

3) вычисленные критерии и сравниваются с критическим значением .

Если, то соответствующий коэффициент уравнения регрессии значим и принимается. Если, то соответствующий коэффициент уравнения регрессии незначим, не отличается от нуля и не принимается.

В эконометрике проверку гипотез осуществляют при 5%-м, реже на 10%-м уровне значимости. В первом случае стандартная ошибка оценки коэффициента регрессии составляет примерно до половины его величины. Последовательное исключение несущественных факторов (переменных), коэффициенты при которых оказались незначимы, составляют основу пошагового регрессионного анализа.

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации используется статистика:

где:

число пар данных в выборке, использованных для получения уравнения регрессии;

количество коэффициентов в уравнении регрессии.

Величина имеет распределение Фишера с степенями свободы. Вычисленный критерий сравнивается с критической величиной следующим образом:

если, то считается незначимым, он не отличим от нуля;

если, то считается значимым, и уравнение регрессии может использоваться для объяснения изменения переменной под влиянием изменения переменных .

Величины критических значений критериев оценки значимости принимаются при 5%-м, реже при 10%-м уровне значимости. Указанные уровни значимости соответствуют 95%-му и 90%-му доверительным интервалам соответственно.

1.3.4 Прогнозирование с помощью регрессионных уравнений

Прогнозирование — это получение оценок зависимой переменной для некоторого набора независимых переменных, отсутствующего в исходных данных. Различают точечное прогнозирование (с получением точечной оценки) и интервальное прогнозирование. В первом случае оценкой является некоторое число, во втором — интервал, в котором находится истинное значение зависимой переменной с заданным уровнем вероятности (значимости).

Точечная оценка может быть наиболее просто представлена в случае линейной модели парной регрессии:

где:

и коэффициенты уравнения регрессии;

значение зависимой переменной, предсказанное с использованием уравнения регрессии;

значение независимой переменной, для которого необходимо предсказать величину зависимой переменной.

Ошибка предсказания представляет собой разность между предсказанным и действительным значениями. Для оценки этой ошибки определяется стандартная ошибка предсказания, которая для случая линейной регрессии определяется выражением:

где:

стандартная ошибка предсказания;

стандартная ошибка регрессии;

число пар данных, используемых для регрессионного анализа;

значение независимой переменной, для которого дается прогноз;

выборочное среднее переменной ;

вариация переменной в выборке.

Чем больше значение отклоняется от выборочного среднего, тем больше дисперсия ошибки предсказания; чем больше объем выборки, тем меньше дисперсия этой ошибки.

Доверительный интервал для прогнозируемого значения зависимой переменной определяется по формуле:

где:

критическое значение статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе степеней свободы (для парной линейной регрессии);

число пар данных в выборке, использованных для получения уравнения регрессии.

Раздел 2. Расчетная часть

2.1 Постановка задачи распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственного предприятия

Задано:

1. Сельскохозяйственная организация;

2. План размещения культур по полям и участкам севооборотов; фонды минеральных удобрений в ассортименте под урожай планового периода;

3. Плановые условно-переменные затраты на 1 ц. прибавки урожая;

4. Гарантированные (минимальные) объемы производства продукции.

Известно:

1. Относительно каждой элементарной культуры:

· Сорт;

· Система орошения;

· Предшественник, его удобренность;

· Физико-химические свойства почвы;

· Рекомендуемые годовые нормы удобрения (в единицах действующего вещества);

· Коэффициенты распределения годовой нормы по срокам внесения; закупочные цены на продукцию;

· Коэффициенты степени совместимости с различными формами удобрений;

2. Относительно каждой формы удобрений:

· Содержание действующего вещества;

· цена;

· затраты на хранение, транспортировку, приготовление и внесение, накладные расходы.

Требуется определить: какие дозы удобрений, в какие сроки и в каком ассортименте следует вносить под каждую элементарную культуру, чтобы, обеспечивая задания по гарантированному производству продукции, максимизировать дополнительный чистый доход.

Для самостоятельной подготовки экономико-математической модели оптимизации процесса распределения фондов минеральных удобрений по полям севооборотов предлагается индивидуальное задание, в состав которого включены данные по двум участкам. Распределение участков по вариантам, фонды удобрений и задания по производству продукции приведены в табл. 1.

Таблица 1 Фонды удобрений планового периода и задания по производству продукции

Таблица 2 Агрохимическая характеристика почв и план размещения сельскохозяйственных культур

Таблица 3

«Стартовые» дозы удобрений (по видам) в зависимости от содержания в почве доступных форм P₂ O₅ и K₂O

Таблица 4 Нормы удельных затрат удобрений в расчете на 1 ц основной (при соответствующем побочной) продукции по интервалам урожайности сельскохозяйственных культур в зависимости от содержания в почве подвижного фосфора и обмена калия.

Таблица 5 Характеристика удобрений и процессов их использования

регрессионный линейный квадрат удобрение

Таблица 6 Закупочные цены и удельные затраты на уборку и доработку 1 ц продукции

2.2 Разработка экономико-математической модели

2.2.1 Система переменных экономико-математической модели

Участок № 15

х₁, х_2, х₃ — дозы действующего вещества, соответственно N, P₂O₅ и К₂О, отнесенные на прирост урожайности ячменя по первому интервалу прибавки, кг д. в/га;

х₄ — прирост урожайности ячменя по первому интервалу прибавки, ц;

х₅, х₆, х₇ — дозы действующего вещества, соответственно N, P₂O₅ и К₂О, отнесенные на прирост урожайности ячменя по второму интервалу прибавки, кг д. в/га;

х_8 — прирост урожайности ячменя по второму интервалу прибавки, ц;

х₉, х₁₀, х₁₁, х₁₂ — дозы в физической массе соответственно аммиачной селитры, карбамида, суперфосфата и калийной соли для основного внесения под ячмень, ц/га;

х₁₃, х₁₄ — дозы в физической массе соответственно аммиачной селитры и карбамида для внесения в подкормку под ячмень, ц/га;

х₁₅ -общий прирост урожайности ячменя, ц.

Участок № 1

х₁₆, х_17, х₁₈ — дозы действующего вещества, соответственно N, P₂O₅ и К₂О, отнесенные на прирост урожайности озимой пшеницы по первому интервалу прибавки, кг д. в/га;

х₁₉ — прирост урожайности озимой пшеницы по первому интервалу прибавки, ц;

х₂₀, х₂₁, х₂₂ — дозы действующего вещества, соответственно N, P₂O₅ и К₂О, отнесенные на прирост урожайности озимой пшеницы по второму интервалу прибавки, кг д. в/га;

х_{23 -} прирост урожайности озимой пшеницы по второму интервалу прибавки, ц;

х₂₄, х₂₅, х₂₆, х₂₇ — дозы в физической массе соответственно аммиачной селитры, карбамида, суперфосфата и калийной соли для основного внесения под озимую пшеницу, ц/га;

х₂₈, х₂₉ — дозы в физической массе соответственно аммиачной селитры и карбамида для внесения в подкормку под озимую пшеницу, ц/га;

х₃₀ -общий прирост урожайности озимой пшеницы, ц.

2.2.2 Система ограничений экономико-математической модели

Группа ограничений по балансу выноса элементов питания продукций и внесения их с удобрениями

Ограничения обеспечивают соответствие норм удобрений в единицах действующего вещества приросту урожайности. Привязка осуществляется в рамках границ интервалов урожайности, где исследована зависимость урожая от удобрений, с дифференциацией по элементам питания.

Ограничения по затратам действующего вещества удобрений в первом интервале прибавки урожайности ячменя:

По азоту (огр.1):

— х₁ +3,3х₄ = 0;

По фосфору (огр.2):

— х₂ +3,2х₄ = 0;

По калию (огр.3):

— х₃ +3х₄ = 0.

Ограничения данной группы в качестве коэффициентов при х₄ содержат показатели удельных затрат действующего вещества удобрений (в расчете на 1ц зерна с учетом побочной продукции). Иными словами, каждый центнер зерна в первом интервале прибавки урожайности требует внесения, а перерасчете на действующее вещество, 3,3 кг азотных, 3,2 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений (3,3:3,2:3 — заданное соотношение N: P₂O₅: К₂О).

Ограничения по затратам действующего вещества удобрений во втором интервале прибавки урожайности ячменя:

По азоту (огр.5):

— х₅ + 4,1х₈ = 0;

По фосфору (огр.6):

— х₆ + 3,8х₈ = 0;

По калию (огр.7):

— х₇ + 3,7х₈ = 0.

Ограничения данной группы в качестве коэффициентов при х₈ содержат показатели удельных затрат действующего вещества удобрений (в расчете на 1ц зерна с учетом побочной продукции). Иными словами, каждый центнер зерна во втором интервале прибавки урожайности требует внесения, а перерасчете на действующее вещество, 4,1 кг азотных, 3,8 кг фосфорных и 3,7 кг калийных удобрений (4,1:3,8:3,7 — заданное соотношение N: P₂O₅: К₂О).

Ограничения по затратам действующего вещества удобрений в первом интервале прибавки урожайности озимой пшеницы:

По азоту (огр.15):

— х₁₆ + 3,3х₁₉ = 0;

По фосфору (огр.16):

— х₁₇ + 3,3х₁₉ = 0;

По калию (огр.17):

— х₁₈ + 3,5х₁₉ = 0.

Ограничения данной группы в качестве коэффициентов при х₁₉ содержат показатели удельных затрат действующего вещества удобрений (в расчете на 1ц зерна с учетом побочной продукции). Иными словами, каждый центнер зерна в первом интервале прибавки урожайности требует внесения, а перерасчете на действующее вещество, 3,3 кг азотных, 3,3 кг фосфорных и 3,5 кг калийных удобрений (3,3:3,3:3,5 — заданное соотношение N: P₂O₅: К₂О).

Ограничения по затратам действующего вещества удобрений во втором интервале прибавки урожайности озимой пшеницы:

По азоту (огр.19):

— х₂₀ + 4х₂₃ = 0;

По фосфору (огр.20):

— х₂₁ + 4х₂₃ = 0;

По калию (огр.21):

— х₂₂ + 4,5х₂₃ = 0.

Ограничения данной группы в качестве коэффициентов при х₂₃ содержат показатели удельных затрат действующего вещества удобрений (в расчете на 1ц зерна с учетом побочной продукции). Иными словами, каждый центнер зерна во втором интервале прибавки урожайности требует внесения, а перерасчете на действующее вещество, 4 кг азотных, 4 кг фосфорных и 4,5 кг калийных удобрений (4:4:4,5 — заданное соотношение N: P₂O₅: К₂О).

Группа ограничений по границе интервалов прибавки урожайности

Ограничения реализуют условия по пределу прироста урожайности элементарной культуры в выделенном интервале прибавки.

По величине первого интервала прибавки урожайности ячменя (огр.4):

х₄? 6.

По величине второго интервала прибавки урожайности ячменя (огр.8):

х₈? 4.

По величине первого интервала прибавки урожайности озимой пшеницы (огр.18):

х₁₉? 6.

По величине второго интервала прибавки урожайности озимой пшеницы (огр.22):

Х₂₃? 5.

Группа ограничений по формированию годовых норм удобрений в ассортименте поставки

Ограничения предназначены для перехода от суммарной годовой нормы удобрений в единицах действующего вещества к дозам конкретных форм удобрений в единицах физической массы.

По формированию доз азотных удобрений (аммиачной селитры и карбамида) для внесения под ячмень (огр.9):

х₁ + х₅ = 34х₉ + 46х₁₀ + 34х₁₃ +46х₁₄;

или в результате преобразования:

х₁ + х₅ — 34х₉ — 46х₁₀ — 34х₁₃ — 46х₁₄ = 0;

Обе части уравнения определяют годовые нормы азотных удобрений в единицах действующего вещества.

По формированию доз фосфорных удобрений для внесения под ячмень (огр.10):

х₂ + х₆ = 20х₁₁;

или в результате преобразования:

х₂ + х₆ — 20х₁₁ = 0.

По формированию доз калийных удобрений для внесения под ячмень (огр.11):

х₃ +х₇ =40х₁₂;

или в результате преобразования:

х₃ +х₇ -40х₁₂ = 0;

По формированию доз азотных удобрений (аммиачной селитры и карбамида) для внесения под озимую пшеницу (огр.23):

х₁₆ +х₂₀ = 34х₂₄ + 46х₂₅ + 34х₂₈ + 46х₂₉ ;

или в результате преобразования:

х₁₆ +х₂₀ — 34х₂₄ — 46х₂₅ -34х₂₈ -46х₂₉ =0.

По формированию доз фосфорных удобрений для внесения под озимую пшеницу (огр.24):

х₁₇ + х₂₁ = 20х₂₆;

или в результате преобразования:

х₁₇ + х₂₁ — 20х₂₆ = 0;

По формированию доз калийных удобрений для внесения под озимую пшеницу (огр.25):

Х₁₈ +х₂₂ =40х₂₇;

или в результате преобразования:

х₁₈ +х₂₂ -40х₂₇ = 0;

Группа ограничений по распределению годовых норм удобрений по срокам внесения

Ограничения предназначены для формирования доз удобрений в ассортименте в соответствии с требованиями по агросрокам применения удобрений.

По распределению годовых норм аммиачной селитры и карбамида под ячмень для основного внесения и в подкормку. Ограничение реализует условие по внесению в подкормку не менее 20% от годовой нормы азотных удобрений в единицах действующего вещества (огр.12):

34х₁₃ + 46х₁₄? 0,2(34х₉ + 46х₁₀ + 34х₁₃ + 46х₁₄);

или в результате преобразования:

— 27,2х₁₃ — 36,8х₁₄ + 6,8х₉ +9,2х₁₀? 0;

По распределению годовых норм аммиачной селитры и карбамида под озимую пшеницу для основного внесения и в подкормку. Ограничение реализует условие по внесению в подкормку не менее 10% от годовой нормы азотных удобрений в единицах действующего вещества (огр.26):

34х₂₈ +46х₂₉? 0,2(34х₂₄ +46х₂₅ +34х₂₈ + 46х₂₉);

или в результате преобразования:

— 27,2х₂₈ — 36,8х₂₉ +6,8х₂₄ +9,2х₂₅? 0.

Группа ограничений по допустимому удельному весу отдельных форм удобрений в общей дозе

По удельному весу карбамида в дозе азотных удобрений, вносимой под зерновые в подкормку: не более 50% от общей дозы в пересчете на действующее вещество (огр.13):

46х₁₄? 0,5(34х₁₃ + 46х₁₄);

или в результате преобразования:

23х₁₄ -17х₁₃? 0.

По удельному весу карбамида в дозе азотных удобрений, вносимой под зерновые в подкормку: не более 50% от общей дозы в пересчете на действующее вещество (огр.27):

46х₂₉? 0,5(34х₂₈ + 46х₂₉);

или в результате преобразования:

23х₂₉ — 17х₂₈? 0.

Группа ограничений по суммарному приросту урожайности на участке

Ограничения выполняют вспомогательную функцию: позволяют сформировать значение специальной переменной, характеризующей общую прибавку урожайности по элементарной культуре, суммированием частных приростов урожайности по интервалам прибавки.

По суммарному приросту урожайности ячменя (огр.14):

х₄ + х₈= х₁₅,

или после преобразования:

х₄ + х₈— х₁₅ = 0;

По суммарному приросту урожайности озимой пшеницы (огр.28):

х₁₉ + х₂₃= х₃₀,

или после преобразования:

х₁₉ + х₂₃— х₃₀ = 0.

Группа ограничений по балансу ресурсов и потребления удобрений

Ограничения входят в состав связующего блока.

По фонду аммиачной селитры, т физ. массы (огр.29):

0,1(41(х₉ + х₁₃) + 60(х₂₄ + х₂₈))? 7,1;

или после преобразований:

4,1х₉ + 4,1х₁₃ + 6х₂₄ + 6х₂₈? 7,1.

По фонду карбамида, т физ. массы (огр.30):

0,1(41(х₁₀ + х₁₄) + 60(х₂₅ + х₂₉))? 1,5;

или после преобразований:

4,1х₁₀ + 4,1х₁₄ + 6х₂₅ + 6х₂₉? 1,5.

По фонду суперфосфат, т физ. массы (огр.31):

0,15(41х₁₁ + 60х₂₆)? 27,1;

или после преобразований:

6,15х₁₁ + 9х₂₆? 27,1.

По фонду калийной соли, т физ. массы (огр.32):

0,15(41х₁₂ + 60х₂₇)? 13,0;

или после преобразований:

6,15х₁₂ + 9х₂₇? 13,0.

Группа ограничений по производству продукции

Ограничения реализуют условия по выполнению заданий по производству отдельных видов продукции в натуре (прирост урожая за счет удобрений). По приросту производства ячменя, т (орг. 33):

0,1• 41х₁₅ ?203,2 или 4,1х₁₅? 203,2.

По приросту производства озимой пшеницы, т (огр.34):

0,1• 60х₃₀ ?145 или 6х₃₀? 145.

2.2.3 Условия не отрицательности переменных экономико-математической модели

x_rtlf? 0, где f €F, l € L, t € T, r € R;

х_rlk? 0, где k €K, l € L, r € R;

x_rk? 0, где k €K, r € R;

x_r? 0, где r € R.

2.2.4 Целевая функция экономико-математической модели

В качестве критерия оптимальности использования показатель дополнительного дохода, отнесенного на удобрение.

Целевая функция имеет вид:

max z = -41 820 x₉-65600x₁₀-71750x₁₁-20 0490x₁₂-48339x₁₃-69905x₁₄+29 186,26x₁₅-61200x₂₄-96000x₂₅-10 5000x₂₆-29 3400x₂₇-70740x₂₈-10 2300x₂₉+51 507,6x₃₀

2.3 Подготовка исходной информации

Полный учет взаимодействующих факторов, определяющих потребность элементарных культур в питательных веществах, проблематичен и не является самоцелью в моделировании процесса использования удобрений. Кроме того, в современном земледелии действующее вещество удобрений используется растениями не в полном объеме. Степень использования удобрений определяется набором наиболее существенных почвенно-климатических, агротехнических и организационно-экономических норм образующих факторов.

Многообразие методик расчета доз затрудняет формирование единого информационного обеспечения, планирования и анализа применения удобрений. Показатели использования питательных веществ из удобрений в первый, второй и другие годы, коэффициенты распределения годовой нормы по срокам внесения определяются в соответствии с действующими справочниками по удобрениям, рекомендациями и данными анализов научноисследовательских учреждений, проектноизыскательных станций химизации, зональных агрохимических лабораторий, агрохимических центров.

Почвенно-агрохимические параметры в модели не получают прямой оценки. Опосредованное их влияние на эффективность удобрений учитывается при нормировании частного эффекта от удобрения по элементарной культуре. Характеристики типа почвы, механического состава и агрохимических показателей содержатся в документах, которыми располагает хозяйство: в почвенных картах, агрохимических картограммах, паспортной ведомости.

Затраты на приготовление и внесение удобрений и уборку дополнительного урожая калькулируются на основании норм выработки и расценок на соответствующие работы.

Расчет показателей последствия удобрений, внесенных под предшественники, а также плановые затраты удобрений, отнесенные на исходную урожайность представлены в табл.7.

Расчет фондов удобрений, отнесенных на прирост урожая, приведен в табл.8, выход продукции, отнесенной на исходную урожайность, определен в табл.9, расчет обеспечения заданных объемов производства продукции представлен в табл.10.

Таблица 7 Расчет показателей последствия удобрений, внесенных под предшественники и плановых затрат удобрений, отнесенных на исходную урожайность

Таблица 8 Расчет фондов удобрений, отнесенных на прирост урожая, т физ. веса

Таблица 9 Расчет показателя выхода продукции, отнесенной на исходную урожайность

Таблица 10 Обеспечение заданных объемов производства продукции

2.4 Решение экономико-математической задачи распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственной организации по полям севооборотов и кормовым угодьям

Разработанная экономико-математическая модель может быть решена симплексном методом, так как является задачей линейного программирования. Общий принцип, которых таков: выбирается неоптимальный опорный план и его параметры варьируются с целью последовательного улучшения плана, т. е. оптимизации целевой функции при соблюдении всех ограничений, что дает возможность решать оптимизационные задачи.

Рассмотренная задача решена с использованием приложения Поиск решения МS Excel.

Для решения задачи требуется внести в таблицу на рабочем листе МS Excel следующие данные (рис. 1,1а, 2,2а):

1) технико-экономические коэффициенты при переменных (по столбцам модели № 1…30):

а. переменные в столбцах модели № 1…15 отнесены к блоку участка № 1;

b. переменные в столбцах модели № 16…30 — к участку № 2;

2) ограничения (по строкам модели № 1…34):

а. по участкам:

i. ограничения № 1…14 характеризуют участок № 1, в том числе по интервалам прибавки урожайности:

1. ограничения № 1…4 — по 1-му интервалу;

2. ограничения № 5…8 — по 2-му интервалу;

ii. ограничения № 15…28 характеризуют участок № 2, в том числе по интервалам прибавки урожайности:

1. ограничения № 15…18-по 1-ну интервалу;

2. ограничения № 19…22 — по 2-му интервалу;

b. по фондам удобрений: ограничения№ 29…32:

с. по объемам производства продукции: ограничения № 33, 34;

3) вводятся коэффициенты целевой функции при свободных переменных;

4) рассчитываются суммы значений по строкам;

5) вызов Данные — Поиск решения, далее — задать целевую ячейку (здесь АМ43), цель — «максимальное значение». Далее указывается массив изменяемых переменных и вводятся ограничения (рис. 3);

6) просмотр подменю Выберите метод решения, указывается Поиск решения линейных задач симплексным методом; запуск выполнения программы команда «Найти решение»;

7) появление измеренных значений переменных (рис. 4, строка 44) и значения целевой функции на экране (рис 4, АМ43).

Рис. 1. Фрагмент рабочего листа MSExsel с исходными данными по участку № 15

Рис. 1а. Фрагмент рабочего листа MSExsel с исходными данными по участку № 15(продолжение)

Рис. 2. Фрагмент рабочего листа MSExsel с исходными данными по участку № 1

Рис. 2а. Фрагмент рабочего листа MSExsel с исходными данными по участку № 1(продолжение)

Рис. 3. Фрагмент диалогового окна Параметры Поиска решения

По результатам решения получены дозы внесения удобрений по различным культурам, в установленные сроки, приросты урожайности культур по интервалам внесения и общий прирост урожайности и величина дополнительного чистого дохода (см. рис. 4).

Рис. 4. План распределения фондов удобрений сельскохозяйственного предприятия по полям севооборотов и кормовым угодьям

2.5 Формирование отчетов по результатам решения

Если средство Поиск решения нашло решение, то Excel предоставляет возможность на основе полученного решения создать отчеты следующих типов (рис. 5).

Рис. 5. Фрагмент диалогового окна Результаты Поиска решения: вкладка

Типы отчетов

В отчете Результаты выводятся исходные и полученные в результате поиска решения значения изменяемых ячеек и целевой функции, а также сведения об ограничениях задачи.

Отчет Устойчивость дает основную информацию для анализа чувствительности линейных и нелинейных моделей. Этот анализ показывает, насколько чувствительно оптимальное решение к небольшим изменениям параметров модели. Этот тип отчета будет недоступен, если в модели используются ограничения цело численности.

Отчет Пределы представляет собой ограниченный вариант отчета Устойчивость. Здесь показаны наименьшее и наибольшее значения, которые может принимать каждая изменяемая переменная целевая функция. Этот тип отчета будет недоступен, если в модели используются ограничения цело численности.

Для выполнения анализа полученного решения формируются следующие отчеты: по результатам (рис.6); по устойчивости (рис. 7); по пределам (рис. 8).

Для создания отчетов в диалоговом окне Результаты поиска решения (см. рис. 5) в списке Тип отчета выберите один или несколько типов отчетов и щелкните на кнопке ОК. Соответствующие отчеты будут созданы на новых листах в текущей рабочей книге, каждый отчет — на отдельном рабочем листе.

Рис. 6. Отчет по результатам

В отчете Результаты, показанном на рис. 6, содержатся следующие данные:

§ адреса целевой ячейки и изменяемых ячеек и их имена (если они заданы) и значения в этих ячейках до начала выполнения Поиск решения и после завершения.

§ адреса ячеек, на значения которых налагаются ограничения, имена этик ячеек (если они заданы), значения в этих же ячейках, формулы ограничений, статус ограничения (связанное или не связанное) и значения разностей.

Значения разностей — это абсолютные разности между вычисленными значениями правых и левых частей неравенств. Если значение разности для некоторого ограничения равно нулю, то это ограничение называется связанным или лимитирующим, поскольку оно лимитирует найденное решение. Если значение разности для ограничения не равно нулю, то такое ограничение называется не связанным или не лимитирующим, — найденное решение не зависит от этого ограничения.

Отчет по устойчивости показан на рис. 7. Такой отчет доступен только для задач, которые не имеют ограничений цело численности. В этом отчете содержатся следующие данные.

Рис. 7. Отчет по устойчивости

§ В таблице Изменяемые ячейки приведена информация о значениях изменяемых ячеек:

· адреса и имена (если заданы) изменяемых ячеек;

· значения этих ячеек, найденные средством Поиск решения;

· нормированная стоимость, показывающая, насколько изменится значение целевой функции, если на единицу изменится значение в данной изменяющейся ячейке при условии, что это значение достигло своей верхней иди нижней границы,

· целевой коэффициент — коэффициент, стоящий при данной изменяемой переменной в уравнении целевой функции;

· значения в столбцах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение показывают, в каких пределах может изменяться целевой коэффициент при условии, что найденное значение целевой функции останется неизменным.

§ В таблице Ограничения приведена информация об ограничениях:

· адреса и имена (если заданы) ячеек, на значения которых наложены ограничения;

· значения в этих ячейках, найденные средством Поиск решения;

· теневая цена показывает, насколько изменится значение целевой функции, если на единицу изменится значение правой части данного ограничения при условии, что это изменение лежит в пределах, указанных в столбцах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение;

· значения правых частей ограничений;

Отчет по пределам показан на рис. 8. Такой отчет доступен только для задач, которые не имеют ограничений цело численности. В этом отчете показано значение в целевой ячейке.

Рис. 8. отчет по пределам

2.6 Анализ результатов решения

Основные результативные показатели приведены в таблице 11.

Размер дополнительного чистого дохода от применения удобрений под прирост урожая составляет 14,309 тыс.р.

Из двойственных оценок ограничений наибольший интерес представляют оценки по ограничениям 29−34:

— оценки ограничений по ресурсам аммиачной селитры (огр.29), и суперфосфата (огр.31)указывают на недоиспользование данных ресурсов;

— ограничение 32 указывает на полное использование ресурсов калийной соли;

— оценка ограничения (огр. 33) свидетельствуют о том, что задание по производству ячменя не является сдерживающим для возрастания функционала;

— оценка ограничения по производству зерна (огр. 34) свидетельствует об обратной зависимости между заданием по объему производства зерна и значением целевой функции (дополнительного чистого дохода).

Заключение

Современный этап развития страны характеризуется стремлением заменить административные методы управления экономическими. Один из путей совершенствования методов управления состоит в использовании экономико-математических методов. Необходимость построения математических оптимизационных моделей возникает в связи многочисленностью вариантов создания или функционирования определенной экономической системы, с возможностью применения различного сырья, материалов, технологии для производства одной и той же продукции. Среди этих вариантов по некоторому критерию, отраженному в функции цели, необходимо выбрать наилучший (оптимальный) вариант. Следует также иметь в виду, что множество вариантов функционирования конкретной экономической системы ограничено с точки зрения количества и качества используемого сырья, технологии и т. п.

Процесс построения экономико-математических моделей условно можно разбить на следующие основные этапы.

Первый этап — выбор объекта исследования: размещение производства, перевозка грузов, раскрой промышленных материалов, загрузка производственных мощностей и т. д.

Второй этап — формулировка цели исследования на основе задач, поставленных при изучении данного объекта.

Третий этап — выбор критерия оптимальности, который записывается в виде функционала.

Четвертый этап — определение основных ограничений.

В данной курсовой я попыталась разобраться в том, что значат эконометрические регрессионные модели (теоретическая часть), а также мной была решена задача распределения фондов минеральных удобрений, как примера решения задачи оптимизации в сельском хозяйстве (расчетная часть).

1. Абчук В. А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. — СПб.: Союз, 2009. — С.58

2. Алесинская Т. В. Учебное пособие по решению задач по курсу «Экономико-математические методы и модели». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2012, 153 с.