Моделирование систем

Задание

1. Получить математическую модель в операторной форме.

2. Получить математическую модель в форме дифференциального уравнения.

3. Получить математическую модель в пространстве состояний.

4. Построить граф системы.

5. Оценить устойчивость, управляемость, наблюдаемость САУ.

6. Построить графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ замкнутой САУ.

7. Построить переходную характеристику САУ, оценить быстродействие системы.

1. Для заданной передаточной функции

W (p) = получим математическую модель в операторной форме:

— уравнение в операторной форме.

2. Для заданной передаточной функции

W (p) = получим математическую модель в форме диф-го уравнения.

Вход — выходное описание в форме дифференциального уравнения. pⁿ =

— уравнение в операторной форме.

3. Модель в пространстве состояния.

Для заданной передаточной функции

W (p) = получим математическую модель в пространстве состояния:

Заданной передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение:

Выразим U, Y через переменную z

Введём замену переменной граф математический модель управление

Y= 200 х₁ + 40 х₂

Запишем уравнения состояний в матричной форме:

где

A= B=

C= D=

Полученные уравнения — математическая модель в пространстве состояний.

4. Построим граф системы по полученной модели в пространстве состояний.

Вершины графа — переменные х₁, х₁', х_2, х₂', х_3, х₃'_, входной сигнал U (t), выходной сигнал Y (t). Связи между переменными изображаются в виде дуг с проставленными коэффициентами при переменных.

U (t)

Y (t)

5. Оценим устойчивость, управляемость, наблюдаемость САУ.

Введем коэффициенты характеристического уравнения по передаточной функции Вычислим корни характеристического уравнения:

rt =- 41.3374

— 4.3313 +14.9383i

— 4.3313 -14.9383i

Вещественные части корней уравнения имеют отрицательный знак, следовательно, система устойчива.

Для оценки управляемости системы построим матрицу управляемости R:

Вводим матрицу A:

>> a=[0 1 0; 0 0 1; -100/0.01 -6/0.01 -0.5/0.01]

Вводим матрицу B:

>> b=[0; 0; 1/0.01]

Находим матрицу управляемости:

>> r=[b a*b a*a*b]

Ранг матрицы управляемости:

>> rg=rank®

rg = 3

Ранг матрицы управляемости равен n, следовательно, система управляема.

Для оценки наблюдаемости системы построим матрицу наблюдаемости Q:

Транспонируем матрицу A:

>> at=a'

Вводим матрицу C:

>> c=[1 0 0]

Транспонируем матрицу C:

>> ct=c'

Определяем матрицу наблюдаемости:

>> q=[ct at*ct at*at*ct]

Определяем ранг матрицы наблюдаемости:

>> rg=rank (q)

rg = 3

Ранг матрицы наблюдаемости равен n, следовательно, система наблюдаема.

7. Построить графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, переходной характеристики Для построения частотных характеристик используем MatLab.

Введем передаточную функцию

>> w=tf ([40 100], [0.01 0.5 6 150])

Transfer function:

40 s + 100−0.01 s³ + 0.5 s² + 6 s + 150

Для построения АЧХ, ФЧХ используем команду bode:

>> bode (w)

Рис. 1. ЛАЧХ, ЛФЧХ

График АФЧХ строится по передаточной функции командой nyquist.

>> nyquist (w)

Рис. 2. Годограф АФЧХ Переходную характеристику построим с помощью команды step:

>>step (w)

Рис. 3. График переходной характеристики.

По графику переходной характеристики определим время переходного процесса — 1.7 сек.