Общие понятия. 
Математическая модель системы управления

Линейная динамическая система

Понятие динамической системы

Рассмотрим систему, обладающую динамическими свойствами. Она будет представлять собой математическую модель некого объекта или процесса. В каждый момент времени динамическая система будет обладать некоторым состоянием, т. е. будет описывать изменения процесса во времени.

В теории управления значительную роль играют линейные динамические системы. Состояния такой системы изменяются во времени по линейному дифференциальному закону (или линейному разностному — в случае дискретного времени) и описываются набором вещественных чисел или векторов, соответствующих определенному положению в пространстве состояний. Причем, через заданный интервал времени динамическая система принимает определенное состояние, которое зависит от текущего.

Математическая модель такой системы представляет собой совокупность 4 элементов:

• · пространство состояний (множество всех возможных состояний системы);
• · пространство входных сигналов;
• · пространство выходных сигналов;
• · соотношения, связывающие входные и выходные сигналы и переменные состояния.

Основной формой представления математической модели динамической системы служит линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, левая часть которого записана относительно реакции, а в правую часть входит внешнее воздействие. В случае, если система характеризуется нелинейным дифференциальным уравнением, то его линеаризация происходит на этапе решения этого уравнения.

В общей форме математическая модель системы описывается уравнением вида:

(1.1.1).

где постоянные величины, целые числа, есть реакция системы, а входной сигнал, т. е. возмущающая функция.

В дальнейшем будем рассматривать линейную непрерывную стационарную управляемую систему. Такая система описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для облегчения анализа переходных процессов и поведения непрерывной системы в установившемся режиме применяется преобразование Лапласа. Анализ импульсных систем также упрощается при использовании г-преобразования.