Модель межотраслевого баланса

Модель межотраслевого баланса

Задача 1.

Модель межотраслевого баланса В таблице представлен межотраслевой баланс модели 3-х секторной экономики

Требуется:

a) найти структурную матрицу, матрицу полных затрат, матрицу косвенных затрат;

b) определить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли;

c) проверить продуктивность матрицы затрат (необходимое условие);

d) составить межотраслевой баланс;

e) вычислить вектор индекса цен, если добавленная стоимость в i-ой отрасли увеличиться на k%;

f) вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если объемы конечного продукта первой и второй отраслей увеличить на %, а конечное потребление в третьей отрасли уменьшить на %. Составить новый межотраслевой баланс.

Найдем структурную матрицу.

Найдем валовой продукт по каждой отрасли.

.

Найдем добавленную стоимость по каждой отрасли В результате получим

Определим коэффициенты матрицы ,

.

— матрица прямых затрат

;

Определитель 0.457 476

Обратная матрица имеет вид:

= - матрица полных затрат.

Матрица косвенных затрат Матрица полных затрат не является продуктивной, т.к.

1);; ;

2);; .

3);; .

Вычислим вектор цен, если добавленная стоимость во 2-ой отрасли увеличится на 15%.

— новая добавленная стоимость

— вектор-строка долей добавленной стоимости в валовом выпуске отраслей в новом варианте межотраслевого баланса

= =

= - вектор-строка индексов цен Вычислим необходимый объем валового продукта, если объемы конечного продукта первой и второй отраслей увеличится на 12% а конечное потребление в третьей отрасли уменьшиться на 10%

Задача 2

Модели сетевого планирования и управления.

1. Построить сетевой график

2. Выделить критический путь и найти его длину.

3. Определить резервы времени каждого события .

4. Определить резервы времени (полные, частные первого вида, свободные и независимые) всех работ и коэффициент напряженности работы (i, j). Данная работа указана в конце каждого варианта (под таблицей).

5. Как изменится срок выполнения проекта, резервы времени работ и событий, коэффициенты напряженности работ, если увеличить продолжительность работы (i, j) на: а) R _п (i, j), б) R ₁ (i, j), в) R _с (i, j), г) R _н (i, j),?

(i, j) = (9,10)

Определим сроки свершения и резервы событий, пользуясь четырехсекторной схемой.

Вычисления производим на сетевом графике. Круг изображающий события делим на 4 сектора. В верхнем записываем номер события, в левом — ранний срок свершения события tр, в правом — поздний срок свершения события tп, в нижнем секторе — резерв времени события Ri.

Для каждого события вычисляем ранний срок свершения события t_р по формуле .

Для каждого события вычисляем поздний срок свершения события t_п по формуле .

Резерв времени события R_i вычисляем по формуле .

Критический путь: 1−2-4−5-8−10−11. Критическое время t_кр = 35.

Ранний срок начала работы: .

Ранний срок окончания работы: .

Поздний срок начала работы: .

Поздний срок окончания работы: .

Полный резерв времени работы: .

Свободный резерв времени работы: .

Частный резерв R₁(i, j) = R_п(i, j) — R (i) = t_п(j) — t_п(i) — t_{i j}

Независимый резерв R_н(i, j) = R_п(i, j) — R (i) — R (j) = t_p(j) — t_п(i) — t_ij

Для работ, лежащих на критическом пути, никаких резервов времени нет и, следовательно, коэффициент напряженности таких работ равен единице. Если работа не лежит на критическом пути, она располагает резервами времени и ее коэффициент напряженности меньше единицы.

Коэффициент напряженности работы (9, 10).

Кн (i, j) = (t (Lmax)-tкр) / (tкр-t'кр) = 1 — Rп (i, j) / (tкр-t'кр),

Кн (9,10) = 1 — 7 / (35−5) =0,77

(9; 10) — работа промежуточная по степени напряженности.

Если увеличить продолжительность работы (9; 10) на Rп (9; 10) = 7, то срок выполнения проекта не измениться. Не изменятся сроки событий. Полный резерв времени события 9 и 10 будет равен 0.

Если увеличить продолжительность работы (9; 10) на Rс (9; 10) = Rн (9; 10) = 7, получим аналогичные результаты.

Увеличение продолжительность работы (9; 10) на Rl (9; 10) =0 изменений не принесет.

сетевое планирование управление прибыль затрата стоимость Задача 3

Решить задачу оптимального использования ресурсов на максимум общей стоимости. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы в соответствующей таблице.

В каждой задаче требуется определить:

1. План выпуска продукции из условия максимизации ее стоимости.

2. Ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов.

3. Максимальный интервал изменения запасов каждого из ресурсов, в пределах которого структура оптимального решения, т. е. номенклатура выпускаемой продукции, остается без изменений.

4. Суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производстве единицы каждого изделия. Выпуск какой продукции нерентабелен?

5. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции?

6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли.

7. Интервалы изменения цен на каждый вид продукции, при которых сохраняется структура оптимального плана.

8. На сколько нужно снизить затраты каждого вида сырья на единицу продукции, чтобы сделать производство нерентабельного изделия рентабельным?

9. Кроме того, в каждом варианте необходимо выполнить еще два пункта задания.

Вариант 1

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в табл. 8.3.

9а. Как изменяется общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 и 3 ед. соответственно и уменьшении на 3 ед. сырья III вида?

9б. Целесообразно ли включать в план изделие Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?

Таблица 8.3

Построим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через (= 1, 2, 3, 4) количество продукции соответствующего вида, изготовляемого предприятием.

При этом целевая функция имеет следующий вид:

Ограничения будут выражены следующими равенствами:

Перейдем к канонической форме задачи линейного программирования, введя дополнительные (балансовые) переменные, означающие возможные остатки ресурсов сырья.

.

Решим полученную задачу линейного программирования симплексным методом.

Начальная симплекс-таблица

Итерация 1

Итерация 2

Итерация 3

Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет положительных коэффициентов.

Оптимальное значение функции Q (x)= 326

достигается в точке с координатами:

(18; 0; 0; 11; 0; 1; 0)

Максимальная прибыль предприятия составит 326 денежных единиц, если оно выпустит 18 единиц продукции 1-го вида, 11 единиц продукции 4-го вида, а продукцию 2-го и 3-го вида выпускать не будет. При этом ресурс 2-го вида будет израсходован не полностью.

Составим модель двойственной задачи.

Напишем матрицу исходной задачи

и транспонируем её .

По теореме двойственности получим. Преобразуем ограничения — неравенства:

По теореме двойственности

Функция общая оценка сырья. Каждое ограничение системы представляет неравенство, где левая часть — оценка видов ресурсов, а правая — стоимость единицы продукции. Запишем каноническую форму математической модели двойственной задачи, введя дополнительные (балансовые переменные), ,, .

Переменные являются базисными, а — свободными. Переменные являются свободными, а — базисными. Сопоставим базисные переменные прямой задачи, свободным переменным двойственной задачи, и наоборот.

Соответствие между переменными двойственной задачи имеет вид:

.

Оптимальный план двойственной задачи имеет вид

Y=(7; 0; 5; 0; 22; 4; 0)

Экономический смысл оптимального решения двойственных задач представлен в следующей таблице.

Из таблицы видно, что полностью используются ресурсы 1 и 3, т. е. являются дефицитными, их остатки равны нулю. Оценки этих ресурсов равны соответственно, Y*₁=7 и Y*₃=5.

В оптимальном плане второй продукт не выпускается Х*₂=0, он является убыточным, т.к. превышение затрат над ценой у него равно Y*₅=22, третий продукт не выпускается Х*₃=0, он ytявляется убыточным, т.к. превышение затрат над ценой у него равно Y*₆=0.

Продукты первый, четвертый выпускаются в оптимальном плане Х*₁=18, Х*₄=11 и являются неубыточными, превышение затрат над ценой у них Y*₄=Y*₇=0. При реализации оптимального плана предприятие получит максимально возможную прибыль, равную 326 ден. ед.

Двойственные оценки позволяют определять «нормы заменяемости ресурсов»: имеется в виду заменяемость с точки зрения конечного эффекта в конкретных условиях данной задачи.

В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением (нормой). Т. е для замены единицы первого ресурса требуется 1,4 ед. третьего ресурса.

Предельные значения (верхняя и нижняя граница) изменений дефицитных ресурсов, при которых двойственные оценки (матрица базисных переменных) в оптимальном плане не меняются.

Пусть изменения касаются недефицитных ресурсов, базисные переменные которых не равны нулю. Их значения в последней симплексной таблице показывают, на сколько можно уменьшить правые части этих ограничений без изменения оптимального плана.

Таким ресурсом является первый ресурс. Допустимые изменения этого ресурса лежат в диапазоне: .

Пусть изменения касаются дефицитных ресурсов, которым отвечают свободные переменные. Умножая соответствующие столбцы последней симплексной таблицы на b и складывая с А-столбцом, получаем неотрицательные значения. Соответствующие неравенства определяют диапазоны изменения правых частей соответствующих ограничений.

Такими ресурсами будут первый и третий ресурс. Допустимые изменения этих ресурсов определяются из неравенств Откуда Поскольку второй ресурс не является дефицитным, то его приращение нецелесообразно.

Приращение ресурса второго вида, даст прирост целевой функции на .

Уменьшение ресурса третьего вида, даст прирост целевой функции на

.

Целевая функция изменится на величину

ден. ед.

Введение

нового продукта в план Производство нового продукта Д с ценой реализации 10 и столбцом нормативов расхода ресурсов А_s=(2, 2, 2) увеличит целевую функцию, если затраты ресурсов в двойственных оценках на выпуск единицы новой продукции не больше ее цены, т. е.

а_is y*_i =

Выпуск нового продукта нецелесообразен.

Задача 4

Исходные данные транспортной задачи приведены схематически: внутри прямоугольника заданы удельные транспортные затраты на перевозку единицы груза, слева указаны мощности поставщиков, а сверху — мощности потребителей. Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи, найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями.

Вариант 1

Построим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через количество единиц груза, направляемые от i-го поставщика к j-му потребителю. При этом целевая функция имеет следующий вид:

Шаг:1

Проверка на сбалансированность Общее число запасов на складах: 350; Общая потребность: 350

Задача является сбалансированной (закрытой).

Шаг:2

Отыскание начального решения. Метод минимального элемента Запишем настоящую задачу в виде транспортной таблицы. На пересечении j-го столбца и i-й строки будем записывать количество продукции, поставляемое с i-го склада j-му потребителю.

Получено допустимое начальное решение (опорный план), удовлетворены нужды всех потребителей и использованы все запасы производителей.

Шаг:3 Проверим полученный опорный план на невырожденность. Количество заполненных клеток N должно удовлетворять условию N=n+m-1. В нашем случае N=7, n+m=4+4=8, что удовлетворяет условию невырожденности плана.

Шаг:4

Вычислим общие затраты на перевозку всей продукции.

Перемножим значения загруженных клеток на соответствующие потенциалы, полученные произведения сложим. Получим значение суммарных затрат, для данного начального решения.

Pнач= 2160

Шаг:5

Проведем поэтапное улучшение начального решения, используя метод потенциалов.

Итерация 1

Составим вспомогательную рабочую матрицу затрат. Она строится из исходной матрицы издержек путем переноса только тех ячеек Pij, которые соответствуют заполненным клеткам транспортной таблицы. Остальные ячейки остаются пустыми.

Кроме того, введем вспомогательный столбец в который внесем значения неизвестных U1 … U4 (4,это m — число складов) и вспомогательную строку в которую внесем значения неизвестных V1 … V5 (5,это n — число потребителей). Эти n+m неизвестных должны для всех (i, j), соответствующих загруженным клеткам, удовлетворять линейной системе уравнений

Ui+Vj=Pij

На первом шаге полагают V4=0. Если на k-м шаге найдено значение неизвестной, то в системе всегда имеется еще не определенная неизвестная, которая однозначно может быть найдена на (k+1)-м шаге из уравнения Ui+Vj=Pij, так как значение другой неизвестной в этом уравнении уже известно. То какую неизвестную можно найти на (k+1)-м шаге, определяют методом проб. Переменные Ui и Vj называются симплекс-множителями или потенциалами.

Рабочая матрица затрат с рассчитанными потенциалами представлена ниже.

Теперь для всех свободных клеток рабочей матрицы затрат вычислим оценки Sij, по формуле Sij = Pij — Ui — Vj. Каждая такая оценка показывает, на сколько изменятся общие транспортные затраты при загрузке данной клетки единицей груза. Таким образом, если среди оценок имеются отрицательные (затраты уменьшаются), то данный план можно улучшить переместив в соответствующую клетку некоторое количество продукции. Если же среди оценок нет отрицательных — план является оптимальным.

Рабочая матрица затрат с заполненными оценками клетками Sij представлена ниже.

Из всех отрицательных оценок имеет смысл выбрать наибольшую по модулю, так как ее воздействие на общие затраты является максимальным. В нашем случае такая оценка находится в ячейке а2, b4, в соответствующую ячейку транспортной таблицы мы должны переместить некоторое количество продукции т. е. загрузить ее. Отметим в транспортной таблице ячейку а2, b4 знаком +. Кроме нее мы пометим знаками — и + другие занятые числами ячейки таким образом, что в каждой строке и каждом столбце транспортной таблицы число знаков + будет равно числу знаков —. Это всегда можно сделать единственным образом, причем в каждой строке и каждом столбце содержится по одному + и — .То есть помеченные знаками клетки должны образовывать цикл.

Затем мы определим минимум M из всех элементов, помеченных знаком —, и выбираем одну ячейку где этот минимум достигается. В нашем случае таковой является а3, b3 и обозначает загруженую клетку, которая должна стать свободной. Число M при этом составляет: 50

Переход к новой транспортной таблице разбивается на следующие шаги.

а) В ячейку а2, b4 новой таблицы записывается число M.

б) Ячейка а3, b3 остается пустой.

Итерация: 2

Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценками (рассчитывается аналогично предыдущим операциям).

Ячейка а4, b1, транспортной таблицы, должна загрузиться. Ячейка а4, b4 становится свободной. M = 0

Итерация: 3

Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценкам.

В приведенной выше таблице нет отрицательных оценок (план улучшить нельзя), следовательно достигнуто оптимальное решение.

Общие затраты на перевозку всей продукции, для оптимального плана составляют: Pопт=2060

Задача 5.

Парная линейная регрессия

По выборочным данным исследовать зависимость между показателями X, Y и построить парную линейную регрессионную модель, для чего:

установить наличие связи между исследуемыми показателями графическим методом (построить корреляционное поле);

для измерения интенсивности связи между показателями вычислить коэффициент корреляции, коэффициент детерминации;

вычислить ошибки коэффициента корреляции и параметров модели с заданной доверительной вероятностью;

оценить значимость коэффициента регрессии модели по критерию Стьюдента;

оценить адекватность модели по критерию Fотношения;

осуществить прогноз по полученной регрессионной модели.

1. В ячейки А2:12 и В2: B12 введем данные для Х и Y соответственно;

2. Графически изобразим данную зависимость;

Применим команду «Сервис / Анализ данных / Регрессия»;

Отчет по результатам:

В первом разделе массива «Регрессионная статистика» приведены основные статистические характеристики общего качества уравнения: коэффициент множественной корреляции R, коэффициент детерминации R², стандартная ошибка оценки. Значение R² 0,890 говорит о том, что на основе полученного уравнения регрессии можно объяснить 89% вариации.

Статистические данные второго раздела выходного массива «Дисперсионный анализ» позволяют оценить дисперсию зависимой переменной у и остаточной вариации отклонений вокруг линии регрессии. SS_p характеризует часть дисперсии, объясненную регрессией, a SS₀ — часть дисперсии, не объясненную регрессией из-за наличия ошибок. Качество модели улучшается, если при введении в нее нового фактора значение объясненной части дисперсии возрастает.

В ячейках второго раздела выходного массива приведен уровень значимости для оцененного F. Значения F-статистики (73,13) является допустимым, так как уровень значимости для нее ниже 5%-ного предела, принятого для табличных F-статистик. Таким образом, что F-наблюдаемое будет не больше F_крит.

Третий раздел массива содержит информацию о параметрах уравнения регрессии. Приведенные в значения параметров (коэффициентов) уравнения позволяют придать формальный вид модели, построенной с помощью регрессионного анализа:

где х₁ — доход корпорации.

Если приведенный в выходном массиве уровень значимости не превышает 5%, то рассчитанные характеристики t-статистики будут больше табличного значения. Следовательно, статистическая значимость рассчитанных параметров уравнения высока.

Наряду с точечными значениями коэффициентов регрессии, третий раздел выходного массива позволяет получить их интервальные оценки с доверительной вероятностью 95%:

;

;

На основании изложенного можно с 95%-ной уверенностью утверждать, что параметры уравнения содержат информацию, значимую для расчета исследуемого показателя.

Прогноз.

X 10

Y