Метод Монжа. 
Методы начертательной геометрии и инженерная графика

Метод Монжа использует метод прямоугольных проекций или метод ортогонального проецирования геометрического образа (точки, прямой, плоскости, поверхности) на две взаимно перпендикулярные и взаимно связанные плоскости проекции лучами перпендикулярными этим плоскостям проекций, в этом состоит сущность метода Монжа:

Рис. 18 Метод Монжа: H — горизонтальная плоскость проекции; V — фронтальная плоскость проекции; W — профильная плоскость проекции.

Линии пересечения плоскостей проекции называются осью проекции или осью координат:

ОХ = V? H;

ОУ = H? W;

ОZ= V? W.

А`- проекция точки, А на плоскость H (горизонтальная проекция точки А);

А" - проекция точки, А на плоскость V (фронтальная проекция точки А);

А" `- проекция точки, А на плоскость W (профильная проекция точки А).

Методы проецирования с использованием одно-картинных чертежей позволяют решать прямую задачу (т.е. по данному оригиналу построить его проекцию). Однако, обратную задачу (т.е. по проекции воспроизвести оригинал) решить однозначно невозможно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, т.к. каждую точку Аб плоскости проекций б можно считать проекцией любой точки проецирующего луча SАб, проходящего через Аб.

Таким образом, рассмотренные одно-картинные чертежи не обладают свойством обратимости.

Для получения обратимых одно-картинных чертежей их дополняют необходимыми данными.

Существуют различные способы такого дополнения. Например, чертежи с числовыми отметками.

Способ заключается в том, что наряду с проекцией точки А1 задаётся высота точки, т. е. её расстояние от плоскости проекций. Задают, также, масштаб.

Такой способ используется в строительстве, архитектуре, геодезии и т. д. Однако, он не является универсальным для создания чертежей сложных пространственных форм.

В 1798 году французский геометр-инженер Гаспар Монж, обобщив накопленные к этому времени теоретические знания и опыт, впервые дал научное обоснование общего метода построения изображений, предложив рассматривать плоский чертёж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения с плоскостью двух взаимно связанных взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

Метод Монжа Отсюда ведёт начало принцип построения чертежей, получивший название Метод Монжа, которым выше было сказано, что проекция точки не определяет положения точки в пространстве, и чтобы, имея проекцию точки, установить это положение, требуются дополнительные условия. Например, дана прямоугольная проекция точки на горизонтальной плоскости проекций и указано удаление этой точки от плоскости числовой отметкой; плоскость проекций принимается за «плоскость нулевого уровня», и числовая отметка считается положительной, если точка в пространстве выше плоскости нулевого уровня, и отрицательной, если точка ниже этой плоскости.

На этом основан метод проекций с числовыми отметками ').

В дальнейшем изложении определение положения точек в пространстве будет производиться по их прямоугольным проекциям на двух и более плоскостях проекций.

На рис. 20 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой к1, расположена горизонтально; другая, обозначенная буквой я2, — вертикально. Эту плоскость называют фронталыюй плоскостью проекций, пл. я, называют горизонтальной плоскостью проекций. Плоскости проекции Kj И Я2 образуют с истему Kj, я2.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей Я! и я2 на полуплоскости. Для этой оси будем применять обозначение л или обозначение в виде дроби я2/яj. Из четырех двугранных углов, образованных плоскостями проекций, считается первым тот, грани которого на рис. 9 имеют обозначения Я! и я2.

На рис. 10 показано построение проекций некоторой точки, А в системе я15 я2. Проведя из, А перпендикуляры к itj и я2, получаем проекции точки А: горизонтальную, обозначенную А', и фронтальную, обозначенную А" .

Рис. 20.

Проецирующие прямые, соответственно перпендикулярные к л, и я2, определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям и к оси проекций. Эта плоскость в пересечении с я, и я2 образует две взаимно перпендикулярные прямые А’АХ и А" АХ, пересекающиеся в точке Ах на оси проекций. Следовательно, проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.

Метод проекций с числовыми отметками в программу излагаемого курса не входит. Интересующихся отсылаем к книгам по начертательной геометрии для строительных и архитектурных специальностей.

Если даны проекции А' и А" некоторой точки, А (рис. 21), то, проведя перпендикуляры — через А' к пл. TCj и через А" к пл. л2 — получим в пересечении этих перпендикуляров определенную точку. Итак, две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

Повернув пл. Kj вокруг оси проекций на угол 90° (как это показано на рис. 22), получим одну плоскость — плоскость чертежа; проекции А" и А' расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций — на линии связи. В результате указанного совмещения плоскостей я, и л2 получается чертеж, известный под названием эпюр ') (эпюр Монжа). Это чертеж в системе 2 (или в системе двух прямоугольных проекций).

Рис. 21.

Рис. 22.

Перейдя к эпюру, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но, как увидим дальше, эпюр обеспечивает точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте построений. Чтобы представить по нему пространственную картину, требуется работа воображения.

Так как при наличии оси проекций положение точки, А относительно плоскостей проекций Tij и п2 установлено, то отрезок А’АХ выражает расстояние точки, А от плоскости проекций л2, а отрезок А" АХ — расстояние точки, А от плоскости проекций п^ Так же можно определить расстояние точки, А от оси проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам А’АХ и А" АХ (рис. 23): откладывая на эпюре отрезок А" А, равный А’АХ, перпендикулярно к А" АХ, получаем гипотенузу ААХ, выражающую искомое расстояние.

Следует обратить внимание на необходимость проведения линии связи между проекциями точки: только при наличии этой линии, взаимосвязывающей проекции, получается возможность установить положение определяемой ими точки.

Рис. 23.

Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в основе которых лежит метод Монжа (см. § 3), называть одним словом — чертеж и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова «чертеж» оно будет сопровождаться соответствующим определением (перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т. п.).

Ёриге (франц.) — чертеж, проект. Иногда вместо «эпюр» пишут и произносят «эпюра», что соответствует не произношению слова ёриге, а женскому роду этого слова во французском языке.