Динамика микромеханического гироскопа с различными коэффициентами демпфирования, установленного на основании, вращающемся с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси

Данный параграф посвящён анализу упрощённой модели микромеханического гироскопа L-L типа с рамкой, рассмотренного в § 1. Упрощённость заключается в следующем:

• 1) равенство собственных частот колебаний инерционной массы и рамки:
  • (4.1)
• 2) вращение ММГ с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси:

• (4.2)
• (4.3)
• 3) внешние периодические силы воздействуют только на инерционную массу и представляются в виде:

(4.4).

Данный ММГ является более усложнённой моделью ММГ, рассмотренного в разделе 3, и более приближен к реальной модели гироскопа. Во всех реальных моделях ММГ так или иначе присутствует трение. Однако технология создания гироскопа не является безупречной, и добиться абсолютной однородности трения едва ли представляется возможным, особенно если учесть, сколь малым по размеру является сам ММГ.

Дело в том, что технология создания ММГ не является абсолютно точной, и такие микроскопические детали как упругие торсионы не могут быть изготовлены с абсолютно равными жесткостями. Вследствие этого появляется неравножёсткость, вносящая свои изменения в поведение ММГ.

Приступим к рассмотрению данной модели ММГ. В силу (4.1)-(4.4) уравнения (1.22) примут вид:

(4.5).

Преобразования (4.5) практически ничем не будут отличаться от преобразований системы (3.6) из § 3. По этой причине некоторые этапы преобразований не будут указываться, но будут оговариваться.

Используя (3.7), из (4.5) получаем:

Из (4.6) посредством (3.10)-(3.12) получаем:

(4.7).

Систему (4.7) переведём на быстрое время (3.15) и преобразуем с помощью (3.16).

(4.8).

Коэффициенты демпфирования и, гироскопическое слагаемое и амплитуда вынужденных колебаний являются малыми величинами. Обозначим их в (4.8) посредством введения малого параметра .

После ввода малого параметра уравнения (4.8) станут следующего вида:

(4.9).

Применим к (4.9) метод осреднения Боголюбова-Митропольского (§ 2) и осуществим переход от (4.9) к (2.1).

(4.10).

Посредством (3.19) был выполнен переход к уравнениям Боголюбова-Митропольского (2.6), а с помощью (4.10) были получены неконсервативные части уравнений (2.1).

Неконсервативные слагаемые системы (2.1) являются малыми величинами, поэтому имеющиеся в них самих малые слагаемые приравниваются к величинам 2-го порядка малости и автоматически отбрасываются.

(4.11).

Воспользуемся уравнениями Боголюбова-Митропольского (2.6) и подставим в них (4.11).

(4.12).

Воспользуемся (3.23) и преобразуем (4.12).

(4.13).

Приравняем в (4.13) слагаемые при соответствующих и .

(4.14).

Разрешим (4.14) относительно, ,,. Для этого представим решение в виде (3.26) и подставим в (4.14).

В (4.15) приравняем слагаемые при соответствующих тригонометрических функциях.

(4.16).

Решаем (4.16).

(4.17).

Подставляем найденные коэффициенты (4.17) в (3.26).

(4.18).

Найденные параметры, , и подставляем в дифференциальные уравнения (2.3) с учётом (3.32) и находим их частное решение, соответствующее стационарному режиму.

(4.19).

Найдём из (4.19) все тригонометрические функции.

(4.20).

Используя основную тригонометрическую формулу, получаем уравнения для и .

(4.21).

Решаем (4.21) и находим амплитуды первичных и вторичных колебаний ММГ на стационарном режиме.

(4.22).

Необходимо определить влияние коэффициентов демпфирования на амплитуды вынужденных колебаний ММГ. Для этого построим соответствующие графики, заранее задав необходимые параметры:

(4.23).

Рис. 5. График зависимостей при и ,

Рис. 6. График зависимостей при и ,

Рис. 7. График зависимостей при и ,

Рис. 8. График зависимостей при и ,

Рис. 9. График зависимостей при и ,

Рис. 10. График зависимостей при и ,

Анализируя полученные графики 5−10 и сравнивая их с графиками 1−4 из раздела 3, можно сделать следующие выводы. При отсутствии вращения ММГ (рис. 5−6) и при прочих равных условиях амплитуду первичных колебаний будет определять коэффициент демпфирования по соответствующему направлению, что вполне закономерно. С появлением угловой скорости основания ММГ (рис. 7−8) возникают вторичные колебания, которые вместе с первичными колебаниями зависят от коэффициентов демпфирования. Однако зависимость от разных коэффициентов разная. Если сделать коэффициент постоянной величиной и менять только (рис. 7), то амплитуды колебаний инерционной массы и рамки будут обратно пропорциональны коэффициенту демпфирования, а характер кривых останется неизменным. Если же изменять при постоянном (рис. 8), то система будет стремиться в состояние, соответствующее большему значению угловой скорости основания ММГ. На больших же скоростях вращения (рис. 9−10) оба коэффициента демпфирования одинаково влияют на величины первичной и вторичной амплитуд колебаний.

Таким образом, при проектировании ММГ необходимо знать диапазон угловых скоростей, с которым предстоит работать. Если скорости вращения ММГ невелики, то необходимым условием является минимизация трения по направлению первичных колебаний. Если ММГ работает в области больших угловых скоростей, то желательно свести к минимуму всё трение в системе. Данные мероприятия направлены, прежде всего, на повышение точности измерений ММГ.