Основные методы решения тригонометрических уравнений

Элементарные тригонометрические уравнения.

Элементарные тригонометрические уравнения —- это уравнения вида, где —- одна из тригонометрических функций:, ,, .

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения:, ,, и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения, где, такова:

Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром. Записывают обычно, подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.

Решения уравнения, где, находятся по формуле.

Уравнение решается применяя формулу.

а уравнение —- по формуле.

Особо отметим некоторые частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема Если —- основной период функции, то число является основным периодом функции .

Периоды функций и называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа и, что .

Теорема Если периодические функции и, имеют соизмеримые и, то они имеют общий период, который является периодом функций, , .

В теореме говорится о том, что является периодом функции, ,, и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций и —-, а основной период их произведения —- .

Введение

вспомогательного аргумента.

Стандартным путем преобразования выражений вида является следующий прием: пусть —- угол, задаваемый равенствами,. Для любых и такой угол существует. Таким образом. Если, или, ,, в других случаях .